1、11.2 二次函数的图象与性质第 1 课时 二次函数 yax 2(a0)的图象与性质基础题知识点 1 二次函数 yax 2(a0)的图象1下列各点在二次函数 y4x 2图象上的点是(C)A(2，2) B(4，1)C(1，4) D(1，4)2二次函数 y3x 2的图象是(B)A BC D3(教材 P6 例 1 变式)画二次函数 y2x 2的图象解：列表：x 2 1 0.5 0 0.5 1 2 y2x 2 8 2 0.5 0 0.5 2 8 描点、连线，图象如图所示知识点 2 二次函数 yax 2(a0)的性质4二次函数 yx 2的图象的开口方向是(A)A向上 B向下2C向左 D向右5对于函数 y
2、 x2，下列结论正确的是(D)13A当 x 取任何实数时，y 的值总是正数By 的值随 x 的增大而增大Cy 的值随 x 的增大而减小D图象关于 y 轴对称6(教材 P7 练习 T2 变式)在同一平面直角坐标系中，作出 yx 2、y2x 2、y x2的图象，它们的12共同特点是(D)A都是关于 x 轴对称，抛物线开口向上B都是关于原点对称，顶点都是原点C都是关于 y 轴对称，抛物线开口向下D都是关于 y 轴对称，顶点都是原点7二次函数 y x2的图象开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，0)258(2018广州)已知二次函数 yx 2，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大(填“增大”或
3、“减小”)9画二次函数 y x2的图象，并回答下列问题：32(1)当 x6 时，函数值 y 是多少？(2)当 y6 时，x 的值是多少？(3)当 x 取何值时，y 有最小值，最小值是多少？(4)当 x0 时，y 随 x 的增大怎样变化？当 x0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大16已知正方形的周长为 C cm，面积为 S cm2，请写出 S 与 C 之间的函数关系式，并画出这个函数的图象解：由题意，得 S C2(C0)116列表：C 2 4 6 8 S C2116 141 94 4 描点、连线，图象如图所示综合题17已知点 A(2，a)在二次函数 yx 2的
4、图象上(1)求点 A 的坐标；(2)在 x 轴上是否存在点 P，使OAP 是等腰三角形？若存在，写出点 P 坐标；若不存在，请说明理由解：(1)点 A(2，a)在二次函数 yx 2的图象上，a2 24.点 A 的坐标为(2，4)(2)分下列 3 种情况：5当 OAOP 时，点 P 的坐标：P 1(2 ，0)，P 2(2 ，0)；5 5当 OAAP，点 P 的坐标：(4，0)；当 OPAP 时，如图，过点 A 作 AEx 轴于点 E.在AEP中，AE 2PE 2AP 2，设 APx，则 42(x2) 2x 2.解得 x5.点 P 的坐标为(5，0)综上所述，使OAP 是等腰三角形的点 P 坐标为
5、(2 ，0)，(2 ，0)，(4，0)，(5，0)5 56第 2 课时 二次函数 yax 2(a0)的图象与性质基础题知识点 1 二次函数 yax 2(a0)的图象1如图所示的图象对应的函数表达式可能是(B)Ay x213By x213Cy3xDy3x2函数 y2x 2，当 x0 时图象位于(D)A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3(教材 P9 例 2 变式)画二次函数 yx 2的图象解：列表：x 3 2 1 0 1 2 3 yx 2 9 4 1 0 1 4 9 描点、连线，如图所示：知识点 2 二次函数 yax 2(a0)的性质4抛物线 y3x 2的顶点坐标是(D)A(3，0) B
6、(2，0)7C(1，0) D(0，0)5二次函数 y x2的最大值是(D)115Ax Bx0115Cy Dy01156若函数 y4x 2的函数值 y 随 x 的增大而减少，则自变量 x 的取值范围是(A)Ax0 Bx0Cx4 Dx47抛物线 y2x 2不具有的性质是(D)A开口向下 B对称轴是 y 轴C当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 D对应的函数有最小值8两条抛物线 y4x 2与 y4x 2在同一平面直角坐标系中，下列说法不正确的是(D)A顶点坐标相同 B对称轴相同C开口方向相反 D都有最小值9二次函数 y(2m1)x 2的图象开口向下，则 m 的取值范围是 m 1210填写下列抛物线
7、的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值抛物线 开口方向 对称轴顶点坐标最值yx 2 向上 y 轴 (0，0) 最小值 0yx 2 向下 y 轴 (0，0) 最大值 0y x215 向上 y 轴 (0，0) 最小值 0y x215 向下 y 轴 (0，0) 最大值 0中档题11下列说法错误的是(C)A二次函数 y3x 2中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大B二次函数 y6x 2中，当 x0 时，y 有最大值 08C抛物线 yax 2(a0)中，a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大D不论 a 是正数还是负数，抛物线 yax 2(a0)的顶点一定是坐标原点12抛物线 y2x 2，y2x 2
8、，y x2共有的性质是(B)12A开口向下B对称轴是 y 轴C都有最低点Dy 随 x 的增大而减小13已知点 A(1，y 1)，B( ，y 2)，C(2，y 3)在函数 yx 2的图象上，则 y1，y 2，y 3的大小2关系是(A)Ay 1y 2y 3 By 1y 3y 2Cy 3y 2y 1 Dy 2y 1y 314函数 y 与 yax 2(a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(D)ax15已知二次函数 yax 2的图象经过点(1，3)(1)求 a 的值；(2)当 x3 时，求 y 的值；(3)说出此二次函数的三条性质解：(1)抛物线 yax 2经过点(1，3)，a13.a3.(2)把
9、x3 代入抛物线 y3x 2，得y33 227.9(3)抛物线的开口向下；坐标原点是抛物线的顶点；当 x0 时，y 随着 x 的增大而减小；抛物线有最高点，当 x0 时，y 有最大值，是 y0 等16已知抛物线 ykxk 2k，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小(1)求 k 的值；(2)作出函数的图象解：(1)抛物线 ykxk 2k 中，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小， 解得 k2.k 0，k2 k 2.)函数的表达式为 y2x 2.(2)列表：x 2 1 0 1 2 y2x 2 8 2 0 2 8 描点、连线，画出函数图象如图所示综合题17已知二次函数 yax 2(a0)与一次函
10、数 ykx2 的图象相交于 A，B 两点，如图所示，其中A(1，1)，求OAB 的面积解：点 A(1，1)在抛物线 yax 2(a0)上，也在直线 ykx2 上，1a(1) 2，1k(1)2.解得 a1，k1.两函数的表达式分别为 yx 2，yx2.10由 解得y x2，y x 2， ) x1 1，y1 1， )x2 2，y2 4.)点 B 的坐标为(2，4)yx2 与 y 轴交于点 G，则 G(0，2)S OAB S OAG S OBG (12)23.1211第 3 课时 二次函数 ya(xh) 2(a0)的图象与性质基础题知识点 1 二次函数 ya(xh) 2(a0)的图象的平移1如果将抛
11、物线 yx 2向右平移 1 个单位长度，那么所得的抛物线的表达式是(C)Ayx 21 Byx 21Cy(x1) 2 Dy(x1) 22将抛物线 yx 2平移得到抛物线 y(x2) 2，则这个平移过程正确的是(A)A向左平移 2 个单位长度B向右平移 2 个单位长度C向上平移 2 个单位长度D向下平移 2 个单位长度知识点 2 画二次函数 ya(xh) 2(a0)的图象3(教材 P12 练习 T2 变式)已知二次函数 y (x1) 2.14(1)完成下表；x 7 5 3 1 1 3 5 y 9 4 1 0 1 4 9 (2)在下面的坐标系中描点，画出该二次函数的图象解：(1)如表(2)如图所示知
12、识点 3 二次函数 ya(xh) 2(a0)的图象与性质4对称轴是 x1 的二次函数是(D)Ayx 2 By2x 2Cy(x1) 2 Dy(x1) 25在函数 y(x1) 2中，y 随 x 的增大而减小，则 x 的取值范围是(C)12Ax1 Bx1Cx1 Dx16在平面直角坐标系中，二次函数 ya(x2) 2(a0)的图象可能是(D)7对于抛物线 y (x4) 2，下列结论：抛物线的开口向上；对称轴为直线 x4；顶点坐35标为(4，0)；x4 时，y 随 x 的增大而减小其中正确结论的个数为(B)A1 B2 C3 D48(教材 P12 练习 T1 变式)(1)抛物线 y3(x1) 2的开口向上
13、，对称轴是直线 x1，顶点坐标是(1，0)；(2)抛物线 y3(x1) 2的开口向下，对称轴是直线 x1，顶点坐标是(1，0)9抛物线 y(x3) 2，当 x3 时，y 随 x 的增大而增大；当 x3 时，y 随 x 的增大而减小10如果二次函数 ya(x3) 2有最大值，那么 a3 时，y 随 x 的增大而增大，则 h 的取值范围为 h3中档题13抛物线 y3(x1) 2不经过的象限是(A)A第一、二象限 B第二、四象限C第三、四象限 D第二、三象限14在同一直角坐标系中，一次函数 yaxc 和二次函数 ya(xc) 2的图象大致为(B)1315(2018潍坊)已知二次函数 y(xh) 2(
14、h 为常数)，当自变量 x 的值满足 2x5 时，与其对应的函数值 y 的最大值为1，则 h 的值为(B)A3 或 6 B1 或 6 C1 或 3 D4 或 616已知 A(4，y 1)，B(3，y 2)，C(3，y 3)三点都在二次函数 y2(x2) 2的图象上，则y1，y 2，y 3的大小关系为 y31 时，随着 x 值的增大，y 值逐渐增大；当 xy2y1 By 3y1y 2 Cy 1y2y3 Dy 1y 2y312小韵从如图的二次函数 yax 2bxc 图象中，观察得到下面四条信息：a0；c0；函数的最小值为3；对称轴是直线 x2.你认为其中正确的个数是(B)A4 B3 C2 D113
15、(2018黄冈)当 axa1 时，函数 yx 22x1 的最小值为 1，则 a 的值为(D)A1 B2 C0 或 2 D1 或 214如图，已知抛物线 yax 2bxc 与 x 轴交于 A，B 两点，顶点 C 的纵坐标为2，现将抛物线向右平移 2 个单位长度，得到抛物线 ya 1x2b 1xc 1，则下列结论正确的是(写出所有正确结论的序号)b0；abc0；阴影部分的面积为 4；若 c1，则 b24a.15已知二次函数 y x2x .12 32(1)画出这个函数的图象；(2)根据图象，写出当 y0 时，x 的取值范围；(3)若将此图象沿 x 轴向右平移 3 个单位长度，请写出平移后图象所对应的
16、函数表达式解：(1)如图所示23(2)当 y0 时，x 的取值范围是 x3 或 x1.(3)平移后图象所对应的函数表达式为 y (x2) 22(或写成 y x22x)12 1216已知二次函数 yx 24x3.(1)用配方法求其图象的顶点 C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；(2)求函数图象与 x 轴的交点 A，B 的坐标，及ABC 的面积解：(1)yx 24x3(x2) 21.函数的顶点 C 的坐标为(2，1)当 x2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x2 时，y 随 x 的增大而增大(2)令 y0，则 x24x30，解得 x11，x 23.当点 A 在点 B 左侧
17、时，A(1，0)，B(3，0)；当点 A 在点 B 右侧时，A(3，0)，B(1，0)AB 2.|1 3|过点 C 作 CDx 轴于 D，SABC ABCD 211.12 12综合题17如果二次函数的二次项系数为 1，则此二次函数可表示为 yx 2pxq，我们称p，q为此函数的特征数，如函数 yx 22x3 的特征数是2，3(1)若一个函数的特征数是2，1，求此函数的顶点坐标；(2)探究下列问题：若一个函数的特征数是4，1，将此函数图象先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，求得到的图象对应函数的特征数；24若一个函数的特征数是2，3，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的
18、图象对应的函数的特征数为3，4?解：(1)一个函数的特征数是2，1，该函数的表达式为 yx 22x1.yx 22x1(x1) 2，此函数的顶点坐标是(1，0)(2)一个函数的特征数是4，1，该函数的表达式为 yx 24x1，配方成顶点式为 y(x2) 25.将抛物线 y(x2) 25 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到抛物线的函数表达式为 y(x21) 251，即 y(x1) 24，即 yx 22x3.得到的图象对应函数的特征数为2，3一个函数的特征数是2，3，yx 22x3(x1) 22.一个函数的特征数是3，4，yx 23x4(x )2 (x1 )22 .将抛物线 yx 22x3 先向左平移 个单位长32 74 12 14 12度，再向下平移 个单位长度即可得到抛物线 yx 23x4，其特征数为3，414
