1、1常见的几个函数不等式及其应用武汉市教育科学研究院 孔峰在近几年的高考中，无论是国家考试中心的数学命题，还是一些独立命题省市的数学命题，有一些函数不等式在命题中出现的频率很高，它们在函数的性质的应用中和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用，下面分别介绍这些函数不等式.一、函数不等式的介绍（1） )1()1ln(xx证明：令 ，则 .fxf1(当 时， ；当 时， .00)(xf 0)(f所以 在 时取得极大值，故 ，)(xf x所以 .11ln令 ，则 .xg)() 22)1()(1)( xg当 时， ；当 时， .0x0(f0xf所以 在 时取得极小值，故 ，)(f )g.)1(ln1综上可
2、知， .)1(lxx变式： ， )0(l. 1n（2） )(lxx10n证明：令 ，则 .)(2l)(xxf 02)1()1(2)( xxf所以函数 在 单调递减 .,所以，当 时， ；当 时， .10)1(f)(f所以，不等式，成立.变式： )ln(xx（3） )1(20lnxx证明：令 ，则 .1)(2l)(f 0)1()2xf所以函数 在 单调递增 .x,0当 时， ；当 时， .1)(f0(f所以，不等式，成立.2（4） )10(21)ln(12l xx证明：令 ，则 ，f) 221)(ln)(xf 而 ，)1(l)1ln()1(ln)( 22 xxxxf 由式 知， ，0l0)f所以
3、 在 上为减函数， .)(xf02ln(x由式 知 .)1(2lnx1)ln(综上可知，不等式成立.（5） )0(12)1l(xx证明：令 ，则 .)ln()f 0)1(2)xf故 .0(xf所以，不等式成立.变式： )0(1(2)1lnx利用上述类似构造函数方法，还可以得到以下一些重要不等式：（6）贝努尼不等式：当 时， ),(1)( 或x10（7） )(2)ln(二、常见的函数不等的作用利用上述介绍的函数不等式，无论是去研究函数性质，还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。（1）求函数的单调区间或研究函数的单调性，求函数的极值或最值例1
4、（2008年湖南卷，理21）已知函数 .xxf1)(ln)22（）求函数 的单调区间；)(xf（）若不等式 对任意的 都成立，求 的最大值.e1nN解：（）对 求导数，得)(f2)1(ln2)( xxxf .)1(由不等式 ， 可知：)(2lnx )10)(1lnx3当 时， ，有 ， ；0x1x)1(2)ln(xx0(f当 时， ，有 ， .1l)xf因此，当 时， 为减函数；当 时， 为增函数.x)(xf 0(f（）由 可知， ，所以 .e)(n 1)ln()(n)1l记 ，则 ， .1,0(tnt1)l(,0(由不等式 ，可知 ，)2n2l xx 12ln)1ln(t.1n所以， 的最大
5、值为 .12ln（2）利用常用不等式求参数的取值范围例2 （2010年全国卷，理22）设 .xfe1)(（）证明： 时， ；1xxf（）设 时， ，求 的取值范围.0)(a解：（）利用分析法，结合式 可以证明.)1()1ln(xx（）因为 在 时恒成立，1e10ax0所以 在 时恒成立，则 .axa另一方面，由 ，得 .x x1e令 ，由 知 .txe01t.)(ln1a由不等式 可知 ，)(12xx )1(2lntt所以 时， .t 1(lttt又由导数定义可知 ，nim1t所以 ，故 .2l)(li1tt 2ltt综上，所求 的取值范围为 .a,0例3 （2014年湖南卷，理22）已知常数
6、 ， .0a2)1ln()xaxf（）讨论 在区间 上单调性；)(xf),(（）若 存在两个极值点 ，且 ，求 的取值范围.21,x0)(21ff解：（） .)(4)(41)( aaf4因为 ，所以当 ，即 时， 恒成立，则函数0)2(1xa01a10)(xf )(xf在区间 上单调递增 .),0(当 时，由 ，得 .则函数 在区间 单)(fx)(2)(f )12,(a调递减，在 单调递增.,12(a（）由（）知， 时才可能出现两个极值点 ，且1021,x， .21x)(421而 )ln(2ln)( 21xaxaff4)(4ln 121xa)2(，此时 .)1|lna2a由不等式 可知：0(x
7、要使 恒成立，必需 ，从而 .)(21fxf 12a12a所以，所求 的取值范围为 .a)1,(（3）利用常见不等式比较大小例4 （2013年陕西卷，理21）已知函数 ， . xfe)(R() 若直线 与 的反函数的图像相切，求实数 k的值； kxy)(f() 设 ，讨论曲线 与曲线 公共点的个数；0xy20)ym() 设 ， 比较 与 的大小，并说明理由. ba2fab()fa解：() 的反函数 . )(xfgln(设直线 与 相切与点 ，1kyx)l,(0x则 解之得 .,)(ln00xg2ek() 由 ，得 .2em2x令 ，则 .2xg3)(e)xg当 时， ；当 时， .00(0)(
8、xg所以 是极小值点.从而可知，在 时无交点；在 时有一个交点；在 时有两个交点.4e2m4e2m4e2m() 记 ，令 ，ababffaMae)()( 0t5则 tabMataa e2ee2.)2()1(ttt再令 ，0,(e)tht在 时，可知 .2)t在 时，可证明 .0t tt2e事实上，令 ，则 ，且 .t11t只需证 .)(ln1)(2t而由常见不等式 可知上式恒成立.)(12xx从而 在 时恒成立.0)(e)(ttht所以 ，即 .0Mabffa)(2（4）利用常用不等式研究存在性问题例5（2011年湖南卷，文22）设函数 .)(ln1)(Raxxf（）讨论 的单调性；)(xf（
9、）若 有两个极值点 和 ，记过点 ， 的直线的斜率12)(,1fA)(,2xfB为 ，问：是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由kaak解：（） 的定义域为 .)(f ),0(221()xfx令 ，其判别式 .ag42a当 时， ， ，故 在 上单调递增0)(xf)(xf),0当 时，而 ，有 ，故 在 上单调递增x0当 时， ， 的两根为 ， .2a12a241a242ax故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.)(xf),01),(2x),(（）由（）知， ，且 ， a11因为1212 22( (lnffxx，所以 211121 lnl) axaxk 若存
10、在 ，使得 ，则 .akn2而 ，所以 .21x2lnx由不等式 可知上式不可能成立，)1(l故不存在 ，使得 .aak（5）利用常用不等式证明不等式6例6 （2013年全国大纲卷，理22）已知函数 .xxf1)()ln()（）若 时， ，求 的最小值；0x0)(xf（）设数列 的通项 ，证明： .nan1321 2ln42an解：（）由已知 ， ， .)(f 2)()(xxf0)(f若 ，则当 时， ，所以 .2110x0若 ，则当 时， ，所以 .)(f)(f综上， 的最小值是 .2（）由不等式 ，令 ，有)0(12)1ln(xxn1.(2)1ln(于是 ，)1(ln，22)l( n，)1
11、()ln()2l 以上各式相加，得.n4)21(l na412所以 .ln42an例7（2016全国卷，理21）已知函数 有两个零点.2)1(e)()xxf（）求a的取值范围；（）设x 1，x 2是 的两个零点，证明： .)(f 21解：（）令 ，则 .ttx因为函数 有两个零点，2)1(e)()af所以 有两个零点，而 ，21(ttgt0t所以 .ttae)()12记 ，则 .ttme)()1 1321223 ee)(e)( tttttm列表如下： t)0,(0 ),0(7)(tm + 不存在 0 而 ，)1(h所以，当 时， 有两个零点，其中一个零点 ，另一个零点 .a)(tg01t 02
12、t综上， 的取值范围为 0,（）由（）可知 时， 有两个零点 和 ，其中 ，)(t1t21xt，012xt即存在 ， 使得 .t2t )(e)()e)1( 221121 tmttmta下面证明 .01t记 ，则 ，先证明不等式 在 时恒成2e)(ttm21e)(ttm)(t0立.（）当 时， ， ，所以 .1t0)(t)(t )(tm（）当 时，要证 ，02121e)ett只需证 ，即 .tt1e2ttln记 ，只需证 恒成立.ut )1(2lu令 ，则 ，1)(2ln)(F0)()2F所以 ，从而 在 时恒成立.0)(utm1,(所以， 在 时恒成立 .tm因为 ， ， ，所以 .)(21a02t )(2tmt所以 .)(ttt又 在 上单调递减，所以 ，从而 ，,021t021t所以 ，故 .)1()(21xx总之，从2006年开始，在近十年的高考数学命题中，这些常见的函数不等式在全国卷中出现的频率是最高的，其次在湖南省、湖北省、陕西省的独立命题中出现也很频繁，在山东省、天津市、辽宁省、广东省等省市的独立命题也时常出现.这些不等式是一种很好的桥梁，能够有效地将一些条件和结论联系起来，无论处理选择题与填空题，还是解决解恨答题，恰当的使用的确能起到事半功倍的效果，要引起广大教师和考生的高度重视，对导数和函数这一部分的复习起到画龙点睛的作用.
