1、 2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）设 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是_.,0,1cos)(xxf若若（2 ） 已知曲线 bay23与 x 轴相切，则 2b可以通过 a 表示为 2b_.（3 ） 设 a0， ，gxf其 他若 ,10,)(而 D 表示全平面，则DdygxfI)(=_.（4 ） 设 n 维向量 0,),0(aaT；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵TEA， B1，其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_.（5 ） 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若 4.0
2、XZ，则 Y 与 Z 的相关系数为_.（6 ） 设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， n,21 为来自总体 X 的简单随机样本，则当n时， nii1依概率收敛于_.二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1 ） 设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 )0(f存在，则函数 xfg)(A) 在 x=0 处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点 x=0.(C) 在 x=0 处右极限不存在. (D) 有可去间断点 x=0. （2 ） 设可微函数 f(x,y)在点 ),(0yx取得极小值，则下列结
3、论正确的是(A) ),(0yxf在 0处的导数等于零 . （B） ),(0yxf在 0处的导数大于零.(C) 在 处的导数小于零 . (D) 在 处的导数不存在. （3 ） 设 2nnap， 2naq， ,1，则下列命题正确的是(A) 若 1n条件收敛，则1np与 1nq都收敛.(B) 若 1na绝对收敛，则 1n与 1n都收敛.(C) 若1n条件收敛，则1np与 1nq敛散性都不定.(D) 若 1na绝对收敛，则 1n与 1n敛散性都不定. （4 ） 设三阶矩阵 abA，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有(A) a=b 或 a+2b=0. (B) a=b 或 a+2b 0.(C) a b
4、且 a+2b=0. (D) a b 且 a+2b 0. （5 ） 设 s,21 均为 n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数 sk,21 ，都有 021sk ，则s,21线性无关.(B) 若 s,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 sk,21 ，都有.021skk(C) s, 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.(D) s21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 . （6 ） 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： 1A=掷第一次出现正面， 2A=掷第二次出现正面，3A=正、反面各出现一次 ， 4A=正面出现两次，则事件(A) 321,相互独立.
5、 (B) 432,相互独立. (C) 两两独立. (D) A两两独立. 三、 （本题满分 8 分）设).1,2,)1(sin1)( xxxf试补充定义 f(1)使得 f(x)在 ,2上连续.四 、 （本题满分 8 分）设 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 122vfu，又 )(21,),(2yxfyxg,求.22ygx五、 （本题满分 8 分）计算二重积分.)sin(2)(2dxyeIDyx其中积分区域 D= .,六、 （本题满分 9 分）求幂级数 12)1()(nnx的和函数 f(x)及其极值.七、 （本题满分 9 分）设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x),g(x)在
6、),(内满足以下条件：)(xgf， xf，且 f(0)=0, .2)(xegxf(1) 求 F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出 F(x)的表达式.八、 （本题满分 8 分）设函数 f(x)在0，3上连续，在（ 0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 )3,0(，使.0)(f九、 （本题满分 13 分）已知齐次线性方程组,0)(,)(,0)(321321 nnxbaxaxbxaxa 其中 .01nia试讨论 n, 和 b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解 . 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、 （本题满分
7、13 分）设二次型 )0(2),( 31321321 bxxaAXxfT，中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12.(1) 求 a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、 （本题满分 13 分）设随机变量 X 的概率密度为;,81,03)(2其 他若 xxfF(x)是 X 的分布函数. 求随机变量 Y=F(X)的分布函数.十二、 （本题满分 13 分）设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为7.0321，而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u).2003年考研数学（三
8、）真题解析一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1 ） 设 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是 2.,0,1cos)(xxf若若【分析】 当 0 可直接按公式求导，当 x=0 时要求用定义求导.【详解】 当 1时，有,0,0,1sinco)(21 xxxf 若若显然当 2时，有 )()(lim0ffx，即其导函数在 x=0 处连续.（2 ） 已知曲线 bxay23与 x 轴相切，则 2b可以通过 a 表示为 2b 64a .【分析】 曲线在切点的斜率为 0，即 y，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到
9、2与 a 的关系.【详解】 由题设，在切点处有32xy，有 .20ax又在此点 y 坐标为 0，于是有 0302bxa,故 .4)( 622 axb【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.（3 ） 设 a0， ，xxgf其 他若 ,10,)(而 D 表示全平面，则 DdxygfI)(= 2a .【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当 10,xy时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 DdxygfI)(= dxayx10,2= .)(102102axa【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被
10、积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4 ） 设 n 维向量 ,),(T；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵TEA， aB1，其中 A 的逆矩阵为 B，则 a= -1 .【分析】 这里 为 n 阶矩阵，而 2T为数，直接通过 EAB进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有)1)(TTaE= T= TT)(= TaE21= E)(,于是有 021a，即 012，解得 .1,2a 由于 A8 时，F(x)=1.对于 8,1x，有.13)(312xdtFx设 G(y)是随机变量 Y=F(X)的分布函数. 显然，当 0y时，G(y)=0 ；当 1y时，G(y)=1.对于 )1,0y，有)
11、(XFPyYG= )1133 y= .)(于是，Y=F(X)的分布函数为 .1,0,)(yyG若若 若【评注】 事实上，本题 X 为任意连续型随机变量均可，此时 Y=F(X)仍服从均匀分布:当 y f (a).(B) 至少存在一点 )(x，使得 )0 f (b).(C) 至少存在一点 ,0a，使得 x.(D) 至少存在一点 )(bx，使得 )(0f= 0. D (12) 设 n阶矩阵 A与 B等价, 则必有(A) 当 )0(|a时, a|. (B) 当 )0(|aA时, aB|.(C) 当 |时, |. (D) 当 |时, |. (13) 设 n阶矩阵 A的伴随矩阵 ,0* 若 4321,是非
12、齐次线性方程组 bAx的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 0Ax的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. (14) 设随机变量 X服从正态分布 )1,0(N, 对给定的 )1,(, 数 u满足 uXP, 若 xP|, 则 等于(A) 2u. (B) 21u. (C) 21u. (D) 1. 三、解答题(本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)(15) (本题满分 8 分)求 )cossinlm20xx.(16) (本题满分 8 分)求 Ddy2，其中 D 是由圆 4
13、2yx和 1)(2yx所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分 8 分)设 f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足dtt)(，x a , b)， badtgtf)()(.证明： aagf.(18) (本题满分 9 分)设某商品的需求函数为 Q = 100 5P，其中价格 P (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性 dE( 0)；(II) 推导 )1(dPR(其中 R 为收益) ，并用弹性 dE说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分 9 分)设级数 )(8642426 xxx的和函数为 S(x). 求：(I) S(x)所满足
14、的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.(20)(本题满分 13 分)设 T0,21(, T)3,21(2, Tb)2,1(, T)3,1(, 试讨论当 ba为何值时 , () 不能由 321线性表示;() 可由 ,唯一地线性表示, 并求出表示式; () 可由 321线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分 13 分)设 n阶矩阵1 bA.() 求 的特征值和特征向量 ;() 求可逆矩阵 P, 使得 为对角矩阵.(22) (本题满分 13 分)设 A， B为两个随机事件 ,且 41)(A, 31)|(BP, 21)|(BA, 令不X0,1.0不Y求() 二维随机变
15、量 ),(Y的概率分布;() X与 的相关系数 X; () 2Z的概率分布. (23) (本题满分 13 分)设随机变量 的分布函数为 不不xxF0,1),(其中参数 1,0. 设 nX,2 为来自总体 的简单随机样本 ,() 当 时 , 求未知参数 的矩估计量;() 当 时 , 求未知参数 的最大似然估计量; () 当 2时, 求未知参数 的最大似然估计量. 2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）(1) 若 5)(cosinlm0bxaex，则 a = 1，b = 4.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详
16、解】因为 )(ilx，且 0)(cosinlm0bxx，所以0)(li0aex，得 a = 1. 极限化为 51)(cosli)cosnm0bxbx，得 b = 4.因此，a = 1，b = 4.【评注】一般地，已知 )(ligf A，(1) 若 g(x) 0，则 f (x) 0；(2) 若 f (x) 0，且 A 0，则 g(x) 0.(2) 设函数 f (u , v)由关系式 f xg(y) , y = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y) 0，则 22g.【分析】令 u = xg(y)，v = y，可得到 f (u , v)的表达式，再求偏导数即可.【详解】令 u
17、= xg(y)，v = y，则 f (u , v) = (g，所以， )(1gf， )(2vf.(3) 设 21,)(2xexf，则 21)(21dxf.【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令 x 1 = t， 12122 )()()( dtxftfdxf )(0)(2121dex.【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型 213221321 )()()(),( xxxxf 的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均
18、可得到答案.【详解一】因为 213221321 )()()(),( xxxxf 23122于是二次型的矩阵为 A,由初等变换得 03213021,从而 2)(Ar, 即二次型的秩为 2. 【详解二】因为 21322131 )()()() xxxxf 3232221x3)()( xx221y, 其中 ,2131xx 32xy.所以二次型的秩为 2.(5) 设随机变量 X服从参数为 的指数分布, 则 DXP e1.【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于 21D, 的分布函数为.0,)(xexF故 DXP1DXP1P)(Fe1.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考
19、查, 属基本题型.(6) 设总体 服从正态分布 )(21N, 总体 Y服从正态分布 ),(2N,1,21n和 2,nY 分别是来自总体 和 的简单随机样本, 则221221 )()( nYXEnjjnii .【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 21)(Xnii, 212)(2YnEjj,故应填 2.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数 2)(1sin|)(xxf在下列哪个区间内有界.(A) (1 ,
20、0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). A 【分析】如 f (x)在(a , b)内连续，且极限 )(limxfa与 )(lixfb存在，则函数 f (x)在(a , b)内有界.【详解】当 x 0 , 1 , 2 时，f (x)连续，而 183sin)(li1fx， 42sin)(lim0fx，4sin)(lim0fx， li， 2，所以，函数 f (x)在(1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数 f (x)在闭区间a , b上连续，则 f (x)在闭区间a , b上有界；如函数 f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限 l
21、i与 )(limxf存在，则函数 f (x)在开区间(a , b)内有界.(8) 设 f (x)在( , +)内有定义，且 ，0,1(xfg，则(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点.(C) x = 0 必是 g(x)的连续点.(D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. D 【分析】考查极限 lim是否存在，如存在，是否等于 g(0)即可，通过换元 xu1，可将极限 )(li0x转化为 )(lixf.【详解】因为 )(li10ufgx= a(令 x1)，又 g(0) = 0，所以，当 a = 0 时， )(li
22、，即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a 0 时，)(limx，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g( x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9) 设 f (x) = |x(1 x)|，则(A) x = 0 是 f (x)的极值点，但 (0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点 .(B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.(C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.(D) x
23、 = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点. C 【分析】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设 0 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x)的极小值点.显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x ( , 0)时，f (x) = x(1 x)， 2(f，当 x (0 , )时，f (x) = x(1 x)， 02f，所以(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.故选(C).【评注】对于极值
24、情况，也可考查 f (x)在 x = 0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(10) 设有下列命题：(1) 若 12)(nnu收敛，则1nu收敛.(2) 若 收敛，则 10n收敛.(3) 若 limnu，则u发散.(4) 若 1)(nv收敛，则 1n， nv都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). B 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性 .【详解】(1)是错误的，如令 nu)1(，显然，1nu分散，而12)(nnu收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变
25、级数的收敛性.(3)是正确的，因为由 lim1nu可得到 n不趋向于零(n )，所以 1n发散.(4)是错误的，如令 v,，显然， 1nu， nv都发散，而1)(nvu收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设 )(xf在a , b上连续，且 0)(,)(bfaf，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点 ,0b，使得 x f (a).(B) 至少存在一点 )(x，使得 )0 f (b).(C) 至少存在一点 ,0a，使得 x.(D) 至少存在一点 )(bx，使得 )(0f= 0. D 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，
26、由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知 )(f在a , b上连续，且 0)(,)(bfaf，则由介值定理，至少存在一点 ,0bax，使得 0)(xf；另外， )(lim)(ff ，由极限的保号性，至少存在一点 ),(0bax使得 00ax，即 )(afxf. 同理，至少存在一点 ,使得 )(bff. 所以， (A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设 n阶矩阵 A与 B等价, 则必有(A) 当 )0(|a时, a|. (B) 当 )0(|aA时, aB|.(C) 当 |时, |. (D) 当 |时, |. D 【分
27、析】 利用矩阵 A与 B等价的充要条件 : )(r立即可得.【详解】因为当 0|时, nr)(, 又 A与 B等价, 故 n, 即 0|B, 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设 n阶矩阵 的伴随矩阵 ,* 若 4321,是非齐次线性方程组 bAx的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 0x的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. B 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】 因为基础解系含向量的个数= )(Arn,
28、 而且.1)(,0,1,)(*nArr根据已知条件 ,0*A 于是 )(r等于 n或 1. 又 bAx有互不相等的解, 即解不惟一, 故 1)(nr. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵 与其伴随矩阵 *A的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量 X服从正态分布 ),0(N, 对给定的 )1,0(, 数 u满足 uXP, 若 xP|, 则 等于(A) 2u. (B) 21u. (C) 21u. (D) 1. C 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】 由 xX|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得
29、21P. 故正确答案为 (C).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)(15) (本题满分 8 分)求 cossin1lm20xx.【分析】先通分化为“ 0”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】 xxx 2020 sincolim)cossin1(l = 346)(21lim64s1li41li4lim0203020 xxxx.【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“ ”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) (本题满分 8 分)求
30、Ddyx2，其中 D 是由圆 42yx和 1)(2yx所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域 D 分为大圆 |),(1减去小圆)1(|,22yxy，再利用对称性与极坐标计算即可 .【详解】令 1)(|,4| 22yxy，由对称性， 0Dd. 2122DDD dyxdyxdyx cos0230rr.)(9163所以， )23(9162Ddyx.【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(17) (本题满分 8 分)设 f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足dtt)(，x a , b)
31、， badtgtf)()(.证明： aagf.【分析】令 F(x) = f (x) g(x)， xadtFG)(，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令 F(x) = f (x) g(x)， ，由题设 G(x) 0，x a , b，G(a) = G(b) = 0， )(F.从而 babaa dxGdxxGdF )()(，由于 G(x) 0，x a , b，故有ba，即 )(d.因此 babadxgxf)(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(18) (本题满分 9 分)设某商品的需求函数为 Q = 100 5P，其中价格 P (0 , 20)，
32、Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性 dE( 0)；(II) 推导 )1(dPR(其中 R 为收益)，并用弹性 dE说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.【分析】由于 E 0，所以 dPQ；由 Q = PQ 及 Pd可推导)1(dEQPR.【详解】(I) P20.(II) 由 R = PQ，得)1()1(dEQddQP.又由 20Ed，得 P = 10.当 10 1，于是 0R，故当 10 0 时，需求量对价格的弹性公式为 dPQEd.利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：QdpR)1(， QRd)1(， pRd)1(，dEp(收益对价格的弹性).(19) (本
33、题满分 9 分)设级数 )(8642426 xxx的和函数为 S(x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.【分析】对 S(x)进行求导，可得到 S(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得 S(x)的表达式.【详解】(I) 8642426，易见 S(0) = 0， )(753xx)642(2)(xS.因此 S(x)是初值问题 0)(,23yxy的解.(II) 方程 的通解为23Cdxeyxd1，由初始条件 y(0) = 0，得 C = 1.故 2xey，因此和函数 12)(xexS.【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002 年考过类似的题.(20)(本题满分 13 分)设 T0,1(, T)3,21(2, Tb),1(, T)3,1(, 试讨论当 ba为何值时 , () 不能由 321线性表示;() 可由 ,唯一地线性表示, 并求出表示式; () 可由 321线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】将 可否由 线性表示的问题转化为线性方程组 kk321是否有解的问题即易求解.【详解】 设有数 ,321k使得32. (*)记 ),(321A. 对矩阵 ),(A施以初等行变换, 有323011),(ba 001ba.() 当 a时, 有
