1、 1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)(1) 设商品的需求函数为 ,其中 分别表示为需求量和价格,如果商品需105QP求弹性的绝对值大于 1,则商品价格的取值范围是_.(2) 级数 的收敛域为 _.21()4nnx(3) 交换积分次序 _.210(,)ydfxd(4) 设 为 阶方阵, 为 阶方阵,且 ,则 _.AmBn0,AAaBbC(5) 将 等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词 SCIENCE 的,CEINS概率为_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.
2、在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设 ,其中 为连续函数,则 等于 ( )2()()xaFftd()fxlim()xaF(A) (B) 2 2f(C) 0 (D) 不存在(2) 当 时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( )x(A) (B) 2 1cosx(C) (D) 1 tan(3) 设 为 矩阵,齐次线性方程组 仅有零解的充分条件是 ( )Amn0Ax(A) 的列向量线性无关 (B) 的列向量线性相关(C) 的行向量线性无关 (D) 的行向量线性相关(4) 设当事件 与 同时发生时 ,事件 必发生,则
3、 ( )BC(A) (B) ()()1PC()1PAB(C) (D) A )(5) 设 个随机变量 独立同分布,n12,nX 211(),niiDXX,则 ( )221()niiSX(A) 是 的无偏估计量 (B) 是 的最大似然估计量S(C) 是 的相合估计量(即一致估计量) (D) 与 相互独立X三、(本题满分 5 分)设函数 问函数 在 处是否连续?若不连续,修lncos(1),i()2,.xfx()fx1改函数在 处的定义使之连续.1四、(本题满分 5 分)计算 arcot.xeId五、(本题满分 5 分)设 ,求 ,其中 有二阶偏导数.sin()xzy2zy(,)uv六、(本题满分
4、5 分)求连续函数 ,使它满足 .(fx20()2()xfftd七、(本题满分 6 分)求证:当 时, .1x21arctnarcos4xx八、(本题满分 9 分)设曲线方程 .(0)xye(1) 把曲线 , 轴, 轴和直线 所围成平面图形绕 轴旋转一周,y(0)xx得一旋转体,求此旋转体体积 ;求满足 的 .()V1lim(2aVa(2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.九、(本题满分 7 分)设矩阵 与 相似,其中AB.2010,231xBy(1) 求 和 的值.xy(2) 求可逆矩阵 ,使得 .PA十、(本题满分 6 分)已知三阶矩阵 ,
5、且 的每一个列向量都是以下方程组的解:0B1230,.x(1) 求 的值; (2) 证明 .0B十一、(本题满分 6 分)设 分别为 阶正定矩阵,试判定分块矩阵 是否是正定矩阵.AB、 mn、 0ACB十二、(本题满分 7 分)假设测量的随机误差 ,试求 100 次独立重复测量中,至少有三次测量误2(01)XN:差的绝对值大于 19.6 的概率 ,并利用泊松分布求出 的近似值 (要求小数点后取两位有效数字).附表 1 2 3 4 5 6 7 e0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 十三、(本题满分 5 分)一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件
6、需要调整的概率相应为 0.10,0.20 和0.30.假设各部件的状态相互独立,以 表示同时需要调整的部件数,试求 的数学期望XX和方差 .EXD十四、(本题满分 4 分)设二维随机变量 的概率密度为(,Y,0,(,)yexfx其 他(1) 求随机变量 的密度 ; (2) 求概率 .XXf1PXY1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】 (102【解析】根据 ,得价格 ,又由 得 ,)0QP20P105QP()5按照经济学需求弹性的定义,有,()51Q令 ,解得 .51105P0P所以商品价格的取值范围是
7、 .(,2(2)【答案】 (,4)【解析】因题设的幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性.首先当 即 时级数收敛.20x当 时,后项比前项取绝对值求极限有2(1) 2224()()limlim,14nnn nxxx 当 ,即当 或 时级数绝对收敛.2()400又当 和 时得正项级数 ,由 级数： 当 时收敛；当 时发x1np1pn1p散.所以正项级数 是发散的.1n综合可得级数的收敛域是 .(0,4)注：本题也可作换元 后,按如下通常求收敛半径的办法讨论幂级数 的收2xt 14nt敛性.【相关知识点】收敛半径的求法：如果 ,其中 是幂级数 的相1nlima1,na0nax邻两项的
8、系数,则这幂级数的收敛半径 , 0, , .R(3)【答案】2 212010(,)(,)x xdfydfyd【解析】这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成：原式由累次积分的内外层积分限确定积分区域 ：().Dfy D,2,01,xyxy即 中最低点的纵坐标 ,最高点的纵坐标0, 的左边界的方程是 ,即1yxy的右支, 的右边界的方程是2xD即 的右半圆 ,y2xyD 12O从而画出 的图形如图中的阴影部分,从图形可见 ,且D12D212(,)01,.xyyx所以2 2 21120010(,)(,)(,).yx xdfdfdfyd (4)【答案】 mnab【解析】由拉普拉斯展开式,
9、.()(1)0mnmnACBabB【相关知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式：设 是 阶矩阵, 是 阶矩阵,则 .*,AOB *mnOA(5)【答案】 1260【解析】按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可. 设所求概率为 ,易见,这是一个古典型概率的计算问题 ,将给出的七个字母任意排()PA成一行,其全部的等可能排法为 7!种,即基本事件总数为 ,而有利于事件 的样本点7!nA数为 ,即有利事件的基本事件数为 4,根据古典概型公式 .2! 2!1()60P二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(B)【解析】方法 1: 为“ ”型的极限未定式,又分子
10、分母在点 处导数都存在,lim()xaF00所以可应用洛必达法则.22()li()li()limxxaaxax ftdftd.22lim()1xaff故应选(B).方法 2: 特殊值法.取 ,则 .()2fx22li()lixaxaxFdt显然(A),(C),(D)均不正确,故选(B).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若 , , 均一阶可导,则()tFfxd()t.()()Ffttft(2)【答案】(D)【解析】由于 时, ,故0x22211cos,xx是同阶无穷小,可见应选(D).22,1cos,1x(3)【答案】(A)【解析】齐次方程组 只有零解 .0Ax()rAn由于 的行秩
11、的列秩,现 是 矩阵, ,即 的列向量线性无()r m()rA关.故应选(A).【相关知识点】对齐次线性方程组 ,有定理如下:0x对矩阵 按列分块 ,有 ,则 的向量形式为A12n, 0Axn.那么, 有非零解 线性相关0x12n,r, rA.(4)【答案】(B)【解析】依题意：由“当事件 与 同时发生时,事件 必发生”得出 ,故ABCBC；由概率的广义加法公式 推出()(PABC()()()PP；又由概率的性质 ,我们得出)()P1A,()()ABB因此应选(B).(5)【答案】(C)【解析】根据简单随机样本的性质,可以将 视为取自方差为 的某总体12,nX 2的简单随机样本, 与 是样本均
12、值与样本方差.XX2S由于样本方差 是总体方差的无偏估计量 ,因此 ,否则若 ,2,ESES则 , .故不能选(A).2()ES22()0DE对于正态总体, 与 相互独立,由于总体 的分布未知,不能选(D).同样因总体分SXX布未知,也不能选(B).综上分析,应选(C).进一步分析,由于样本方差 是 的一致估计量,其2S连续函数 一定也是 的一致估计量.2S三、(本题满分 5 分)【解析】函数 在 处连续,则要求 .(fx000lim()xfx方法 1:利用洛必达法则求极限 ,因为 为“ ”型的极限未定式,又分子1li()xf1x分母在点 处导数都存在 ,所以连续应用两次洛必达法则,有0111
13、1sin()lncos()2tan()colim()illii cos2xxxxf.214cs()linx而 ,故 ,所以 在 处不连续.(1)f1lim()xf()fx1若令 ,则函数 在 处连续.24方法 2:利用变量代换与等价无穷小代换, 时, ； .0x21cosx:ln()x:求极限 ,令 ,则有1li()xfxt100lncos()lnsl(cos)miimii1co1222xxt t tx.22200cs4lili48t t以下同方法 1.四、(本题满分 5 分)【解析】用分部积分法: 2arcotarcot1xxxxeIedd2rt(1)xxxed, 其中 为任意常数.21ar
14、cotln()xxxeeC注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定 与 均具有连续的导函数,则()ux()v或者 ,uvdxd .udvu五、(本题满分 5 分)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求 ,再求 .zx()zyx由复合函数求导法,首先求 ,由题设 ,xz 12cos()xzyy再对 求偏导数 ,即得y 122cos()in()()xy yyzx
15、y 12221()i()yyxx.12223cos()in()xyy【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 都在点 具(,)(,)uxyv(,)xy有对 及对 的偏导数,函数 在对应点 具有连续偏导数,则复合函数xy(,)zfuv在点 的两个偏导数存在,且有()()zfxy；12zzuvffuxvx.12ffyyy六、(本题满分 5 分)【解析】两端对 求导,得 .记 ,有通解x()2fxfx()2,()PQx,()()2221( ()PxdPxdxxxfeQeCedCe 其中 为任意常数 .C由原方程易见 ,代入求得参数 .从而所求函数 .(0)f 12()xf【相关知识点】一阶线性非
16、齐次方程 的通解为 ()yPxQ, 其中 为任意常数.()()PxddyeeC七、(本题满分 6 分)【解析】方法 1：令 ,则21(arctnarcos4xfx.222() 0(1)f因为 在 连续,所以 在 上为常数,因为常数的导数恒为 0.()fx1(fx1)故 ,即 . 02arctnarcos4方法 2：令 ,则 在 上连续,在 内可导,()21fxx()fx1(1)x由拉格朗日中值定理知,至少存在一点 ,使得()().ff由复合函数求导法则,得 ,22211( 0(1)()xfxx所以 .由 可得,当 时, .()1fx()0f2arctnarcos4【相关知识点】复合函数求导法则
17、:如果 在点 可导,而 在点 可导,则复合函数()ugx()yfx()ugx在点 可导,且其导数为yfx或 .()dyfxdyxu八、(本题满分 9 分)【解析】对于问题(1),先利用定积分求旋转体的公式求 ,并求出极限 .问题()Vlim()V(2)是导数在求最值中的应用,首先建立目标函数,即面积函数,然后求最大值.(1)将曲线表成 是 的函数,套用旋转体体积公式yx222200() (1),(1),x aVdeeVae.limli(1)由题设知 ,得 .2(1)4aeln2(2) 过曲线上已知点 的切线方程为 ,其中当 存在时,0xy00()ykx0()yx.0()kyx设切点为 ,则切线
18、方程为 .)ae ()ayex令 ,得 ,令 ,得 .x(1y01由三角形面积计算公式,有切线与两个坐标轴夹的面积为 .2(1)aSe因 令 得 (舍去).22(1)()(),aaaSeee 0,2,由于当 时, ；当 时, .故当 时 ,面积 有极大值,此问题中即为010S最大值.故所求切点是 ,最大面积为 .()e 21e【相关知识点】由连续曲线 、直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴()yfx,axbx旋转一周所得的旋转体体积为： .2()baVfd九、(本题满分 7 分)【解析】因为 ,故可用相似矩阵的性质建立方程组来求解参数 和 的值.若AB: xy,则 是 的特征向量.求可逆矩阵 就
19、是求 的特征向量.1PPA(1) 因为 ,故其特征多项式相同,即 即,EB.2()(1)(2)(1)2()x y由于是 的多项式,由 的任意性,令 ,得 . 令 ,得 .0()y3()()由上两式解出 与 .2y0x(2) 由(1)知 .1230:因为 恰好是对角阵 ,所以马上可得出矩阵 的特征值,矩阵 的特征值是BAA.123,当 时,由 , ,1()0EAx1010223得到属于特征值 的特征向量 .1(,)T当 时,由 , ,2()0EAx401023得到属于特征值 的特征向量 .2(,1)T当 时,由 , .32()0EAx01203得到属于特征值 的特征向量 .(1,)T那么令 ,有
20、 .1230(,)1P1PAB十、(本题满分 6 分)【解析】对于条件 应当有两个思路：一是 的列向量是齐次方程组 的解；0AB 0Ax另一个是秩的信息即 .要有这两种思考问题的意识.()rn(1) 方法 1：令 ,对 3 阶矩阵 ,由 , 知必有 ,否则213A0B0可逆 ,从而 ,这与 矛盾. 故A11()0BA,2031用行列式的等价变换,将第三列加到第二列上,再按第二列展开,有.1025(1)03A解出 .1方法 2：因为 ,故 中至少有一个非零列向量.依题意,所给齐次方程组 有非0B 0Ax零解,得系数矩阵的列向量组线性相关,于是,1203A以下同方法一.(2) 反证法：对于 ,若
21、,则 可逆,那么 .与已知条0BB10AB件 矛盾. 故假设不成立 , .0A【相关知识点】对齐次线性方程组 ,有定理如下:0Ax对矩阵 按列分块 ,有 ,则 的向量形式为12n, 0xn.那么, 有非零解 线性相关0Ax12n,r, rA.对矩阵 按列分块 ,记 ,那么B123(,).123(,)(0,)A因而 ,即 是 的解.0i(3)i0x十一、(本题满分 6 分)【解析】在证明一个矩阵是正定矩阵时,不要忘记验证该矩阵是对称的.方法 1：定义法.因为 均为正定矩阵 ,由正定矩阵的性质 ,故 ,那么AB、 ,TAB,即 是对称矩阵.00TTTACCB设 维列向量 ,其中 ,mn()ZXY1
22、212(,),(,)TTmnxYy 若 ,则 不同时为 0,不妨设 ,因为 是正定矩阵 ,所以 .0ZY0A0XA又因为 是正定矩阵 ,故对任意的 维向量 ,恒有 .于是BnY0TA,0(,)TT TXZCXYB即 是正定二次型,因此 是正定矩阵.T方法 2：用正定的充分必要条件是特征值大于 0,这是证明正定时很常用的一种方法.因为 均为正定矩阵 ,由正定矩阵的性质 ,故 ,AB、 ,TAB那么 ,即 是对称矩阵.00TTTCCB设 的特征值是 的特征值是 由 均正定,知12,m 12,.n.因为0,ij()ijn 0mmnnEACEABB11, 于是,矩阵 的特征值为 2,m 12,.n因为
23、 的特征值全大于 0,所以矩阵 正定.CC十二、(本题满分 7 分)【解析】设事件 “每次测量中测量误差的绝对值大于 19.6”,因为 ,A 2(01)XN:即.根据正态分布的性质则有：20,10EXD19.6()19.6XpPAXP|0|.|.01.961.(1.96)(.)XP(.)(.)2.219605设 为 100 次独立重复测量中事件 出现的次数,则 服从参数为YAY的二项分布.根据二项分布的定义,10,5np,则至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概(1)(0,12)knknPC率 为：33012YPYPY01010 1021 0.5(.).5(.).5(.)CC.9 98
24、292根据泊松定理,对于成功率为 的 重伯努利试验,只要独立重复试验的次数 充分大,pnn而 相当小 (一般要求 ),则其成功次数可以认为近似服从参数为的泊松分p10,.n布,具体应用模式为若 ,则当 充分大, 相当小时当 近似服从参数为()YB:pY的泊松分布 ,即 .np()(1)(0,12)!kknknpnPCe设 为 100 次独立重复测量中事件 出现的次数,则 服从参数为 的YAY,.05p二项分布.故 3131012PYPP02()()()!eee.251()87十三、(本题满分 5 分)【解析】令随机变量.1,0iiX第 个 部 件 需 调 整第 个 部 件 不 需 调 整 ，
25、， 1,23i依题意 相互独立, 且 分别服从参数为 0.1,0.2,0.3 的 分布,即123,X123, 0110 1p0.9 0.12X0 10.8 0.23X0 1p0.7 0.3由题意知 ,显然 的所有可能取值为 0,1,2,3,又 相互独立, 123X123,X所以(1) 12312300,0,PXP,3.98.7504123123123 2 ,0,0,1 10XPPX 3 0.8.709.7.98.9,PX1231233,1PXXPX.3006由 得出 0P2101 .54.398.60.92PXXP因此 的概率分布为0 1 2 3p0.504 0.398 0.092 0.006
26、(2)令 因 均服从1122.,0.,PXpPX3310.,pPXi分布,故 所以 ,0(1)iiiiiED123().()()0.EEX1 2 3().09.,.8.6,.7DD.因 服从 分布, 且 相互独立,故由数学期望与方差的23XiX012X性质 .1233()0EE.1246DD注： 的期望与方差也可以直接用期望与方差的公式来计算：X()0123.540.398.0.6.,EXPXPX2222() 30.1934D P十四、(本题满分 4 分)【解析】(1)已知联合概率密度可以直接利用求边缘密度的公式 求()(,)Xfxfyd出边缘概率密度.当 时, ;0x()0Xfxdy当 时, .(,)0xyyxxfdee因此 的密度为 ,().xXf(2) 概率 实际上是计算一个二重积分,根据概率的计算公式：1PXY,1()xyfdxy再由二重积分的计算,化为累计积分求得概率.Y1201(,)xyxyPXfdxyed111()2222000 .xxxe e1xyO1
