1、1高考达标检测（四十）曲线与方程求解 3 方法直接法、定义法、代入法一、选择题1(2017深圳调研)已知点 F(0,1)，直线 l： y1， P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且 ，则动点 P 的轨迹方程为( )QP QF FP FQ A x24 y B y23 xC x22 y D y24 x解析：选 A 设点 P(x， y)，则 Q(x，1) ，QP QF FP FQ (0， y1)( x,2)( x， y1)( x，2)，即 2(y1) x22( y1)，整理得 x24 y，动点 P 的轨迹方程为 x24 y.2(2016呼和浩特调研)已知椭圆 1( a b0
2、)， M 为椭圆上一动点， F1为椭x2a2 y2b2圆的左焦点，则线段 MF1的中点 P 的轨迹是( )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：选 B 设椭圆的右焦点是 F2，由椭圆定义可得| MF1| MF2|2 a2 c，所以| PF1| PO| (|MF1| MF2|) a c，12所以点 P 的轨迹是以 F1和 O 为焦点的椭圆3已知正方形的四个顶点分别为 O(0,0)， A(1,0)， B(1,1)， C(0,1)，点 D， E 分别在线段 OC， AB 上运动，且 OD BE，设 AD 与 OE 交于点 G，则点 G 的轨迹方程是( )A y x(1 x)(0 x1)B x y(1
3、y)(0 y1)C y x2(0 x1)D y1 x2(0 x1)解析：选 A 设 D(0， )， E(1,1 )，0 1，所以线段 AD 的方程为x 1(0 x1)，线段 OE 的方程为 y(1 )x(0 x1)，联立方程组Error!( 为y参数)，消去参数 得点 G 的轨迹方程为 y x(1 x)(0 x1)24(2016廊坊二模)有一动圆 P 恒过定点 F(a,0)(a0)且与 y 轴相交于点 A， B，若 ABP 为正三角形，则圆心 P 的轨迹为( )A直线 B圆C椭圆 D双曲线解析：选 D 设 P(x， y)，动圆 P 的半径为 R， ABP 为正三角形， P 到 y 轴的距离 d
4、 R，即| x| R.32 32而 R| PF| ， x a 2 y2| x| .32 x a 2 y2整理得( x3 a)23 y212 a2，即 1. x 3a 212a2 y24a2点 P 的轨迹为双曲线故选 D.5(2016沈阳质检)已知点 O(0,0)， A(1，2)，动点 P 满足| PA|3| PO|，则 P 点的轨迹方程是( )A8 x28 y22 x4 y50B8 x28 y22 x4 y50C8 x28 y22 x4 y50D8 x28 y22 x4 y50解析：选 A 设 P 点的坐标为( x， y)，由| PA|3| PO|，得 3 x 1 2 y 2 2，整理得 8x
5、28 y2 2x4 y50，故选 A.x2 y26(2017梅州质检)动圆 M 经过双曲线 x2 1 的左焦点且与直线 x2 相切，则y23圆心 M 的轨迹方程是( )A y28 x B y28 xC y24 x D y24 x解析：选 B 双曲线 x2 1 的左焦点 F(2,0)，动圆 M 经过 F 且与直线 x2 相切，y23则圆心 M 到点 F 的距离和到直线 x2 的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为 y28 x.二、填空题7(2017聊城一模)在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， A(1,0)， B(2,2)，若点 C3满足 t( )，其中 tR，则点 C 的轨迹方程
6、是_OC OA OB OA 解析：设 C(x， y)，则 ( x， y)， t( )(1 t,2t)，所以Error!OC OA OB OA 消去参数 t 得点 C 的轨迹方程为 y2 x2.答案： y2 x28已知圆的方程为 x2 y24，若抛物线过点 A(1,0)， B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_解析：设抛物线焦点为 F，过 A， B， O 作准线的垂线 AA1， BB1， OO1，则|AA1| BB1|2| OO1|4，由抛物线定义得|AA1| BB1| FA| FB|，| FA| FB|4，故 F 点的轨迹是以 A， B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(去掉长
7、轴两端点)所以抛物线的焦点轨迹方程为 1( y0)x24 y23答案： 1( y0)x24 y239在 ABC 中， A 为动点， B， C 为定点， B ， C (a0)，且满足条件 sin (a2， 0) (a2， 0)Csin B sin A，则动点 A 的轨迹方程是_12解析：由正弦定理得 ，|AB|2R |AC|2R 12 |BC|2R即| AB| AC| |BC|，12故动点 A 是以 B， C 为焦点， 为实轴长的双曲线右支a2即动点 A 的轨迹方程为 1( x0 且 y0)16x2a2 16y23a2答案： 1( x0 且 y0)16x2a2 16y23a2三、解答题10已知圆
8、 C1的圆心在坐标原点 O，且恰好与直线 l1： x y2 0 相切2(1)求圆的标准方程；(2)设点 A 为圆上一动点， AN x 轴于点 N，若动点 Q 满足 m (1 m) OQ OA ON (其中 m 为非零常数)，试求动点 Q 的轨迹方程 C2.解：(1)设圆的半径为 r，圆心到直线 l1的距离为 d，则 d 2 r，| 22|12 12圆 C1的方程为 x2 y24.4(2)设动点 Q(x， y)， A(x0， y0)， AN x 轴于点 N， N(x0,0)，由题意，得( x， y) m(x0， y0)(1 m)(x0,0)，Error! 即Error!将 A 代入 x2 y24
9、，得 1.(x，1my) x24 y24m2即动点 Q 的轨迹方程为 1.x24 y24m211(2017唐山统考)已知动点 P 到直线 l： x1 的距离等于它到圆C： x2 y24 x10 的切线长( P 到切点的距离)记动点 P 的轨迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程；(2)点 Q 是直线 l 上的动点，过圆心 C 作 QC 的垂线交曲线 E 于 A， B 两点，设 AB 的中点为 D，求 的取值范围|QD|AB|解：(1)由已知得圆的方程为( x2) 2 y23，则圆心为 C(2,0)，半径 r .3设 P(x， y)，依题意可得| x1| ， x 2 2 y2 3整理得 y26
10、x.故曲线 E 的方程为 y26 x.(2)设直线 AB 的方程为 my x2，则直线 CQ 的方程为 y m(x2)，可得 Q(1,3 m)将 my x2 代入 y26 x 并整理可得 y26 my120，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y26 m， y1y212，AB 的中点 D 的坐标为 ，(x1 x22 ， y1 y22 )即 D(3m22,3 m)，| QD|3 m23.|AB| 2 ，1 m2 y1 y2 2 3 1 m2 3m2 4所以 2(|QD|AB|) 3m2 34 3m2 4 的取值范围是 ，14(1 13m2 4) 316， 14)故 的取值范围
11、是 .|QD|AB| 34， 12)12(2016泰安质检)如图所示，动圆 C1： x2 y2 t2,1 t3，与椭圆5C2： y21 相交于 A， B， C， D 四点，点 A1， A2分别为 C2的左，右顶点x29(1)当 t 为何值时，矩形 ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积(2)求直线 AA1与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程解：(1)设 A(x0， y0)，则 S 矩形 ABCD4| x0y0|，由 y 1 得 y 1 ，x209 20 20 x209从而 x y x 2 .2020 20(1x209) 19(x20 92) 94当 x ， y 时， Smax6.2092 20 12从而 t2 x y 5， t ，20 20 5当 t 时，矩形 ABCD 的面积取到最大值 6.5(2)由椭圆 C2： y21，知 A1(3,0)， A2(3,0)，x29由曲线的对称性及 A(x0， y0)，得 B(x0， y0)，设点 M 的坐标为( x， y)，直线 AA1的方程为 y (x3)y0x0 3直线 A2B 的方程为 y (x3) y0x0 3由得 y2 (x29) y20x20 9又点 A(x0， y0)在椭圆 C 上，故 y 1 .20x209将代入得 y21( x3， y0)x29因此点 M 的轨迹方程为 y21( x3， y0)x29
