1、- 1 -成都龙泉中学 2016 级高三上学期入学考试试题数学（理工类）（考试用时：120 分 全卷满分：150 分 ）注意事项：1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题
2、卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将答题卡上交；第 卷（选择题部分，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合 A=y|y=2x+2，B=x|x 2+x+20，则AAB BAB=R CAB=2 DAB=2.若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则复数 的共轭复数为zi1izA. B. （C） （D）1i221i21i23.已知命题 p：x 0R，使 2x02 x01；命题 q： xR，都有 lg(x22 x3)0.下列结论中正确的是A.命题“ p q”是真命题 B.命题“ p q”是真命题C.命
3、题“ p q”是真命题 D.命题“ p q”是假命题4已知 ，则1sin()3sin(2)6A B 79 79C D25已知 是抛物线 的焦点， 是该抛物线上两点， ，则F24yx,MN6MFN- 2 -的MN中点到准线的距离为A B2 32C3 D46.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为 A2B4 C5D527.有一长、宽分别为 、 的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在50m3池边任一位置可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是152A B 3438C D161
4、28若 ， ， ，则 大小关系为0()2a12()5b15log0c,abcA B cC D c9.若 f(x)= 是 R 上的单调递增函数,则实数 a的取值范围为(1), 42xa- 3 -A. (1,+) B. (4,8) C. 4,8) D. (1,8)10.已知 是定义在 上的奇函数，满足 , 且当 时，()fxR()2)0fx,1)x,则函数 在区间 上的零点个数是ln1fe1()3gx6A.4 B.5 C.6 D.711.已知 是非零向量，它们之间有如下一种运算： ，其中,ab sin,abab表示 的夹角下列命题中真命题的个数是, ； ； ；()(ab()cc ；若 ，则 ，ab
5、12,),xyb121abxyA2 B3 C4 D512. 已知双曲线 与函数 的图象交于点 ，若函数21(0,)xyab(0)yxP在点 处的切线过双曲线左焦点 ，则双曲线的离心率是yxP(1,FA B 512532C D3第卷（非选择题部分，共 90 分）二、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分13.若数列 满足 ，且 ，则 _ na21 1()()lg(nnan1a1014已知实数 ，执行如图所示的程序框图，则输出的 不小于 103 的概率是 2,30x x - 4 -15 错误！未找到引用源。 2214edxdx16.在 中， 为 上一点，且 ， ， 为 的角平分线，则
6、ABCD2AD1CBDAC面积的最大值为 三、解答题:（本题包括 6 小题，共 70 分。要求写出证明过程或演算步骤）17 （本题满分 12 分） 已知各项均不相等的等差数列 满足 ，且 成等比数na1125,a列（1）求 的通项公式；na（2）若 ，求数列 的前 项和 *1()()nnabNnbnS18.（本小题满分 12 分）某校高三有 500 名学生，在一 次考试的英语成绩服从正态分布 ，数学成2(10,7.5)N绩的频率分布直方图如下：（）如果成绩大于 135 的为特别优秀，则本次考试英语、数学特别优秀的大约各多少- 5 -人？（）试问本次考试英语和数学的成绩哪个较高，并说明理由.（）
7、如果英语和数学两科都特别优秀的共有 6 人，从（）中的这些同学中随机抽取3 人，设三人中两科都特别优秀的有 人，求 的分布列和数学期望。参考公式及数据：若 ，则 ，2(,)XN()0.68Px， .0.96Px(3)09x19.（本题满分 12 分）如图，在三棱柱 中， ，顶点 在底面1ABCABC1A上的射影恰为 的中点 ， ， ABCAM213（1）证明： ；1ABC（2）若点 为 的中点，求二面角 的余弦值P1PAB20.（本题满分 12 分）已知 A，B，C 为椭圆 E: 上三个不同的点，0 为坐标原点，2yx若 O 为ABC 的重心。(1)如果直线 AB、0C 的斜率都存在，求证 为
8、定值；OCABk(2)试判断ABC 的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由。- 6 -21. （本题满分 12 分）已知函数 .3hx（1）若 对任意的 恒成立，求实数 的最小值；2hxn0n（2）若函数 ，求函数 的值域.35, xfgxfhx22.（本题满分 10 分）在平面直角坐标系 中，斜率为 1 的直线 过定点（2，4） ，以xoylO 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为x C.0cos4sin2（1）求曲线 的直角坐标方程以及直线 的参数方程；Cl（2）直线 与曲线 相交于 M，N 两点，若 P（2，4） ，求|PM|+|PN|的值l-
9、 7 -成都龙 泉中学 2016 级高三上学期入学考试试题数学（理工类）参考答案15 DBABC 610 CBDCB 1112 BA13. 1415. 16.30914317.【解析】 （）设等差数列 的公差为 ，由题意得 ，即 ，nad215a2()14d解得 或 （舍） ，所以 . 2d21（）由 ，可得1na，141()()(1)21(2nnnnb 当 为偶数时，.2()()()()35711n nS n当 为奇数时， 为偶数，于是1n.()()()()22n n18.解：（1） 英语成绩服从正态分布 ,210,7.5N英语成绩特别优秀的概率为 1 1(3)(96)0.PX数学成绩特别优
10、秀的概率为 ,2.6.24英语成绩特别优秀的同学有 人，50数学成绩特别优秀的同学有 人. 4 分.1（2）英语的平均成绩为 100 分，数学的平均成绩 为60.180.64820.60.3294.7因为 ，947所以英语的平均成绩更高. 6 分（3）英语和数学都特别优秀的有 6 人，单科优秀的有 10 人， 可取得值有 0,1,2,3，； ；3106()4CP210637()5CP- 8 -；120635()CP361()28CP故 的分布列为： 0 1 2 3P3475618的数学期望为 （人） 59()12E或：因 服从超几何分布，所以 12 分3()19 （1）证明：因为顶点 1A在底
11、面 BC上的射影恰为 AC 的中点 M，所以 ，又 ，所以 ，1AMBC平 面 平 面 1AB又因为 ，而 ， 且 ，11平 面 1C平 面 A所以 平面 ，又因为 ，1平 面所以 1ABC（2）解：如图 9，以 为原点，建立空间直角坐标系 ， MMxyz则 1(0)(20)(0)(2)A， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，1 122BCP， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，于是 ，(0)(0)A， ， ， ， ，求得平面 的一个法向量为 ，1(42)n， ，由 ，求得平面 的一个法向量(20)(2)BP， ， ， ， ， PAB为 ，则 ，()m， ， |1053cos 93
12、26mn，所以二面角 1PAB的余弦值为 20解：（ 1）设直线 ，代入59得：设 ，- 9 -则 ；由 得：线段 中点 ,因为 为 的重心，AB22(,)1kmD所以 为定值.6 分1(OCABk点差法求证相应给分.（2）设 ，则代入 得 ，又 ，原 点 到 的距离于是所以 （定值）.12 分21. 解：（1） 对任意的 恒成立，2hxn0x等价于 对任意的 恒成立，3等价于 对任意的minnxx因为 ，2231当且仅当 时取等号，所以 ，得 .,3x1n所以实数 的最小值为 .n（2）因为 ， 5,032xfxgxfhx所以 ，2,3 3gxfxx当 时， ，0322x当 时， .x6- 10 -综上， .23gx所以函数 的值域为 .fhx23,22.【解答】解：（1）由斜率为 1 的直线 l 过定点（2，4） ，可得参数方程为：， （t 为参数） 由曲线 C 的极坐标方程为 sin 24cos=0，即 2sin24cos=0，可得直角坐标方程：C：y 2=4x（2）把直线 l 的方程代入抛物线方程可得： t 1+t2=12 ，t 1t2=48|PM|+|PN|=|t 1|+|t2|=|t1+t2|=
