1、1高考达标检测（二十五） 数列求和的 3 种方法分组转化、裂项相消和错位相减一、选择题1(2017扬州调研)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，并满足：an2 2 an1 an， a54 a3，则 S7( )A7 B12C14 D21解析：选 C 由 an2 2 an1 an知数列 an为等差数列，由 a54 a3得 a5 a34 a1 a7，所以 S7 14.7 a1 a722(2017安徽江南十校联考)在数列 an中， an1 an2， Sn为 an的前 n 项和若S1050，则数列 an an1 的前 10 项和为( )A100 B110C120 D130解析：选 C an an1 的
2、前 10 项和为a1 a2 a2 a3 a10 a112( a1 a2 a10) a11 a12 S10102120.故选 C.3(2017安溪质检)数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 Sn1234(1)n1 n，则 S17( )A9 B8C17 D16解析：选 A S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.4已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a55， S515，则数列 的前 100 项1anan 1和为( )A. B.100101 99101C. D.99100 101100解析：选 A 设等差数列 an的首项为 a1，公差为
3、d. a55， S515，Error! Error! an a1( n1) d n. ，1anan 1 1n n 1 1n 1n 12数列 的前 100 项和为 1 .1anan 1 (1 12) (12 13) (1100 1101) 1101 1001015对于数列 an，定义数列 an1 an为数列 an的“差数列” ，若 a12， an的“差数列”的通项公式为 2n，则数列 an的前 2 016 项和 S2 016( )A2 2 0172 B2 2 0171C2 2 017 D2 2 0171解析：选 A 由题意知 an1 an2 n，则an an1 2 n1 ， an1 an2 2
4、n2 ， a3 a22 2， a2 a12，累加求和得an a12 n1 2 n2 2 22 2 n2， n2，又 a12，所以 an2 n，2 1 2n 11 2则数列 an的前 2 016 项和 S2 016 2 2 0172，故选 A.2 1 22 0161 26已知数列 an满足 an2 an1 an1 an， nN *，且 a5 ，若函数 f(x)sin 22x2cos 2 ，记 yn f(an)，则数列 yn的前 9 项和为( )xA0 B9C9 D1解析：选 C 由已知可得，数列 an为等差数列， f(x)sin 2xcos x1， f 1. f( x)sin(22 x)cos(
5、 x)1sin 2xcos ( 2)x1， f( x) f(x)2， a1 a9 a2 a82 a5， f(a1) f(a9)2419，即数列 yn的前 9 项和为 9.二、填空题7(2016陕西一检)已知数列 an中， a12， a2n an1， a2n1 n an，则 an的前100 项和为_解析：由 a12， a2n an1， a2n1 n an，得 a2n a2n1 n1， a1( a2 a3)( a4 a5)( a98 a99)223501 276， a1001 a501(1 a25)2(12 a12)14(1 a6)13(1 a3)12(1 a1)13， a1 a2 a1001 2
6、76131 289.答案：1 289812 x3 x2 nxn1 _( x0 且 x1)解析：设 Sn12 x3 x2 nxn1 ，则 xSn x2 x23 x3 nxn，得：(1 x)Sn1 x x2 xn1 nxn3 nxn，1 xn1 x Sn .1 xn 1 x 2 nxn1 x答案： 1 xn 1 x 2 nxn1 x9已知数列 an中， a11， an1 (1) n(an1)，记 Sn为 an的前 n 项和，则 S2 017_.解析：由 a11， an1 (1) n(an1)可得，a22， a31， a40， a51， a62， a71，故该数列为周期是 4 的数列，所以 S2 0
7、17504( a1 a2 a3 a4) a1504(2)11 007.答案：1 007三、解答题10(2017西安八校联考)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知a53， S1040.(1)求数列 an的通项公式；(2)若从数列 an中依次取出第 2,4,8，2 n，项，按原来的顺序排成一个新数列bn，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解：(1) a5 a14 d3，S1010 a145 d40，解得 a15， d2. an2 n7.(2)依题意， bn a2n22 n72 n1 7，故 Tn(2 22 32 n1 )7 n 7 n22 2n 121 247 n2 n2 .11已知递增的
8、等比数列 an的前 n 项和为 Sn， a664，且 a4， a5的等差中项为 3a3.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tn.na2n 1解：(1)设等比数列 an的公比为 q(q0)，由题意，得Error!解得Error!4所以 an2 n.(2)因为 bn ，na2n 1 n22n 1所以 Tn ，12 223 325 427 n22n 1Tn ，14 123 225 327 n 1n2n 1 n22n 1所以 Tn 34 12 123 125 127 122n 1 n22n 1 12(1 14n)1 14 n22n 1 ，23 4 3n322n 1故 Tn .89 16 12n922n 1 89 4 3n922n 112(2017云南统检)设 Sn为数列 an的前 n 项和，已知 a12，对任意 nN *，都有2Sn( n1) an.(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 的前 n 项和为 Tn，求证： Tn0，所以 1 1.1n 1 1n 1显然当 n1 时， Tn取得最小值 .12所以 Tn1.12
