1、11.5 二次函数的应用第 1 课时 利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题基础题知识点 1 利用二次函数解决实物抛物线问题1河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 y x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，这时水面宽度 AB 为(C)125A20 m B10 m C 20 m D10 m2西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为 3 m，此时距喷水管的水平距离为 m，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(C)12Ay(x )2312By3(x )2312Cy12(x )2312Dy12(x )23123
2、某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽 AB4 m，顶部 C 离地面高为 4.4 m.(1)以 AB 所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式；(2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面 2.8 m，装货宽度为 2.4 m，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门2解：(1)如图，过 AB 的中点作 AB 的垂直平分线，建立平面直角坐标系点 A，B，C 的坐标分别为 A(2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)设抛物线的表达式为 ya(x2)(x2)将点 C(0，4.4)代入得a(02)(02)4.4，解得 a1.1，
3、y1.1(x2)(x2)1.1x 24.4.故此抛物线的表达式为 y1.1x 24.4.(2)货物顶点距地面 2.8 m，装货宽度为 2.4，只要判断点(1.2，2.8)或点(1.2，2.8)与抛物线的位置关系即可将 x1.2 代入抛物线，得 y2.8162.8，点(1.2，2.8)和点(1.2，2.8)都在抛物线内这辆汽车能够通过大门知识点 2 利用二次函数解决面积问题4(教材 P32 习题 T2 变式)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为 16 m，则所围成矩形 ABCD 的最大面积是(C)A60 m 2 B63 m 2C64 m 2 D66 m 25某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池
4、底矩形的周长为 100 m，则池底的最大面积是(B)A600 m 2 B625 m 2C650 m 2 D675 m 26(教材 P31 练习 T2 变式)将一根长为 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2.25237在一幅长 80 cm、宽 50 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是 y cm2，设金色纸边的宽为 x cm，要求纸边的宽度不得少于 1 cm，同时不得超过 2 cm.(1)求出 y 关于 x 的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围；(2)此时金色纸边的宽应为
5、多少厘米时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积解：(1)镶金色纸边后风景画的长为(802x)cm，宽为(502x)cm，y(802x)(502x)4x 2260x4 000(1x2)(2)二次函数 y4x 2260x4 000 的对称轴为直线 x ，在 1x2 上，y 随 x 的增大而652增大当 x2 时，y 取最大值，最大值为 4 536.答：金色纸边的宽为 2 cm 时，这幅挂图的面积最大，最大面积为 4 536 cm2.中档题8(2018绵阳)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m，水面下降 2 m，则水面宽度增加(4 4) m.29某农场拟建三间长方形种牛饲养室，
6、饲养室的一面靠墙(墙长 50 m)，中间用两面墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的长度为 48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值是 144m2.10如图，小明的父亲在相距 2 m 的两棵树间拴了一根绳子，给他做了个简易秋千，拴绳子的地方4离地面都是 2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 m 的小明距较近的那棵树 0.5 m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子最低点距离地面的距离为多少米？解：如图，建立平面直角坐标系，由图可设抛物线的函数表达式为 yax 2c.把(0.5，1)，(1，2.5)代入，得 （ 0.5） 2a c 1，a c 2.5， )解得 a 2，c
7、12.)绳子所在抛物线的函数表达式为 y2x 2 .12当 x0 时，y ，12绳子最低点距离地面的距离为 0.5 m.11(2018荆州)为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过 18 m，另外三边由 36 m 长的栅栏围成，设矩形 ABCD 空地中，垂直于墙的边 ABx m，面积为 y m2.(如图)(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；(2)若矩形空地的面积为 160 m2，求 x 的值；(3)若该单位用 8 600 元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共 400 棵(每种植物的
8、单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)问丙种植物最多可购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明你的理由甲 乙 丙单价(元/棵) 14 16 28合理用地(m 2/棵) 0.4 1 0.4解：(1)y2x 236x.(9x18)5(2)由题意，得2x 236x160.解得 x18(舍去)，x 210.x 的值为 10.(3)设甲、乙、丙三种植物各购买 a 棵，b 棵，c 棵则解得a b c 400，14a 16b 28c 8 600， ) a 1 100 6c，b 1 500 7c. ) 183 c214 . 1 100 6c 0，1 500 7c 0，c 0， ) 13 27
9、c 最大为 214，即丙种植物最多可以购买 214 棵当 c214 时，a184，b2，1840.4212140.4161.2(m 2)y2x 236x2(x9) 2162，当 x9 时，空地的面积最大为 162 m2.162161.2，这批植物可以全部栽种到这块空地上6第 2 课时 利用二次函数解决销售问题及其他问题基础题知识点 1 商品销售问题1某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价若每件商品售价为 x 元，则可卖出(35010x)件商品，那么卖出商品所赚钱 y 元与售价 x 元之间的函数关系为(B)Ay10x 2560x7 350By10x 2560x7 35
10、0Cy10x 2350xDy10x 2350x7 3502一件工艺品进价为 100 元，标价 135 元售出，每天可售出 100 件根据销售统计，该件工艺品每降价 1 元出售，则每天可多售出 4 件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A)A5 元 B10 元 C0 元 D6 元3某商店经营某种商品，已知每天获利 y(元)与售价 x(元/件)之间满足关系式 yx 280x1 000，则每天最多可获利 600 元4(教材 P32 习题 T3 变式)一名在校大学生利用“互联网”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价 10 元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高
11、于 16 元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量 y(件)与销售价 x(元/件)之间的函数关系如图所示(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；(2)求每天的销售利润 W(元)与销售价 x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设 y 与 x 的函数关系式为 ykxb.将(10，30)，(16，24)代入，得 10k b 30，16k b 24.)解得 k 1，b 40.)y 与 x 的函数关系式为 yx40(10x16)(2)根据题意知，W(x10)y(x10)(x40)7x 250x400(x25)
12、 2225.a10，当 x25 时，W 随 x 的增大而增大10x16，当 x16 时，W 取得最大值，最大值为 144.答：当每件销售价为 16 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 144 元5(教材 P31 例变式)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的 50%标价已知按标价九折销售该型号自行车 8 辆与将标价直降 100 元销售 7 辆获利相同(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？(2)若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出售，该店平均每月可售出 51 辆；若每辆自行车每降价 2
13、0 元，每月可多售出 3 辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？解：(1)设该型号自行车进价为 x 元，则标价是 1.5x 元，由题意，得15x0.988x(1.5x100)77x，解得 x1 000.则 1.51 0001 500(元)答：该型号自行车进价为 1 000 元，标价为 1 500 元(2)设该型号自行车降价 a 元，利润为 w 元，由题意，得w(51 3)(1 5001 000a)a20 (a80) 226 460.320 0，320当 a80 时，w 最大 26 460.答：该型号自行车降价 80 元时，每月获利最大，最大利润是 26 460 元知识点
14、 2 其他最值问题6烟花厂为长沙橘子洲头周六晚上的烟花表演特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度8h(m)与飞行时间 t(s)的关系式是 h t220t1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则52从点火升空到引爆需要的时间为(B)A3 s B4 s C5 s D6 s7某果园有 100 棵橘子树，平均每一棵树结 600 个橘子根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橘子设果园增种 x 棵橘子树，果园橘子总个数为 y 个，则果园里增种 10 棵橘子树，橘子总个数最多中档题8向空中发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 米，且时间与高度的关系为yax 2bxc(a0)若此炮弹
15、在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(B)A第 8 秒 B第 10 秒 C第 12 秒 D第 15 秒9(2017天门)飞机着陆后滑行的距离 s(单位：米)关于滑行的时间 t(单位：秒)的函数表达式是s60t t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为 20 秒3210(2018安徽)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各 50 盆售后统计，盆景的平均每盆利润是 160 元，花卉的平均每盆利润是 19 元，调研发现：盆景每增加 1 盆，盆景的平均每盆利润减少 2 元；每减少 1 盆，盆景的平均每盆利润增加 2 元；花卉的平均每盆利润始终不变小明计划第二期培
16、植盆景与花卉共 100 盆，设培植的盆景比第一期增加 x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为 W1，W 2.(单位：元)(1)用含 x 的代数式分别表示 W1，W 2；(2)当 x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润 W 最大，最大总利润是多少？解：(1)第二期培植的盆景比第一期增加 x 盆，则第二期培植盆景(50x)盆，花卉100(50x)(50x)盆，由题意，得W1(50x)(1602x)2x 260x8 000，W219(50x)19x950.(2)WW 1W 22x 260x8 000(19x950)2x 241x8 950.20， 10.25，x 为整数，412（
17、 2）当 x10 时，W 最大，9W 最大 210 241108 9509 160(元)综合题11(2018黄冈)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量 y(万件)与月份 x(月)的关系为：y 每件产品的利润 z(元)与月份x 4（ 1 x 8， x为 整 数 ） ， x 20（ 9 x 12， x为 整 数 ） ， )x(月)的关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10(1)请你根据表格求出每件产品利润 z(元)与月份 x(月)的关系式；(2)若月利润 w(万元)当月销
18、售量 y(万件)当月每件产品的利润 z(元)，求月利润 w(万元)与月份 x(月)的关系式；(3)当 x 为何值吋，月利润 w 有最大值，最大值为多少？解：(1)根据表格可知：当 1x10(x 为整数)，zx20；当 11x12(x 为整数)，z10.z 与 x 的关系式为：z x 20（ 1 x 10， x为 整 数 ） ，10（ 11 x 12， x为 整 数 ） ， )或 z x 20（ 1 x 9， x为 整 数 ） ，10（ 10 x 12， x为 整 数 ） . )(2)当 1x8 时，w(x20)(x4)x 216x80；当 9x10 时，w(x20)(x20)x 240x400
19、；当 11x12 时，w10(x20)10x200.w 与 x 的关系式为：w x2 16x 80（ 1 x 8， x为 整 数 ） ，x2 40x 400（ 9 x 10， x为 整 数 ） ， 10x 200（ 11 x 12， x为 整 数 ） .)或 w x2 16x 80（ 1 x 8， x为 整 数 ） ，x2 40x 400 121（ x 9） ， 10x 200（ 10 x 12， x为 整 数 ） .)(3)当 1x8 时，wx 216x80(x8) 2144.当 x8 时，w 有最大值为 144.当 9x10 时，wx 240x400(x20) 2.此时 w 随 x 增大而减小，当 x9 时，w 有最大值为 121.10当 11x12 时，w10x200，此时 w 随 x 增大而减小，当 x11 时，w 有最大值为 90.90121144，当 x8 时，w 有最大值为 144.或当 1x8 时，wx 216x80(x8) 2144，当 x8 时，w 有最大值为 144；当 x9 时，w121；当 10x12 时，w10x200，此时 w 随 x 增大而减小，当 x10 时，w 有最大值为 100.100121144，当 x8 时，w 有最大值 144.
