1、1第 2 讲 整式及因式分解命题点 1 代数式及其求值1(2018河北 T122 分)用一根长为 a(单位：cm)的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按如图所示的方式向外等距扩 1(单位：cm)得到新的正方形，则这根铁丝需增加(B)A4 cmB8 cmC(a4)cmD(a8)cm2(2013河北 T93 分)如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为 x，淇淇猜中的结果应为 y，则 y(B)A2 B3 C6 Dx33(2018河北 T183 分)若 a，b 互为相反数，则 a2b 204(2012河北 T153 分)已知 yx1，则(xy) 2(yx)1 的值为 15(2016河北
2、T183 分)若 mnm3，则 2mn3m5mn101命题点 2 幂的运算6(2018河北 T132 分)若 2n2 n2 n2 n2，则 n(A)A1 B2 C0 D.14命题点 3 整式的运算及求值7(2012河北 T22 分)计算(ab) 3的结果是(C)Aab 3 Ba 3b Ca 3b3 D3ab8(2016河北 T23 分)下列运算正确的是(D)A(5) 00 Bx 2x 3x 5C(ab 2)3a 2b5 D2a 2a1 2a9(2011河北 T42 分)下列运算正确的是(D)A2xx1 Bxx 4x 5C(2x) 36x 3 Dx 2yyx 210(2015河北 T43 分)下
3、列运算正确的是(D)A( )1 B610 76 000 00012 12C(2a) 22a 2 Da 3a2a 511(2015河北 T2110 分)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：2(1)求所捂的二次三项式；(2)若 x 1，求所捂二次三项式的值6解：(1)设所捂的二次三项式为 A，根据题意，得 Ax 25x13xx 22x1.(2)当 x 1 时，A(x1) 2( )26.6 612(2018河北 T208 分)嘉淇准备完成题目：化简：( x26x8)(6x5x 22)发现系数“ ”印刷不清楚(1)他把“ ”猜成 3，请你化简：(3
4、x 26x8)(6x5x 22)；(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数 ”通过计算说明原题中“ ”是几？解：(1)(3x 26x8)(6x5x 22)3x 26x86x5x 222x 26.(2)设“ ”是 a，则原式(ax 26x8)(6x5x 22)ax 26x86x5x 22(a5)x 26.标准答案的结果是常数，a50.解得 a5.13(2017河北 T229 分)发现：任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数验证：(1)(1) 20 21 22 23 2的结果是 5 的几倍？(2)设五个连续整数的中间一个为 n ，写出它们的平方和，并说明是 5 的倍数延伸：任意三
5、个连续整数的平方和被 3 除的余数是几呢？请写出理由解：验证：(1)(1) 20 21 22 23 2101491553，(1) 20 21 22 23 2的结果是 5 的 3 倍(2)由题意，得(n2) 2(n1) 2(n1) 2(n2) 2n 25n 2105(n 22)n 为整数，五个连续整数的平方和是 5 的倍数延伸：余数是 2.理由：设中间的整数为 n，则(n1) 2n 2(n1) 23n 22.任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是 2.命题点 4 乘法公式的应用14(2018河北 T43 分)将 9.52变形正确的是(C)A9.5 29 20.5 2B9.5 2(100.5)
6、(100.5)C9.5 210 22100.50.5 2D9.5 29 290.50.5 23命题点 5 因式分解15(2013河北 T42 分)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(D)Aa(xy)axayBx 22x1x(x2)1C(x1)(x3)x 24x3Dx 3xx(x1)(x1)16(2014河北 T32 分)计算：85 215 2(D)A70 B700 C4 900 D7 00017(2011河北 T32 分)下列分解因式正确的是(D)Aaa 3a(1a 2)B2a4b22(a2b)Ca 24(a2) 2Da 22a1(a1) 2重难点 1 幂的运算根据幂的运算法则，把 a6
7、写成幂的运算形式，并说明依据哪种运算法则(要求至少写出 2 种，且每种依据的运算不相同)例如：依据同底数幂的乘法可得，a 6a 2a4.【自主解答】 解：答案不唯一，例如：依据同底数幂的乘法可得，a 6a 3a3aa 5；依据同底数幂的除法可得，a 6a 8a2a 7a；依据幂的乘方可得，a 6(a 3)2(a 2)3；依据单项式乘法可得，a 62a0.5a 5.【变式训练 1】(2018保定二模)下列计算正确的是(D)Aa 4a31 Ba 4a 3a 7C(2a 3)48a 12 Da 4a3a 7【变式训练 2】(2018威海)已知 5x3，5 y2，则 52x3y (D)A. B1 C.
8、 D.34 23 98我们把加减称为一级运算，乘除称为二级运算，乘方开方称为三级运算幂的运算法则实质是把幂的运方 法 指 导算转化为指数运算，因为指数本身处在高级位置，所以幂的运算转化为指数运算要降一级如：同底数幂相乘(除)变为指数相加(减)，幂的乘方变为指数相乘，积的乘方就是乘方对乘法的分配律，相当于乘法分配律升级重难点 2 整式的运算(2018邵阳)先化简，再求值：(a2b)(a2b)(a2b) 28b 2，其中 a2，b .12【自主解答】解：原式a 24b 2a 24ab4b 28b 24ab.当 a2，b 时，原式4.12【变式训练 3】 【整体思想】若 a22a30，代数式 的值是
9、(D)a2 2 a3A0 B C2 Da23 12【变式训练 4】(2018河北考试说明)若 mn2，mn1，则 m2n 22【变式训练 5】 【整体思想】(2018临沂)已知 mnmn，则(m1)(n1)1先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合数学思想：整体代入、降次、数形结合、逆向思维等，使方 法 指 导解题更加方便快捷重难点 3 因式分解把 4a2添上 1 项或 2 项，使它能够进行因式分解(1)写出 3 个且要用三种不同的分解方法；(2)若要求能进行 2 步或 2 步以上分解，如何添加？请写出一个即可4【自主解答】 解：(1)答案不唯一，例如：4a 22a2a(2a1)；4a24a1
10、(2a1) 2；4a 21(2a1)(2a1)(2)答案不唯一，例如：4a 24b 24(a 2b 2)4(ab)(ab)；4a 2a 4a 2(4a 2)a 2(2a)(2a)；4a 28ab4b 24(a 22abb 2)4(ab) 2.【变式训练 6】 (2018唐山乐亭县一模)下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是(C)Aa(mn)amanBa 2b 2c 2(ab)(ab)c 2C10x 25x5x(2x1)Dx 2166x(x4)(x4)6x【变式训练 7】 (2018河北中考预测)计算(9 )229 ( )2的结果正确的是(A)19 19 89 89A100 B10 000 C
11、1 000 D9 900【变式训练 8】 (2018唐山乐亭县七年级期末)2x 3y2与 12x4y 的公因式是 2x3y【变式训练 9】 (2018石家庄二模)分解因式：xy 22xyxx(y1) 2【变式训练 10】 【整体思想】(2018苏州)若 ab4，ab1，则(a1) 2(b1) 2的值为 12必须分解到每一个多项式都不能再分解为止易 错 提 示1(2018荆州)下列代数式中，整式为(A)Ax1 B. C. D.1x 1 x2 1 x 1x2(2018河北中考预测)若(x3)(xn)x 2mx15，则 m 等于(A)A2 B2 C5 D53(2018河北中考预测)下列各式中，计算结
12、果为 a8的是(C)Aa 4a 4 Ba 4a2 Ca 10a2 D(2a 4)24(2018包头)如果 2xa1 y 与 x2yb1 是同类项，那么 的值是(A)abA. B. C1 D312 325(2018淄博)若单项式 am1 b2与 a2bn的和仍是单项式，则 nm的值是(C)12A3 B6 C8 D96(2018石家庄新华区二模)已知 x24mx16 是完全平方式，则 m 的值为(C)A2 B4 C2 D47(2018齐齐哈尔)我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予 3a 实际意义的例子中，不正确的是(D)A若葡萄的价格是 3 元/千克，则 3a 表示买
13、a 千克葡萄的金额B若 a 表示一个等边三角形的边长，则 3a 表示这个等边三角形的周长C将一个小木块放在水平桌面上，若 3 表示小木块与桌面的接触面积，a 表示桌面受到的压强，则 3a 表示小木块对桌面的压力D若 3 和 a 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则 3a 表示这个两位数8(2018青岛)计算(a 2)35a 3a3的结果是(C)Aa 55a 6 Ba 65a 9 C4a 6 D4a 69 【整体思想】(2018邢台一模)若 mx2，ny3，则(mn)(xy)(A)A1 B1 C5 D5510(2018河北考试说明)计算：55 215 2(D)A40 B1 600 C2
14、400 D2 80011(2018重庆)按如图所示的运算程序，能使输出的结果为 12 的是(C)Ax3，y3 Bx4，y2Cx2，y4 Dx4，y212(2018枣庄)如图，将边长为 3a 的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形若拿掉边长为 2b 的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为(A)A3a2bB3a4bC6a2bD6a4b13(2018株洲)单项式 5mn2的次数为 314分解因式：m 39mn 2m(m3n)(m3n)15(2018张家口一模)已知多项式 A(x1) 2(x 24y)(1)化简多项式 A；(2)若 x2y1，求 A 的值解：(1)A(x1)
15、 2(x 24y)x 22x1x 24y2x4y1.(2)x2y1，由(1)，得 A2x4y12(x2y)1，A2113.16(2018唐山乐亭县七年级期末)下列说法：(2) 101(2) 1002 100；2 018 22 018 一定可以被 2 019整除；16.9 15.1 能被 4 整除；两个连续奇数的平方差是 8 的倍数其中说法正确的有(A)18 18A4 个 B3 个 C2 个 D1 个17(2018河北中考预测)若 a23ab5，b 2ab14，则 ab 的值为 3 或318(2018河北中考预测)如图，已知大正方形的边长为 abc，利用图形的面积关系可得：(abc)2a 2b
16、2c 22ab2bc2ac.当大正方形的边长为 abcd 时，利用图形的面积关系可得：(abcd)2a 2b 2c 2d 22ab2ac2ad2bc2bd2cd.一般地，n 个数的和的平方等于这 n 个数的平方和加上它们两两乘积的 2 倍根据以上结论解决下列问题：(1)若 abc6，a 2b 2c 214，则 abbcac11；(2)从4，2，1，3，5 这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为 m，求 m 的值6解：421351，两边平方后得(42135) 2(4) 2(2) 2(1) 23 25 22m552m1.m(155)254227.19(2018保定一模)若 39m27m
17、3 21，则 m 的值为(B)A3 B4 C5 D620(2018张家口一模)若 x3y0，则 2x8y121(2018河北模拟)在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果 ”(1)若小明同学心里想的是数 5，请帮他计算出最后结果；(2)老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等 ”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是 a(a0)，请你帮小明完成这个验证过程解：(1)第一步：(51) 2(51) 220；第二步：2025500；第三步：5005100.小明计算出最后结果为 100.(2)(a1) 2(a1) 225a(a1a1)(a1a1)25a4a25a100，结论成立
