1、用拉普拉斯变换求解非稳态导热06 数学系 骆逸弘 PB06001049在 一 个 学 期 的 偏 微 分 方 程 课 程 的 学 习 之 后 ， 我 们 可 以 粗 浅 的认 识 到 ， 如 果 一 个 微 分 方 程 中 出 现 多 元 函 数 的 偏 导 数 ， 或 者 说 如果 未 知 函 数 和 几 个 变 量 有 关 ， 而 且 方 程 中 出 现 未 知 函 数 对 几 个 变量 的 导 数 ， 那 么 这 种 微 分 方 程 就 是 偏 微 分 方 程 。在 科 学 技 术 日 新 月 异 的 发 展 过 程 中 ， 人 们 研 究 的 许 多 问 题 用一 个 自 变 量 的
2、函 数 来 描 述 已 经 显 得 不 够 了 ， 不 少 问 题 有 多 个 变 量的 函 数 来 描 述 。 比 如 ， 从 物 理 角 度 来 说 ， 物 理 量 有 不 同 的 性 质 ，温 度 、 密 度 等 是 用 数 值 来 描 述 的 叫 做 纯 量 ； 速 度 、 电 场 的 引 力 等 ，不 仅 在 数 值 上 有 不 同 ， 而 且 还 具 有 方 向 ， 这 些 量 叫 做 向 量 ； 物 体在 一 点 上 的 张 力 状 态 的 描 述 出 的 量 叫 做 张 量 ， 等 等 。 这 些 量 不 仅和 时 间 有 关 系 ， 而 且 和 空 间 坐 标 也 有 联 系
3、 ， 这 就 要 用 多 个 变 量 的函 数 来 表 示 。 应 该 指 出 ， 对 于 所 有 可 能 的 物 理 现 象 用 某 些 多 个 变量 的 函 数 表 示 ， 只 能 是 理 想 化 的 ， 如 介 质 的 密 度 ， 实 际 上 “在 一点 ”的 密 度 是 不 存 在 的 。 而 我 们 把 在 一 点 的 密 度 看 作 是 物 质 的 质量 和 体 积 的 比 当 体 积 无 限 缩 小 的 时 候 的 极 限 ， 这 就 是 理 想 化 的 。介 质 的 温 度 也 是 这 样 。 这 样 就 产 生 了 研 究 某 些 物 理 现 象 的 理 想 了的 多 个 变
4、 量 的 函 数 方 程 ， 这 种 方 程 就 是 偏 微 分 方 程 。 也 许 这 样 的定 义 很 宽 泛 而 且 显 得 并 不 专 业 ， 但 是 不 能 否 认 偏 微 分 方 程 在 各 个今 天 我 主 要 想 谈 的 问 题 是 拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用。首先，简单的来看一下拉普拉斯变换的概念。设函数 f(t)当 t0时有定义，而且积分 f(t)e-stdt（ s时一个复参量）在 s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数称为函数f(t)的拉普拉斯变换.记为 F(s) =L f (t)= f(t)e-stdt。拉普拉斯变换有许多非常好的性质，如线性性质、微分性质、积
5、分性质、位移性质、延迟性质、初值定理和终值定理、卷积定理等。这些性质在解题时非常重要。在利用拉普拉斯变换求解导热问题时，关键的一步是把变换后的函数从复变量 s区域变回到时间变量t区域的逆变换。而许多逆变换都可直接或利用性质转化之后通过查拉普拉斯变换表得到。利用拉普拉斯变换求解非稳态导热问题（偏微分方程）的一般步骤：（1）根据问题建立数学模型（偏微分方程）；（2）将温度看作时间 t的函数，对方程及定解条件关于 t取拉普拉斯变换，把偏微分方程和定解条件化为象函数的常微分方程的定解问题；（3）解常微分方程，求出象函数 U(x,s)；（4）取拉普拉斯逆变换，求出温度函数 u(x,t)。在具体的来看一看
6、边界热流为常数的非稳态导热问题。一个半无限大物体( x 0)的初始温度为零，当时间 t0时，在 x=0的边界上有恒定热流 qw的作用，试求 t0时物体中的温度分布。【分析】设 u 表示物体中的温度， x表示坐标， t表示时间，表示导热系数，则温度是时间及坐标的函数，即 u=u(x,t)。据题意，该问题的数学模型为ut=a 2ux 2 00u=0 x0,t=0ux=-q w x=0,t0u=0 x+,t0对上述定解问题关于 t取Laplace变换，并利用微分性质和初始条件可得Lu(x,t) =U(x,s)Lut= sU(x,s)-u(x,0)=sU(x,s)Lux= d U(x,s)dxL 2u
7、x 2= d2U(x,s)dx2于是，上述方程组转化为d2U(x,s)dx2-sU/a=0 0x+dU/dx=-qws x=0U(x,s)=0 x+这是一个二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题。由特征值法易求得通解为U(x,s)=c1esx/a +c2e-sx/a由边界条件可知c1=0, c2= qw(a/s)s对上式取拉普拉斯逆变换并查表得U(x,t)= qwa2(t/)e -x2/4at-xerfc(x/2at)/a当然，以上的认识是很粗浅的，而且偏微分方程在其他的领域中也在发挥着自己的作用，随着数学的不断发展，偏微分方程也会有更广阔的应用空间。（由于我的word没有安装公式编辑器，所以文中的公式都是手工打的，看起来有点乱，请老师见谅！）
