1、习 题 五习 题 五1. 由定积分的几何意义计算下列定积分（1） ； （2） ； 20sindx 2dRx（3） ； （4） . 1 0cos1. 解：由定积分的几何意义（1） 20sindx 20sisindA()xx（2） 2R 21RR（3） 01dx3（4） 0cos 202cosdcsA()0xx2. 用定积分的定义，计算由曲线 与直线 及 轴所围成的曲边梯形21y,4xx的面积.解：因为被积函数 在 上是连续的，故可积，从而积分值与区间2()1fx4，的分割及点 的取法无关. 为了便于计算，把区间 分成 等份，每个小区间的14， i ， n长度都等于 ，分点仍记为3n01214nx
2、x并取 ，得积分和(12)iix， ， ， 22211113()()nn niiiiii i if n (+2311786nnii329()(1)6n29(n令 （ 此 时 各 小 区 间 的 长 度 都 趋 于 零 ， 故 ） ， 对 上 式 取 极 限 ， 由 定 积 分 的 定 义 ，n0得 422101911(+)dlim()lim()29()624niinxxn3. 判断下列式子是否一定正确（1） （其中 ） ； ()baf ()0f（2） . dbaxxab3. 解：（1）不一定正确，这是因为题中未指明 与 的大小关系.ab当 时，有 ；当 时，有 .ab ()d0bafx ()d
3、0afx（2）一定正确.由定积分的性质，已知 ， ，则()fxf ()()d.bbaaffx4. 试比较下列各组积分值的大小，并说明理由（1） ； 1 1 123000dd dxx， ，（2） ； 4 4 4333ln(ln)lnx， ，（3） . 1 1 1000ddexx， ，4. 解：（1）当 时，有 ，因此 .,23 1 1 123000ddxx（2）当 时，有 ， ，34xln1x2(l)ln因此 4 42333(ln)ddl5. 计算（1） ； （2） .30(1cos)liminxt 30(1cos)dlimtanxt解：（1）根据洛必达法则和积分上限函数导数的性质 30(cos
4、)dliinxt301limcsx2(o)3x（2）同理 30(1cs)dlitanxt320olimsecx40i3cosin3lilimtans2tax xx6. 求 的导函数 21codxyt()().y解： 0 2210()scosdxxtt 1 2200cosdcosdxxtt21cosc()2 21cossxx7. 计算下列定积分（1） ； 321()dx解：（1） 321()x31()x19（2） 94d 94()d3291()456x（3） 1x22,d4ttx令418216d ()xt31826t（4） 51x2,dtt令 510d2-arcn0t21dxt4arctn2（5
5、） =0 1x 12210dxx（6） =2 2sin2sinsid（7） e1 ldx1e 1eldlxx11lnlneexdxdx2-（8） 32cos2-cosi20cosi20dx3240x（9） ln220e(1)x ln2230(e+)dxx23ln1(e+)0xx16（10） 241d x012210x120d()d()x33202110()|()| xx（11） e1lnd e1lndx2e15lnx（12） l20x22,l(),x tettx令 ln201dx l20d1t1(arctn)02（13） 2axsi,cosxtt令 20 da2=sintt20 1co482
6、sidatn4 =t802 =16a（14） 1dx20t1dt02tt1ln()02ln-（15） 40dx,tt令 40d1x 201t 20(1)dtt 201()dt2=2(ln1)0t=4ln3（16）3 e1lnx3 e1(ln)2x3elnx（17）2 1dx24costin241sintd241dsint24cot（18） 520sindx620cosindx6202cosd7x（19）co i 0in0（20） e1lndx e21lndx ee1lnd2xx e21dx2(1)4（21） 0 0() 0 10e（22） 20sindxe20cosxe2220scosdxxe
7、e220coxx220inxx2220ssin4sindxxxeee20idx221coi50xx15e（23） 10arctn120dxxarct(1)21nl00xxln24（24）30l()d21,xtxt令30ln()211ln4ldt21lndtt24ln1t8ln48. 求函数 在区间 上的最大值与最小值. 203()xItt0，解：被积函数 在 上连续，因此 可导.1f， 203()d1xtIt，因此 在 上为增函数.231()0xI 2031()dxtIt0，将 代入求得最小值为 ，最大值为 .0,x 12035()d3tIt9. 试证（1） 1 100()d()dmnnmxx
8、证明：令 ，则t 10()nx 1()nt 10()nt 10()dnmx（2） 22 dxxtt证明：令 ，则u12 dxt 12()dxu 12dxu1 2dxu1 2dxu1 2dxt（3） . 2200sincosn证明：令 ，则xt2 0sind 02cosdnx 20cosdnx10. 判断下列广义积分的收敛性，若收敛，则算出广义积分的值（1） 41x解：收敛. 41d31（2） x解：发散.（3） 2ed(ln)x解：收敛. 2e(l) 2el()xe1ln（4）发散（4） elndx解：发散（5） 21arctx解：收敛.21arctndx 1t() 1arcndx12 1t
9、dx2 1()4x12lnln4（6） dx+-解：收敛. 2x+- 2(1)x+- arctn(1)x+-（7） 02da解：收敛. 02dax 02d()1ax0arcsinax2（8） 21x解：收敛.令 ，则sect 21dx arcse21dt3（9） 1()x解：发散（10） e12d(ln)x解：收敛. e12(l)x e12l()x1arcsin(l)ex211. 用抛物线线法计算 的近似值（取 ，计算到小数点后三位） . 40d0解：简要步骤如下：（1）用分点 ，把区间 等分，每个小区间012910ixx ， ， ， ， ， ， 1，的长度为 并用 表示函数 在分点 处的函数
10、值，相应的曲线被分成x， iy()yfix段，曲线上的分点为 .10(,)120)iiMxy， ， ，（2）将通过相邻三点 的曲线段，分别用过该三点的抛物线012348910M， ， ，的弧段代替. ypxqr（3）计算各抛物线弧段下面的面积，设通过 三点012()()()xyxyMxy， ， ， ， ，的抛物线方程为 2ypqr则曲线弧段下的面积为 20 1()dxSpqrx 2031()x3220020()()()pqxxrx22202()(3qr 0200()366xpxpxq2 22 0201()()()()4qrrpxqxr 因为即 2011()x021且 都在抛物线上，故它们的坐标
11、都满足方程（513） ，即012M， ， 2211200pqxry将它们代入上式，化简便得 201210210(4)(4)63xbaSyy同理，可分别算出 各抛物线弧段下面的面积为34nnMM， ， 2432365451098()()baSy（4）将 加起来，就得曲线梯形面积的近似计算公式125S， ， ， 40139248100d4()().893xyyyy 12. 求由抛物线 ，直线 及 轴所围成图形的面积.2x5x， x解：所围成图形的面积 523Ad32531213. 求由抛物线 与 轴所围成图形的面积.yx解：先求抛物线 与 轴交点，得 .2,x所围成图形的面积 123Adx231x
12、2014. 求由曲线 及直线 所围成图形的面积.exxy，解：先求曲线 及直线 所围图形的交点，得 ， 与 .， ()， 1(e)， ()，所围成图形的面积 10edx10exe215. 求由曲线 与直线 所围成图形的面积.2yx,2y解：先求曲线 与直线 的交点，得 ， 和x()， (1)， (4)，所围成图形的面积分为两部分，图略.12A1201ddx1220dxx23201x73616. 求由抛物线 及其在点 和点 处的切线所围成图形的面243yx(3)， ()，积.解：先求抛物线在点 和点 处的切线方程(0)， (0)， ， ，2yxy2y从而两切线方程为 和 .43x6x再求抛物线
13、和两切线方程 ， 的交点为 ，243y26yx(03)，和 ，图略.(30)， ()2，将所围图形的面积分为两部分 12A3204(43)dxx3226(43)dxx30dx3269d817. 求下列曲线围成的图形绕指定轴旋转所产生的旋转体的体积.（1） 绕 轴；y， ， x解： 与 所围的图形在第一象限，交点为 和 .2x2y (0)， (1)，所围图形绕 轴旋转而成的旋转体体积为= .V120()d120()x3（2） 绕 轴；yx， ，解： 与 所围的图形在第一象限，交点为 和 .2 (0)， (1)，所围图形绕 轴旋转而成的旋转体体积为= .V120dx120()x5（3） （r，h0
14、）及 轴，绕 轴；y， x解：曲线 与 的交点为 .ryxh( )hr，所围图形绕 轴旋转而成的旋转体体积为.V20()d20()dhx23（4） 绕 轴.516xy，解：将圆 分成两部分，分别绕 轴旋转，然后作差.22() x则旋转体的体积为 42(5)dx42(165)dx4 422(106)d10x 42016018. 弹簧所受压力与所压缩距离 成正比， （ 为比例常数） . 今有一弹簧原长 Fkx为 ，每压缩 需 力，若弹簧自 压缩到 时，问做功多少？（取mc5g8cm6c） .1kg0N解：由题意描述， ，计算比例常数 .0.1/0k50k那么弹簧自 压缩到 时，压缩位移由 20cm
15、 变为 40cm，弹簧力做功为8c6c(J) 0.4 0.4 0.4222d()d3WFsfxx19. 计算函数 在区间 上的平均值.2exy，解：函数 在区间 上的平均值为，201dxy20x20edxx20exx213e20. 血液在长为 ，半径为 的血管中流动，血管横截面上距中心处为 的流速LRr( 均为常数 )，求在单位时间内通过该截面的血流量 .2()AvRrLAR， ，解：单位时间内通过该横截面的血流量为 20()dRQrL2401()RrL4A2L21. 现有一名志愿受试者，口服一定剂量的某药后，测得血药浓度 与时间 的关系数ct据如习题表 5-1.习题表 5.1 c-t 关系数
16、据t（h） 0 1 2 5 10 15 20 30 40 501gmLcA（ ）0 0.65 2.00 3.55 4.05 3.60 3.20 2.00 1.20 0.75求在所测时间内的平均血药浓度（用梯形法） .解：先用梯形法求解 ，简要步骤如下： 50()dfx（1）采用如上分点 ，并且计算每个小区间的长度 ，同时用 表示函数i ixiy在分点 处的函数值.()yfxi（2）每个小曲边梯形的面积都用相应的小梯形面积来代替，这 9 个小梯形的面积分别为 01 189123222iiyyyyxxxx ， ， ， ， ，（3）曲边梯形的面积近似等于各个小梯形面积的和，即 500112891()d()()()2fxyxyxyx 289015( )92yy所测时间内的平均血药浓度 501()dyfx501()dfx012891( )y 2.(g/mL)22. 在一次口服给药的情况下，血药浓度 与时间 的关系曲线常用如下函数表示，ct其中 均为正的常数，试求该曲线下的总面积 .(e)akttakFDcV， akVFD， ， ， ， AUC解：该曲线下的总面积 为AUC0(e)d)akttak 01(e)aktktaFDV
