1、河南省普通高中 2013 年新课程高考适应性考试（一）数学（理）试题本试题卷分第 1 卷（选择题）和第卷（必考题和选考题两部分） 。考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡） ，在本试题卷上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本大题共 1 2 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集 U=R，集合 A=1，2，3，4，5，B= ，下图中阴影部分所表示的集合为|2xA0，1，2 B 1，2C1 C 0，12复数 ，在复平面上对应的点位于3izA第一象限 B第二象限 C第二象限 D第四象限3若 ，则 tan =1
2、3sinco,(0,)2A B C D334已知命题 使得 命题 ，下列命题为真的是:,pxR12,x2:,10qxRAp q B （ C D )p()pq()pq5某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为A B C D43831232436已知ABC 中，C=45，则 sin2A=sin2B 一 sinAsinB=A B C D14147如图是计算函数 的值的程序框图，在、 处分别应填入的是ln(),2,03,xyAy=ln（一 x） ，y=0 ，y=2 xBy=0，y=2 x，y=In（一 x）Cy=ln（一 x） ，y=2 z，y=0Dy=0， y=ln（一 x） ，y=2
3、x8已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足（a-c） （ b 一 c）=0 ，则|c|的最大值是A1 B 2C2 D9已知 A，B，C，D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD平面ABC，AD=2AB=6 则该球的表面积为A16 B 24 C32 D48310在二项式（ 的展开式中，各项系数之和为 M，各项二项式系数之和为 N，且3)nxM+N=72，则展开式中常数项的值为A18 B 12 C9 D611已知函数 ，如果存在实数 x1，使得对任意的实数 x，都有()sincos(0)fxx成立，则 的最小值为112)fA B C D 20040240212
4、过双曲线 的右顶点 A 作斜率为一 1 的直线，该直线与双曲线的两21(,)xyab条渐近线的交点分别为 B，C，若 A，B ，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为A B C D 3503第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 2l 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 2224 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13已知函数 的最大值是 。 90,1,33xyyzxy满 足 则14已知圆 过坐标原点，则圆心 C 到直线 距离的22:()()8(0)Cxaba:1xylba最小值等于 15已知函数 上的奇函数，且 的图象关于直线
5、 x=1 对称，当()f是 -,+)()fx时， 1,0x1(,(2013xf则16如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 M则点 M 恰好取自阴影部分的概率是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 12 分）已知数列 中na12215,4, .3nnnaa满 足（I）设 ，求证数列 是等比数列；nbb（）求数列 的通项公式18 （本小题满分 12 分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取 60 名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成 6组后，得到部分频率分布直方图（如图） ，观察图中的信息，回答下列问题() 求分数在70 ，80）内的频率，并
6、补全这个频率分布直方图；() 根据频率分布直方图，估计本次考试的平均分；() 若从 60 名学生中随机抽取 2 人，抽到的学生成绩在 40，70）记 0 分，记70，100 记 1分，用 X 表示抽取结束后的总记分，求 X 的分布列和数学期望。19 （本小题满分 12 分） 如图。在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB=BC=2AA 1， ABC=90，M 是 BC 中点。（I）求证：A 1B平面 AMC1；（II）求直线 CC1 与平面 AMC1 所成角的正弦值；（）试问：在棱 A1B1 上是否存在点 N，使 AN 与 MC1 成角 60？若存在，确定点 N 的位置；若不存在，请说明理由。
7、20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C 的方程为 左、右焦点分别为21(0),xyabF1、F 2，焦距为 4，点 M 是椭圆 C 上一点，满足 112436,.FMFS且（）求椭圆 C 的方程；（）过点 P（0，2）分别作直线 PA，PB 交椭圆 C 于 A，B 两点，设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k 2， ，求证：直线 AB 过定点，并求出直线 AB 的斜率 k 的取值范124k且围。21 （本小题满分 12 分）已知函数 2()ln1)(0().fxfxf（1）求 的解析式及减区间；（2）若 的最小值。23,2bfxa求请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果
8、多做则按所做的第一题记分做答时请写清题号。22 （本小题满分 10 分）选修 4 一 1：几何证明选讲在 ABC 的边 AB，BC，CA 上分别取 D，E，F使得 DE=BE，FE=CE ，又点 O 是ADF的外心。（）证明：D，E，F ，O 四点共圆；（）证明：O 在DEF 的平分线上23 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）在极坐标系（与直1cos,2inxty角坐标系 xOy 取相同的长度单位。且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 6sin.（I）求圆 C 的直角坐标方程；（）设
9、圆 C 与直线 l 交于点 A，B 若点 P 的坐标为（1,2）,求 的最小值|PAB24 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数 =()fx2|.x（I）求函数 的最小值 m；（II）若不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围|2|xa2013 年河南省新课程高考适应性考试（一）理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C D A A B B D D C B C二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）（13） （14） （15） （16）116三、解答题（17）解：（）递推公式可化
10、为 ，即 . 3 分211()3nnaa123nnb又 ，1213b所以数列 是首项为 3，公比为 的等比数列. 5 分n 2（）由（）可知， ，所以 7 分12()nb113().nna12132431()n naa2(n12 分11)309().23nn（18）解：（）设分数在 内的频率为 x，根据频率分布直方图，70,8则有 ，可得 x=0.3. (.152.0.5)1x所以频率分布直方图如图所示：4 分（）平均分为： 450.1.560.175.380.259.x6 分7（）学生成绩在40,70)的有 0.460=24 人，在70,100的有 0.660=36 人，且 X 的可能取值是
11、 0，1，2则 ， ， 4260()95CP124360()95CPX236015()9CPX所以 X 的分布列为：所以 EX0 1 2 12 分462951052934（19）解：（）连接 交 于 ,连接 .在三角形 中，1AC1OM1ABC是三角形 的中位线，OMB所以 ,1又因 平面 ，1AC所以 平面 . 4 分OM（） （法一）设直线 与平面 所成角为 ，11M点到平面 的距离为 ，不妨设 ，则 ，CAh1A=2BC因为 , ，1 13MCCVS23AMCV所以 . 5 分1 112AASh因为 ，5,2X 0 1 2POABCA1B1 C1M所以 , .15325cosCAM125
12、sinCAM.1 1sin32AS，1 13CMAMCVSh， . 8 分hsin（法二）如图以 所在的直线为 轴, 以 所在BxBA的直线为 轴, 以 所在的直线为 轴，y1z以 的长度为单位长度建立空间直角坐标系.1则 , , , ， , , .设直(0)B(20)C()A(10,)M1(2)C1(0)B1(2,)A线 与平面 所成角为 ，平面 的法向量为 .则有11A,xyzn, , ，(0)(,20)1(,01)令 ,得 ，1CMAn.xyz， x(2,)n设直线 与平面 所成角为 ，11C则 . 8 分2sinco,3（）假设直线 上存在点 ，使 与 成角为 .1ABNA1M60设
13、，则 ， .(0,)Nb(0,2)b(,)C设其夹角为 ，所以， 221cos()b，2()1， 或 （舍去） ，21()b2()b1b3故 .所以在棱 上存在棱 的中点 ，使 与 成角 . 12 分0,N1AB1NA1MC60（20）解：（）在 中,设 , ,由余弦定理得 ，12FMr2FM224coscrr即 ，即 ，得 .2124()cos60cr21212()3cr214bxyzABCA1B1C1MxyNxzABCA1B1C1M又因为 ， ， ，12143s60FMSrin126r24b又因为 所以 ，4,c228abc所以所求椭圆的方程为 . 5 分14xy（）显然直线 的斜率 存在
14、，设直线方程为 ， ，ABkykxm12(,)(,)AyBx由 得 ，即 ，2,8ykxm22()8x2()480， ，22(4)(1)0 12,1kx22(4)1xk由 得， ，又 ， ，12k124yxymy则 ， ，21xmk12()4xk，24()221km那么 ，(1)2yxykxykx则直线 过定点 . 10 分AB(1,2)因为 ， ，2(4)(8)0km 2mk， ，21)k 224()(1)8)0kk， ，222()(40k 24k，所以 或 . 12 分740 k 7（21）解：（）令 得 ， ，所以 ，x2)(f1()23(0)fxfx(0)1f， 3 分()ln1f，2
15、1 xfx由 得 ， 的减区间为（ ）. 5 分()0f()fx2,（）由题意 ，22ln1)xxab，2()ba设 ， . 7 分)l)g1()(2)gx当 时， 恒成立， 无最大值；0a (0gx当 时，由 得 ， 得 .20a()0gx12xa()0gx12a在 上为增函数，在 上为减函数.()gx1,(,， ，)ln()2a 1ln()b， 10 分3l(ba设 ， ，n)()2ha21l()(ah由 得 ， 得 ，01e)0e，所以 的最小值为 . 12 分()ha 32ba1（22）证明：（） 如图，DEF=180- （180-2 B ）-（180-2 C ）=180-2A因此A
16、是锐角，从而 的外心与顶点 A 在 DF 的同侧，DFDOF =2A=180-DEF因此 D，E，F，O 四点共圆 6 分（）由（）知，DEO=DFO=FDO= FEO ，即 O 在DEF 的平分线上 10 分（23）解:（）由 得 ，化为直角坐标方程为 ，6sin26sin26xy即 . 4 分2(3)9xy（）将 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 .l 2(cosin)70tt由 ，故可设 是上述方程的两根，2(2cosin)47012,t所以 又直线 过点 ，故结合 t 的几何意义得12(s,7,tl(,)=|PAB2 2121211|()4(cosin)8tttt324sin347.所以 的最小值为 10 分|2.（24）解：（） 1,()()2|539xfxA C E B D O F 显然，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，()fx(,2)2,)所以函数 的最小值 5 分f 3.mf（）由（）知 ， 恒成立，3|2|xa由于 ，|2|()()|xaa等号当且仅当 时成立，故 ，解之得 或0x |2|3 1a 5.所以实数 的取值范围为 或 10 分1a 5.
