1、等腰三角形的性质与判定练习基础知识1.两个底角相等(简写为“等边对等角 ”)2.底边的中线、高及顶角平分线三线合一.3.等边三角形各内角都等于 60.利用这些性质，可以解决有关三角形的边、角的证明及计算问题，也可以利用性质来进行有关线段、角的证明及计算问题.等腰三角形的判定定理如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）等腰三角形判定定理的推论推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论 2：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等边三角形的判定方法（1）运用定义
2、：三条边相等（2）三个角相等（3）有一个角是60的等腰三角形典型例题例 1 求证：等腰三角形两腰的中线相等.已知ABC 中 AB=AC，BD、CE 为中线，求证 BD=CE.例 2. 已知：如图，在ABC 中，B=C ，D、E、F 分别为 AB，BC，AC 上的点，且BD=CE，DEF=B。求证：DEF 是等腰三角形。例 3. 如图所示，在 ABC 中，AB=AC ，D 是ABC 外一点，且 ABD60，ACD60，求证：BD+DC=AB。 A B D C 例 4. 如图所示，已知： ABC 中，AB=AC ，在 AB 上取点 D，在 AC 延长线上取点 E，使 BD=CE。连结 DE 交 B
3、C 于点 G。求证：DG=GE。 A D G B C E 例 5. ABC 中，AB=AC， BAC=120,D 为 BC 上一点，DAAB，AD=24,求 BC.分析：由已知等腰三角形顶角 120,可求出底角 30(B=30)，可计算出C=CAD=30 .再利用等腰ADC 及有一个锐角为 30的 RtADB 三边的关系求出结论.例 6 ABC 中，B C ，求证 ACAB.例 7 D 为ABC 内一点，AB=AC，ADBADC. 求证 DCDB.例 8 如图， ABC 为等边三角形，D 在 BA 延长线上，E 在 BC 延长线上，且 DA=BE.求证 DC=DE.同步练习一. 选择题1. 在
4、下列命题中：（1）有一个外角是 120的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的有（ ）A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个2. 如图所示，MNP 中， PMNPQN60， ， ，垂足为 Q，延长 MN至 G，取 NG=NQ，若MNP 的周长为 12，MQ=a ，则MGQ 的周长是（ ）A. 82aB. 8aC. 6D. 2P Q M N G A D F E B C 3. 具有下列条件的两个等腰三角形，不能判定它们全等的是（ ）A. 顶角、一腰
5、对应相等 B. 底边、一腰对应相等C. 两腰对应相等 D. 一底角、底边对应相等4. 如图所示，F 为ABC 的两个内角平分线的交点，过点 F 作 DE/BC 交 AB 于 D，交AC 于 E，若 BD+CE=9，则线段 DE 的长为（ ）A. 9 B. 8 C. 7 D. 65. 在ABC 中， ABCDAB： ： ： ： ， 于123，AB=a，则 BD 等于（ ）A. a2B. 4C. a3D. 无法确定二. 证明题1. 如图所示，BD=DC，BF 交 AD，AC 于 E、F，若 AF=EF，求证：BE=AC。 A F E B D C 2. 如图所示，等边 ABC 中，BDCEA1313
6、，求证： EA。 A E B D C 3. 如图所示， ACBCDA312， ， 于 ，求证： A2。A 1 2 D B C 4. 如图所示，D 是 ABC的平分线与 A的外角平分线的交点，DE/BC ，交 AB 于E，交 AC 于 F。求证： EF。 A E F D B C 课下练习1.D 为等边三角形 ABC 边 AC 上一点，ACE=ABD，CE=BD.(图 3.13-11)则ADE 是( )A.钝角三角形 B.直角三角形 C.任意等腰三角形 D.等边三角形2.AD 为ABC 的角平分线，AB+BD=AC，则B C 值为( )A.21 B.31 C.41 D.513.ABC 中，A= C
7、=55,形内一点 P 使PAC=PCA，则ABP 为( )A.30 B.35 C.40 D.454.ABC 中，AB=AC ，BAC=120,D 为 BC 上一点，DAAB，AD=24 则 BC=( )A.24 B.36 C.72 D.965.等腰直角三角形斜边长为 a，则面积为( )A. a2 B. a2 C.a2 D.2a24116.如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是( )A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.斜三角形7.ABC 中C=2B，则( )A.AB2AC B.AB=2AC C.AB2AC D.AB 与 2AC 关系不确定.8.如图,
8、ABC 中 AB=AC， A=36,BD、CE 为角平分线，交于 O，则图中等腰三角形共有( )A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.10 个9. 在直角坐标系中，O 为坐标原点， A（1，1） ，在 x 轴上确定一点 P，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的点 P 共用（ ）（A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个10如果等腰三角形一个腰上的高与腰的夹角是 30，则它的顶角度数是 11.AD 为ABC 的角平分线，M 为 BC 中点，MEAD 交 BA 延长线于 E，交 AC 于 F.求证 BE=CF= (AB+AC)2112.Rt ABC 中，AC=BC，D 为形内一点，满足DCB=DBC=15 .求证 AC=AD.13.如图村庄 A、B 位于一条小河的两侧；若河岸 l1，l 2 彼此平行，现在要架设一座与河岸垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近.探究学习：当要证相等的二线段是同个三角形的两边，或二线段有公共点，连结另两个端点，使其成为三角形的两边，若能证得两边对的角相等；则可证得二线段相等，基本图形有：
