1、2014 年考研数学三真题 一、选择题（1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 ）(1)设 且 0 ，则当 充分大时有lim=, (A) (B)|2 |-1 |2【方法 2】排除法：若取 显然 ,且(B )和(D)都不正确；=2+2, a=2取 显然 ，且(C)不正确=2-2, a=2综上所述，本题正确答案是(A )【考点】高等数学函数、极限、连续极限的概念与性质(2)下列曲线中有渐近线的是(A) (B)=+sin =2+sin(C) (D) =+sin1 =2+sin1【答案】C。【解析】【方法 1】由于lim()=+sin1 =
2、1=()=+sin1=sin1=0=所以曲线 有斜渐近线 ，故应选(C)=+sin1 y=解法 2考虑曲线 与直线 纵坐标之差在 时的极限=+sin1 y= x+sin1=sin1=0则直线 是曲线 的一条斜渐近线，故应选(C)y= =+sin1综上所述，本题正确答案是(C)【考点】高等数学一元函数微分学曲线的凹凸、拐点及渐近线(3)设 当 时，若 是比 p()=+2+3. x0 p()-tan 3高阶的无穷小，则下列选项中错误的是(A) (B)=0 =1(C) (D)=0 =16【答案】D。【解析】【方法 1】当 时， 知， 的泰勒公式为x0 tan 133 tantan=+ 133+(3)
3、又limx0p()-tan3 =x0+(1)+2+(13)3+(3)3 =0则 =0,=1,=0,=13【方法 2】显然 ， =0limx0p()-tan3 =x0+2+3-tan3 =x0+2+32232由上式可知， ,否则等式右端极限为，则左端极限也为b=1，与题设矛盾。limx0p()-tan3 =x02+32232 =x023+13故 =0,=13综上所述，本题正确答案是(D)。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量及其阶的比较(4)设函数 具有二阶导数， ,则在区间f() g()=(0)(1)(1)0,1上(A)当 时，f()0 f()()(B)当 时，f()0 f()()(C)当
4、 时，f()0 f()()(D)当 时，f()0 f()()【答案】D。【解析】【方法 1】由于 则直线 过点(0)=(0),(1)=(1), =(0)(1)(1)和( ),当 时，曲线 在区间0,1 上是(0,(0)1,(1)f()0 y=f()凹的，曲线 应位于过两个端点 和 的弦y=f() (0,(0)(1,(1)的下方，即 =(0)(1)(1) f()()【方法 2】令 ,则()=()()=()(0)(1)(1), ,()=()+(0)(1)()=()当 时， 。则曲线 ，f()0 ()0 ()在区间 0,1上是凹的又 ，(0)=(1)=0从而，当 时， ,即x0,1()0 f()()
5、【方法 3】令 ,()=()()=()(0)(1)(1)则 ,()=()(1)+(0)(1)(1)=(1)()(0)(1)()=(1)()(1)() (0,),(,1)=(1)()()当 时, 单调增， ，从而，当 时，f()0 () ()() x0,1,即()0 f()()综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学一元函数微分学函数不等式证明(5)行列式 |0 0 00 0 0 00 |=(A) (B)()2 ()2(C) (D)2222 22-22【答案】B。【解析】灵活使用拉普拉斯公式|0 0 00 0 0 00 | = -|c 0 0 0 0 0 0 0 0|=| 0 00 00
6、00 0 |= =| | ()2综上所述，本题正确答案是(B)【考点】线性代数行列式数字型行列式的计算(6)设 均为三维向量，则对任意常数 ,向量组1,2,3 ,线性无关是向量组 线性无关的1+3,2+3 1,2,3(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件【答案】A。【解析】记 ，则1=1+3,2=2+3(1， 2)=(1,2,3)1 00 1 若 线性无关，则 是 3 阶可逆矩阵，1,2,3 (1,2,3)故 ,即 线性无关。r(1， 2)=1 00 1 =2 1+3,2+3反之，设 线性无关， ，则对于则对任意常数 ,向量1,2 3=0 ,组
7、 线性无关，但 线性相关，1+3,2+3 1,2,3所以 线性无关是向量组 线性无关的必要1+3,2+3 1,2,3非充分条件。综上所述，本题正确答案是(A )。【考点】线性代数向量向量组的线性相关与线性无关(7)设随机事件 与 相互独立，且 ,则 ()=0.5,()=0.3()=(A)0.1 (B)0.2(C)0.3 (D)0.4【答案】B。【解析】 ， 独立，则 独立， 也独立,而 , , , =可用独立性来计算。=()=()=()()=0.3()=1()=0.5可得 ()=0.6()=()=()()=0.50.4=0.2综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】概率论与数理统计随机事件和概
8、率事件关系，概率性质和五大公式(8)设 为来自正态总体 的简单随机样本，则统计量1,2,3 (0,2)服从的分布为=122|3|(A) (B) (1,1) (2,1)(C) (D)(1) (2)【答案】C。【解析】，所以12(0,22) 122(0,1)，3(0,2),3(0,1)(3)22(1)与 相互独立，故 与 也独立。12 3122 (3)2所以 ,而122(3)2/1(1)122(3)2/1=122|3|=综上所述，本题正确答案是 C。【考点】概率论与数理统计数理统计的基本概念二、填空题（9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分。 ）(9)设某商品的需求函数为 ( 为商品的价格
9、)，则该商品=402的边际收益为 。【答案】 20-Q【解析】由题设知收益函数为 ,则边际收益为=(402)=20【考点】高等数学一元函数微分学一元微分在经济中的应用(10)设 是由曲线 与直线 及 围成的有界区域， x+1=0 +=0 y=2则 的面积为 。【答案】32-2【解析】【方法 1】曲线 与直线 及 围成的有界区域 如下图，x+1=0 +=0 y=2 则 的面积为=122+1212+1=32-2yy=2x+1=0+=0【方法 2】用二重积分计算面积，即=211=211+=32-2【考点】高等数学一元函数积分学定积分应用(11)设 ,则 。02=14 a=【答案】 。12【解析】02
10、=1202=122|01202=(214)2+14可知 ，则(214)2=0 a=12【考点】高等数学一元函数积分学定积分计算(12)二次积分 = 。101(22)【答案】 。12【解析】二次积分的积分区域为=(,)01,1=(,)01,0交换积分次序得101(22)=100(22) =10(202)=10210(02)=102(02)|10+102=102102+122|10=12【考点】高等数学二重积分变换积分次序和坐标系(13)设二次型 的负惯性指数(1,2,3)=1222+213+423为 1，则 的取值范围是 。【答案】 2,2【解析】由配方法 (1,2,3)=12+213+232(
11、22423+432)+432232=(1+3)2(223)2+(42)32负惯性指数为 1，故 ，解得420 a2,2【考点】高等数学二次型二次型的概念与标准形(14)设总体 的概率密度为X(;)=232, 00 , 0对 进行独立重复的观测，直到第二个大于 3 的观测值出现时停止，记 为观测次数(I)求 的概率分布(II)求 【解析】() 令 对 进行一个观测得到的值大于 3。= 显然 ,()=3=+3 ()=+3 2-2=18记事件 发生的概率 ()=18=的可能取值应为 , =2,3,=11(1)2=(1)2(1)2,=2,3,所以 的分布为=(1)2(1)2， =18， =2,3,（）
12、记=2(1)2(1)2 1-=22(1)q2=2(2q1)=2(1q11)=2(1q1)=2()2(1q)=2()2(0q1)=2()2(0q)=2()2( 11)=2 1(1)2=2 2(1)3=2 23=2=16【考点】高等数学随机变量的数字特征数学期望(23)设随机变量 的概率分布相同， 的概率分布为 ,X, X =0=13，且 的相关系数=0=23 X, =12(I)求 的概率分布；(X,)(II)求 +1【解析】X Y 0 10 a c1 b d, =(X,). =23 =2313=29(X,)=2323=49=(X,)=4929 =12解得=59由此可得 =23=19 , =13=29所以X Y 0 10 29 191 19 59（）+1=1-+1=1=49【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征概率分布，相关系数
