1、北京市 2017 年春季普通高中会考数学试卷一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=1，1，B= 1，1，3，那么 AB=等于（ ）A 1 B1 C1，1 D1， 1，32已知向量 ，那么 等于（ ）A B C D3已知向量 ， ，且 ，那么 x 的值是（ ）A 3 B3 C D4某小学共有学生 2000 人，其中一至六年级的学生人数分别为400，400，400，300，300，200为做好小学放学后“快乐 30 分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为 200 的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为（ ）A120 B40 C30 D205已知点
2、A（2，m），B（3，3），直线 AB 的斜率为 1，那么 m 的值为（ ）A1 B2 C3 D46直线 x+2y4=0 与直线 2xy+2=0 的交点坐标是（ ）A（2，0 ） B（2， 1） C（0，2） D（1，2）7已知向量 满足 ， ，且 与 夹角为 30，那么 等于（ ）A1 B C3 D8在ABC 中，a=2 ，c=1，B=60，那么 b 等于（ ）A B C1 D9如果直线 l1：2xy1=0 与直线 l2：2x +（a+1）y+2=0 平行，那么 a 等于（ ）A 2 B1 C1 D210当 x0，2 时，函数 y=sinx 的图象与直线 的公共点的个数为（ ）A0 B1 C
3、2 D311已知 f（ x）=log 3x，f（a）f（2），那么 a 的取值范围是（ ）Aa |a2 Ba|1a2 C D12不等式组 ，表示的平面区域是（ ）A B C D13 等于（ ）A B C D14给出下面四个命题：三个不同的点确定一个平面；一条直线和一个点确定一个平面；空间两两相交的三条直线确定一个平面；两条平行直线确定一个平面其中正确的命题是（ ）A B C D15在“二十四节气入选非遗”宣传活动中，从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律，那么甲同学被选中的概率为（ ）A1 B C D16如果 a+b=1，那么 ab 的最大值是（ ）A B C
4、 D117 等于（ ）A B C D18已知函数 关于 f（x ）的性质，给出下面四个判断：f（ x）的定义域是 R；f（ x）的值域是 R；f（ x）是减函数；f（ x）的图象是中心对称图形其中正确的判断是（ ）A B C D19如果圆 C：（x a） 2+（y 3） 2=5 的一条切线的方程为 y=2x，那么 a 的值为（ ）A4 或 1 B1 或 4 C1 或 4 D 1 或420中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到二二年全面建成小康社会，是我们党确定的“ 两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、
5、包容性、可持续性的基础上，到二二年国内生产总值和城乡居民人均收入比二 0 一 0 年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高设从二 0 一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%下面给出了依据“到二 0 二 0 年城乡居民人均收入比二 0 一 0 年翻一番”列出的关于 p 的四个关系式：（1+p%）10=2 ；（1+p%） 10=2；lg（1+p%） =2；1+10 p%=2其中正确的是（ ）A B C D21甲乙两名篮球运动员在 4 场比赛中的得分情况如图所示v 1，v 2 分别表示甲、乙二人的平均得分，s 1，s 2 分别表示甲、乙二人得分
6、的方差，那么 v1 和 v2，s 1 和 s2 的大小关系是（ ）Av 1v 2，s 1s 2 Bv 1v 2，s 1s 2 Cv 1v 2，s 1s 2 Dv 1v 2，s 1s 222已知直线 m，n，l，平面 ，给出下面四个命题：（ ） ； ； ； 其中正确是（ ）A B C D23如果关于 x 的不等式 x2ax +b 的解集是x |1x3，那么 ba 等于（ ）A 81 B81 C64 D6424一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体是（ ）A三棱锥 B四棱锥 C三棱柱 D四棱柱25“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的九章詳註
7、比纇算法大全，通过计算得到的答案是（ ）A2 B3 C4 D5二、解答题（共 5 小题，满分 25 分）26（5 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC 1 底面 ABC，ACCB，点 M 和 N 分别是 B1C1 和 BC的中点（1）求证：MB平面 AC1N；（2）求证：ACMB 27（5 分）已知函数 ，其中 0，x R（1）f（0）= ；（2）如果函数 f（x）的最小正周期为 ，当 时，求 f（x）的最大值28（5 分）已知数列a n， （1）判断数列a n是否为等差数列；（2）求数列a n的前 n 项和 Sn29（5 分）已知点 P（2，2）在圆 O：x 2+y2=r2（r0
8、）上，直线 l 与圆 O 交于 A，B 两点（1）r= ；（2）如果PAB 为等腰三角形，底边 ，求直线 l 的方程30（5 分）在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的实验：将一块质量为 7 克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第 5 分钟末测得未溶解糖块的质量为 3.5 克联想到教科书中研究“ 物体冷却”的问题，小明发现可以用指数型函数S=aekt（a，k 是常数）来描述以上糖块的溶解过程，其中 S（单位：克）代表 t 分钟末未溶解糖块的质量（1）a= ；（2）求 k 的值；（3）设这个实验中 t 分钟末已溶解的糖块的质量为 M，请画出 M 随
9、 t 变化的函数关系的草图，并简要描述实验中糖块的溶解过程参考答案与试题解析一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=1，1，B= 1，1，3，那么 AB=等于（ ）A 1 B1 C1，1 D1， 1，3【考点】交集及其运算【分析】根据交集的定义写出 AB 即可【解答】解：集合 A=1， 1，B= 1，1，3，那么 AB=1，1故选：C【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目2已知向量 ，那么 等于（ ）A B C D【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义【分析】利用向量运算法则求解【解答】解：= = 故选：C【点评】本题考查向量的运
10、算，是基础题，解题时要认真审题，注意向量运算法则的合理运用3已知向量 ， ，且 ，那么 x 的值是（ ）A 3 B3 C D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】利用向量垂直的性质直接求解【解答】解：向量 ， ，且 ， =3x=0，解得 x=3故选：B【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用4某小学共有学生 2000 人，其中一至六年级的学生人数分别为400，400，400，300，300，200为做好小学放学后“快乐 30 分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为 200 的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为（ ）A120
11、B40 C30 D20【考点】分层抽样方法【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：一年级学生 400 人，抽取一个容量为 200 的样本，用分层抽样法抽取的一年级学生人数为 ，解得 n=40，即一年级学生人数应为 40 人，故选：B【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础5已知点 A（2，m），B（3，3），直线 AB 的斜率为 1，那么 m 的值为（ ）A1 B2 C3 D4【考点】直线的斜率【分析】利用直线的斜率公式可得 =1，解方程求得 m 的值【解答】解：由于 A（2，m），B （3，3），直线 AB 的斜率为 1， =1，m=2，故选：B【点评】本题考查直线的斜率公式的
12、应用，是一道基础题6直线 x+2y4=0 与直线 2xy+2=0 的交点坐标是（ ）A（2，0 ） B（2， 1） C（0，2） D（1，2）【考点】两条直线的交点坐标【分析】将二直线的方程联立解出即可【解答】解：联立 ，解得 x=0，y=2，直线 x+2y4=0 与直线 2xy+2=0 的交点坐标是（0，2）故选：C【点评】正确理解方程组的解与直线的交点的坐标之间的关系是解题的关键7已知向量 满足 ， ，且 与 夹角为 30，那么 等于（ ）A1 B C3 D【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用已知条件，通过向量的数量积公式求解即可【解答】解：向量 满足 ， ，且 与 夹角为 30，那么
13、 =| | |cos =2 =3故选：C【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，考查计算能力8在ABC 中，a=2 ，c=1，B=60，那么 b 等于（ ）A B C1 D【考点】余弦定理【分析】由题意和余弦定理列出式子求出 b 的值【解答】解：因为在ABC 中，a=2，c=1 ，B=60，所以由余弦定理得，b 2=a2+c22accosB=4+1 =3，解得 b= ，故选 B【点评】本题考查了余弦定理的简单应用，属于基础题9如果直线 l1：2xy1=0 与直线 l2：2x +（a+1）y+2=0 平行，那么 a 等于（ ）A 2 B1 C1 D2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析
14、】直接由两直线平行的条件列式求解 a 的值【解答】解：直线 l1： 2xy1=0 与直线 l2：2x +（ a+1）y+2=0 平行，a +1=1，解得 a=2故选：A【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是熟记由直线的一般式方程得到直线平行的条件，是基础题10当 x0，2 时，函数 y=sinx 的图象与直线 的公共点的个数为（ ）A0 B1 C2 D3【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】根据曲线与方程之间的关系，直接作图即可得到结论【解答】解：由 y=sinx 与 y= ，如图：两条曲线的图象的交点个数为 2 个方程有 2 个解故选：C【点评】本题主要考查函数交点个数
15、的判断，利用函数和方程之间的关系，直接进行求解即可，比较基础11已知 f（ x）=log 3x，f（a）f（2），那么 a 的取值范围是（ ）Aa |a2 Ba|1a2 C D【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】由题意，f（x） =log3x，函数单调递增，即可得出结论【解答】解：由题意，f（x ）=log 3x，函数单调递增，f（ a）f（2），a 2，故选 A【点评】本题考查对数函数的单调性，考查学生的计算能力，比较基础12不等式组 ，表示的平面区域是（ ）A B C D【考点】简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域【分析】利用直线确定边界，特殊点判断区域，求解即可【解答】解：在
16、判吗直角坐标系中，画出直线 x=1，x+y 3=0，xy 3=0，判断（2，0）满足不等式组 ，所以不等式组不是的可行域为：故选：D【点评】本题主要考查了二元一次不等式表示平面区域的确定，一般是找特殊点代入进行检验，属于基础试题13 等于（ ）A B C D【考点】二倍角的正弦【分析】利用二倍角的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解【解答】解： = sin = = 故选：B【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题14给出下面四个命题：三个不同的点确定一个平面；一条直线和一个点确定一个平面；空间两两相交的三条直线
17、确定一个平面；两条平行直线确定一个平面其中正确的命题是（ ）A B C D【考点】命题的真假判断与应用【分析】，三个不共线的点确定一个平面，故错；，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错；，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错；，两条平行直线确定一个平面，正确【解答】解：对于，三个不共线的点确定一个平面，故错；对于，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错；对于，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错；对于，两条平行直线确定一个平面，正确故选：D【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题15在“二十四节气入选非遗”宣传活动中，从甲、乙、丙三位同
18、学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律，那么甲同学被选中的概率为（ ）A1 B C D【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数 n= =3，再求出甲同学被选中包含听基本事件个数 m= =2，由此能求出甲同学被选中的概率【解答】解：在“ 二十四节气入选非遗” 宣传活动中，从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律，基本事件总数 n= =3，甲同学被选中包含听基本事件个数 m= =2，甲同学被选中的概率 p= = 故选：D【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用16如果 a+b=1，
19、那么 ab 的最大值是（ ）A B C D1【考点】基本不等式【分析】由于求 ab 的最大值，只考虑 a，b 0 时即可利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：由于求 ab 的最大值，只考虑 a，b 0 时即可a +b=1， ，解得 ab ，当且仅当 a=b= 时取等号那么 ab 的最大值是 故选：B【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题17 等于（ ）A B C D【考点】运用诱导公式化简求值【分析】直接利用诱导公式化简求值即可【解答】解：由 cos =cos（672+ ）=cos = 故选：B【点评】本题考查诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题18已知
20、函数 关于 f（x ）的性质，给出下面四个判断：f（ x）的定义域是 R；f（ x）的值域是 R；f（ x）是减函数；f（ x）的图象是中心对称图形其中正确的判断是（ ）A B C D【考点】命题的真假判断与应用【分析】函数 的图象可由函数 y= 向右平移一个单位得到，类比 y= 的性质可判定【解答】解：函数 的图象可由函数 y= 向右平移一个单位得到，所以值域为y |y0；单调减区间为（，0），（ 0，+）；对称中心为（ 1，0）故正确，故选：D【点评】本题考查了函数的定义域、值域、对称性，属于基础题19如果圆 C：（x a） 2+（y 3） 2=5 的一条切线的方程为 y=2x，那么 a
21、的值为（ ）A4 或 1 B1 或 4 C1 或 4 D 1 或4【考点】圆的切线方程【分析】由题意，圆心到直线的距离 d= = ，即可求出 a 的值【解答】解：由题意，圆心到直线的距离 d= = ，a=1 或 4，故选 B【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题20中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到二二年全面建成小康社会，是我们党确定的“ 两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到二二年国内生产总值和城乡居民人均收入比二 0 一 0 年翻一番，
22、产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高设从二 0 一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%下面给出了依据“到二 0 二 0 年城乡居民人均收入比二 0 一 0 年翻一番”列出的关于 p 的四个关系式：（1+p%）10=2 ；（1+p%） 10=2；lg（1+p%） =2；1+10 p%=2其中正确的是（ ）A B C D【考点】命题的真假判断与应用【分析】设从二 0 一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%则由到二 0 二 0 年城乡居民人均收入比二 0 一 0 年翻一番，可得：（1+p%） 10=2；进而得到答案【解答】解：设从二 0
23、 一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%则由到二 0 二 0 年城乡居民人均收入比二 0 一 0 年翻一番，可得：（1+p%） 10=2；正确的关系式为；故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数模型的选择与应用，难度基础21甲乙两名篮球运动员在 4 场比赛中的得分情况如图所示v 1，v 2 分别表示甲、乙二人的平均得分，s 1，s 2 分别表示甲、乙二人得分的方差，那么 v1 和 v2，s 1 和 s2 的大小关系是（ ）Av 1v 2，s 1s 2 Bv 1v 2，s 1s 2 Cv 1v 2，s 1s 2 Dv 1v 2，s 1s 2【考点】茎叶图【分析】
24、由茎叶图先求出平均数，再计算方差【解答】解：由茎叶图性质得：V1= =14，V2= =13，S1= （914） 2+（1314） 2+（1414） 2+（20 14） 2= ，S2= （813） 2+（913） 2+（1313） 2+（2213） 2= V 1V 2，S 1S 2故选：C【点评】本题考查两组数据的平均数和方差的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的性质的合理运用22已知直线 m，n，l，平面 ，给出下面四个命题：（ ） ； ； ； 其中正确是（ ）A B C D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】
25、在中，m 或 m；在中，m 与 n 相交、平行或异面；在中，由线面平行的判定定理知 n；在中，n 或 n【解答】解：由直线 m，n ，l，平面 ，知：在中， m 或 m，故错误；在中， m 与 n 相交、平行或异面，故 错误；在中， ，由线面平行的判定定理知 n，故正确；在中， n 或 n，故错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用23如果关于 x 的不等式 x2ax +b 的解集是x |1x3，那么 ba 等于（ ）A 81 B81 C64 D64【考点】一元二次不等式的解法【分析】根据一元二次不等式的解集，利用
26、根与系数的关系求出 a、b 的值，再计算 ba 的值【解答】解：不等式 x2ax +b 可化为x2axb0，其解集是x|1x3，那么，由根与系数的关系得 ，解得 a=4，b=3；所以 ba=（3） 4=81故选：B【点评】本题考查了一元二次不等式的解集以及指数的计算问题，是基础题目24一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体是（ ）A三棱锥 B四棱锥 C三棱柱 D四棱柱【考点】简单空间图形的三视图【分析】由三视图可得，直观图为正方体中的一个正四面体，即可得出结论【解答】解：由三视图可得，直观图为正方体中，面上对角线构成的一个正四面体，故选 A【点评】本题考查三视图与直观图的转化，考查数形结合的
27、数学思想，比较基础25“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的九章詳註比纇算法大全，通过计算得到的答案是（ ）A2 B3 C4 D5【考点】等比数列的前 n 项和【分析】设尖头 a 盏灯，根据题意由上往下数第 n 层有 2n1a 盏灯，由此利用等比数列性质能求出结果【解答】解：由题意设尖头 a 盏灯，根据题意由上往下数第 n 层有 2n1a 盏灯，所以一共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381 盏灯，解得 a=3故选：B【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用二、解答题
28、（共 5 小题，满分 25 分）26如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC 1底面 ABC，ACCB，点 M 和 N 分别是 B1C1 和 BC 的中点（1）求证：MB平面 AC1N；（2）求证：ACMB 【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定【分析】（1）证明 MC1NB 为平行四边形，所以 C1NMB，即可证明 MB平面 AC1N；（2）证明 AC平面 BCC1B1，即可证明 ACMB【解答】证明：（1）证明：在三棱柱 ABCA1B1C1 中，因为点 M，N 分别是 B1C1，BC 的中点，所以 C1MBN，C 1M=BN所以 MC1NB 为平行四边形所以 C1NMB因为
29、 C1N平面 AC1N，NB平面 AC1N，所以 MB平面 AC1N；（2）因为 CC1底面 ABC，所以 ACCC 1因为 ACBC，BCCC 1=C，所以 AC平面 BCC1B1因为 MB平面 BCC1B1，所以 ACMB【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题27已知函数 ，其中 0，xR（1）f（0）= ；（2）如果函数 f（x）的最小正周期为 ，当 时，求 f（x）的最大值【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法【分析】（1）直接计算可得结论；（2）求出函数的解析式，再利用三角函数的性质求 f（x ）的最大值【解答】解：
30、（1） （2 分）故答案为： （2）因为 f（x）的最小正周期为 ，0，所以 解得 =2所以 因为 ，所以 可得 所以当 时，f（x）的最大值是 1（5 分）【点评】本题考查特殊角三角函数值，考查三角函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题28已知数列a n， （1）判断数列a n是否为等差数列；（2）求数列a n的前 n 项和 Sn【考点】数列的求和【分析】（1）利用等差数列的定义，反例判断即可（2）通过数列的项数分别求解数列的和即可【解答】解：（1）a 2a1=1，a 8a7=78=1，数列不是等差数列（1 分）（2）解：当 n7 时， = 当 n7 时， = = （5 分
31、）【点评】本题考查数列求和，等差数列的判断，考查计算能力29已知点 P（2，2）在圆 O：x 2+y2=r2（r 0）上，直线 l 与圆 O 交于 A，B 两点（1）r= 2 ；（2）如果PAB 为等腰三角形，底边 ，求直线 l 的方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）利用点 P（2，2）在圆 O：x 2+y2=r2（r0）上，即可求出 r；（2）利用弦长公式，即可求直线 l 的方程【解答】解：（1）点 P（2，2）在圆 O：x 2+y2=r2（r0）上，r=2 （1 分）（2）因为PAB 为等腰三角形，且点 P 在圆 O 上，所以 POAB因为 PO 的斜率 ，所以可设直线 l 的方程
32、为 y=x+m由 得 2x2+2mx+m28=0=4m 28（m 28）=64 4m20，解得4m4设 A，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），可得 所以 解得 m=2所以直线 l 的方程为 xy+2=0，xy2=0（5 分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题30在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的实验：将一块质量为 7 克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第 5 分钟末测得未溶解糖块的质量为 3.5 克联想到教科书中研究“ 物体冷却”的问题，小明发现可以用指数型函数 S
33、=aekt（a，k是常数）来描述以上糖块的溶解过程，其中 S（单位：克）代表 t 分钟末未溶解糖块的质量（1）a= 7 ；（2）求 k 的值；（3）设这个实验中 t 分钟末已溶解的糖块的质量为 M，请画出 M 随 t 变化的函数关系的草图，并简要描述实验中糖块的溶解过程【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）由题意，t=0，S=a=7；（2）因为 5 分钟末测得未溶解糖块的质量为 3.5 克，可求 k 的值；（3）根据函数解析式可得函数的图象，即可得出结论【解答】解：（1）由题意，t=0，S=a=7（7 分）（2）因为 5 分钟末测得未溶解糖块的质量为 3.5 克，所以 3.5=7e5k解得 （2 分）（3）M 随 t 变化的函数关系的草图如图所示溶解过程，随着时间的增加，逐渐溶解（5 分）故答案为：7【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查指数型函数，属于中档题
