1、- 1 -课时提升作业(五十七)直线与圆锥曲线的位置关系(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.过抛物线 y=2x2的焦点的直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2= ( )A.-2 B.- C.-4 D.-【解析】选 D.由 y=2x2得 x2= y,其焦点坐标为 F ,取直线 y= ,则其与 y=2x2交于 A ,B ,所以 x1x2= =- .【方法技巧】与动直线相关值的求解技巧解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题,一般取其特殊位置探索其值即可.2.(2015淮南模拟)已知双曲线 - =1(a0,b0)与抛物线 y2=8x
2、 有一个公共的焦点 F,且两曲线的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为 ( )A.y= x B.y= xC.y= x D.y= x【解析】选 A.设点 P(x0,y0),依题意得,焦点 F(2,0),于是有 x0=3, =24;- 2 -由此解得 a2=1,b2=3,因此该双曲线的渐近线方程是 y= x= x.【加固训练】双曲线 C 的方程为 - =1(a0,b0),l1,l2为其渐近线,F为右焦点,过 F 作 ll 2且 l 交双曲线 C 于 R,交 l1于 M,若 = ,且 ,则双曲线的离心率的取值范围为 ( )A.(1, B.( , )C.( , ) D.( ,+)【解
3、析】选 B.由题意得令 l1:y=- x,l2:y= x,l:y= (x-c),由 l 交双曲线 C 于 R,令 解此方程 组得 R ,故有 = ,由 l 交 l1于 M,令解此方程组得 M ,故有 = ,由 = ,得 = ,所以 =- ,整理得 a2=(1-)c2,即 e2= ,又 ,所以 e2(2,3),即 e( , ).3.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 相交于 A,B 两点,则|AB|的最大值- 3 -为 ( )A.2 B. C. D.【解题提示】设出直线方程,联立直线与椭圆方程,利用弦长公式求解.【解析】选 C.设 A,B 两点的坐 标分别为(x 1,y1),(x2,y2
4、),直线 l 的方程为y=x+t,由 消去 y,得 5x2+8tx+4(t2-1)=0.则 x1+x2=- t,x1x2= .所以|AB|= |x1-x2|= = = ,当 t=0 时,|AB| max= .4.(2015上饶模拟)过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 且倾斜角为 60的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A,B 两点,则 的值等于 ( )A.5 B.4 C.3 D.2【解析】选 C.记抛物线 y2=2px 的准线为 l,作 AA1l,BB1l,BCAA1,垂足分别是 A1,B1,C,则有 cos60= = = = ,由此得 =3,选 C.【加固训练】过点 A(1,0
5、)作倾斜角为 的直线,与抛物线 y2=2x 交于 M,N两点,则|MN|= .【解析】斜率 k=tan =1,所以过点 A(1,0)的直 线方程为 y=x-1.将其代入抛物线方程 y2=2x,得 x2-4x+1=0.- 4 -因为判别式 =16-40,所以设它的两根分别为 x1,x2.于是x1+x2=4,x1x2=1.故|MN|= = =2 .答案:25.(2014杭州模拟)F 为椭圆 +y2=1 的右焦点,第一象限内的点 M 在椭圆上,若 MFx 轴,直线 MN 与圆 x2+y2=1 相切于第四象限内的点 N,则|NF|等于 ( )A. B. C. D.【解析】选 A.因为 MFx 轴,F
6、为椭圆 +y2=1 的右焦点,所以 F(2,0),M,设 lMN:y- =k(x-2),N(x,y),则 O 到 lMN的距离 d= =1,解得 k= (负值舍去).又因为 即 N ,所以|NF|= = .二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.(2014安顺模拟)在抛物线 y=x2上关于直线 y=x+3 对称的两点 M,N- 5 -的坐标分别为 .【解题提示】因为 M,N 两点关于直线 y=x+3 对称,所以 kMN=-1,且 M,N的中点在直线 y=x+3 上,亦即直线 y=x+3 是线段 MN 的垂直平分线.【解析】设直线 MN 的方程 为 y=-x+b,代入 y=x2中,整理得
7、x2+x-b=0,令=1+4b0,所以 b- .设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=-1, =-+b= +b,由 在直线 y=x+3 上,即 +b=- +3,解得 b=2,联立得 解得答案:(-2,4),(1,1)【加固训练】已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A,B,则|AB|等于( )A.3 B.4 C.3 D.4【解析】选 C.设直线 AB 的方程为 y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),由 x2+x+b-3=0x1+x2=-1,得 AB 的中点 M .又 M 在直线 x+y=0 上,可求出 b=1,则|AB|= =3 .
8、7.(2014渭南模拟)过椭圆 + =1(ab0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为 M,与 y 轴的交点为 B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为 .【解析】由题意知 A 点的坐标为(-a,0),设直线的方程为 y=x+a,- 6 -所以 B 点的坐标为(0,a),故 M 点的坐标为 ,代入椭圆方程得 a2=3b2,所以 2a2=3c2,所以 e= .答案:8.已知曲线 - =1(ab0,且 ab)与直线 x+y-1=0 相交于 P,Q 两点,且 =0(O 为原点),则 - 的值为 .【解析】将 y=1-x 代入 - =1,得(b-a)x 2+2ax-(a+ab)=
9、0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= . =x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,所以 - +1=0,即 2a+2ab-2a+a-b=0,即 b-a=2ab,所以 -=2.答案:2三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.(2015合肥模拟)已知椭圆 T: + =1(ab0)的离心率 e= ,A,B 是椭圆 T 上两点,N(3,1)是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直平分线与椭圆T 相交于 C,D 两点.(1)求直线 AB 的方程.(2)是否存在这样的椭圆,使得以 CD 为直径的圆过原点 O?若存
10、在,求出该椭圆方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1) 由离心率 e= ,可得椭圆 T:x2+3y2=a2(a0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),直 线 AB 的方程为 y=k(x-3)+1,代入 x2+3y2=a2,整理得(3k 2+1)x2-6k(3k-1)x+3(3k-1)2-a2=0.- 7 -=4a2(3k2+1)-3(3k-1)20,x1+x2= ,由 N(3,1)是线段 AB 的中点,得=3.解得 k=-1,代入 得,a 212,直线 AB 的方程为 y-1=-(x-3),即 x+y-4=0.(2)因为 CD 垂直平分 AB,所以直线 CD 的方程为 y-1=x-3,
11、即 x-y-2=0,代入椭圆方程,整理得 4x2-12x+12-a2=0.又设 C(x3,y3),D(x4,y4),所以 x3+x4=3,x3x4= ,y3y4=(x3-2)(x4-2)= ,假设存在这样的椭圆,使得以 CD 为直径的圆过原点 O,则 x3x4+y3y4=0得 a2=8,又 a212,故不存在这样的椭圆.【加固训练】已知椭圆 E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物线 x2=-4 y 的焦点是它的一个焦点,又点 A(1, )在该椭圆上.(1)求椭圆 E 的方程.(2)若斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 B,C,当ABC 的面积最大时,求直线 l 的方程.【解析
12、】(1) 由已知得抛物线的焦点为(0,- ),故设椭圆方程为+ =1(a ).将点 A(1, )代入方程得 + =1,整理得 a4-5a2+4=0,解得 a2=4 或 a2=1(舍去),- 8 -故所求椭圆方程为 + =1.(2)设直 线 l 的方程为 y= x+m,B,C 的坐标 分别为(x 1,y1),(x2,y2),由 得 4x2+2 mx+m2-4=0,则 =8m2-16(m2-4)=8(8-m2)0,所以 0m2b0),右焦点为 F2(c,0).因为AB 1B2是直角三角形 ,又|AB 1|=|AB2|,所以 B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,则 b= ,又 c2=a2-b
13、2,所以 4b2=a2-b2,故 a2=5b2,c2=4b2,所以离心率 e= = .在 RtAB1B2中,OA B1B2,故 = |B1B2|OA|=|OB2|OA|= b=b2.由题设条件 =4 得 b2=4,从而 a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为 + =1.(2)由(1)知 B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程为 x=my-2.代入椭圆方程得(m 2+5)y2-4my-16=0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1,y2是上面方程的两根 ,因此 y1+y2= ,y1y2=- .又 =(x1-2,y1), =(
14、x2-2,y2),所以 =(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=- - +16=- ,由 PB2QB2,得 =0,即 16m2-64=0,解得 m=2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为 x+2y+2=0 和 x-2y+2=0.- 10 -(20 分钟 40 分)1.(5 分)已知抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C: - =1(a0,b0)渐近线的距离为 ,点 P 是抛物线 y2=8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=-2 的距离之和的最小值为 3,则该
15、双曲线的方程为 ( )A. - =1 B.y2- =1C. -x2=1 D. - =1【解析】选 C.由题意得,抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0),双曲线 C: -=1(a0,b0)的一条渐近线的方程为 ax-by=0,因为抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲 线 C: - =1(a0,b0)渐近线的距离为 ,所以 = ,所以 a=2b.因为 P 到双曲 线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=-2 的距离之和的最小值为 3,所以|FF 1|=3,所以 c2+4=9,所以 c= ,因为 c2=a2+b2,a=2b,所以 a=2,b=1.所以双曲线的方程为 -x2=1,故选
16、C.2.(5 分)(2015西安模拟)若椭圆 + =1 的焦点在 x 轴上,过点作圆 x2+y2=1 的切线,切点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .【解析】 设过点 的圆 x2+y2=1 的切线为 l,当直线 l 与 x 轴垂直时,k 不存在,直线方程为 x=1,恰好与圆 x2+y2=1 相切于点 A(1,0);当直 线 l 与 x 轴不垂直时,设过点 的圆 x2+y2=1 的切线为 l:y- 11 -=k(x-1),即 kx-y-k+ =0.原点到直线 l 的距离为:d= =1,解之得 k=- ,此时直线 l 的方程为 y=- x+ ,l 与圆 x2+
17、y2=1 相切于点 B ;因此,直线 AB 斜率为 k1= =-2,直线 AB 的方程为 y=-2(x-1),所以直线AB 交 x 轴于点 A(1,0),交 y 轴于点 C(0,2),所以椭圆 + =1 的右焦点 为(1,0), 上顶点为(0,2),所以 c=1,b=2,可得 a2=b2+c2=5,椭圆方程为 + =1.答案: + =13.(5 分)已知椭圆 M: + =1,直线 x+y- =0 交椭圆 M 于 A,B 两点,P为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 .C,D 为椭圆 M 上的两点,若四边形 ACBD的对角线满足 CDAB,则四边形 ACBD 面积的最大值为 .【解析】因为 CD
18、AB,直线 AB 的方程为 x+y- =0,所以可设直线 CD的方程为 y=x+m,将 x+y- =0 代入 + =1 得,3x 2-4 x=0,不妨设 A(0,),B ,所以|AB|= ;将 y=x+m 代入 + =1 得,3x2+4mx+2m2-6=0,设 C(x3,y3),D(x4,y4),则|CD|= = ,又 =16m2-12(2m2-6)0,即-3b0)的离心率为 ,其左焦点到点P(2,1)的距离为 ,不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分.- 12 -(1)求椭圆 C 的方程.(2)求ABP 面积取最大值时直线 l 的方程.【解析
19、】(1) 左焦点 (-c,0)到点 P(2,1)的距离为 = ,解得 c=1.又离心率为 ,可得 a2=4,则 b2=3,所以椭圆 C 的方程为 + =1.(2)由题 意可知 ,直线 l 不垂直于 x 轴,故可设直线 l:y=kx+m,交点 A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去 y 并整理得(4k 2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,所以 x1+x2=- ,x1x2= ,所以 AB 的中点为 ,而直线 OP:y= x,可得 =- ,解得 k=- ,即直线 l:y=- x+m.|AB|= = =2 = .而点 P(2,1)到直线 l:y=- x+m 的距离为 d= ,- 13 -所
20、以ABP 的面积为 S= |AB|d= |8-2m|=其中 m(-2 ,0)(0,2 ),令 f(m)=(12-m2)(4-m)2,m(-2 ,0)(0,2 ),则 f(m)=4(m2-2m-6)(4-m)=4(m-1- )(m-1+ )(4-m),所以当且仅当 m=1- 时,f(m)取得最大值,即 S 取得最大值,此时直线 l:3x+2y+2 -2=0.5.(13 分)(能力挑战题)如图,椭圆 E: + =1(ab0)的左焦点为 F1,右焦点为 F2,离心率 e= .过 F1的直线交椭圆于 A,B 两点,且ABF 2的周长为 8.(1)求椭圆 E 的方程.(2)设动直线 l:y=kx+m 与
21、椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4相交于点 Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1) 因 为|AB|+|AF 2|+|BF2|=8,即|AF 1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8,- 14 -又|AF 1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,所以 4a=8,a=2.又因为 e= ,即 = ,所以 c=1,所以 b= = .故椭圆 E 的方程是 + =1.(2)由 得(4k 2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P
22、(x0,y0),所以 m0 且 =0,即 64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得 4k2-m2+3=0.(*)此时 x0=- =- ,y0=kx0+m= ,所以 P .由 得 Q(4,4k+m).假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上.设 M(x1,0),则 =0 对满足(*)式的 m,k 恒成立.因为 = , =(4-x1,4k+m),由 =0,得- + -4x1+ + +3=0,整理,得(4x 1-4) + -4x1+3=0.(*)由于(*) 式 对满足(*) 式的 m,k 恒成立,所以 解得 x1=1.- 15 -故存在定点 M(1,
23、0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.【一题多解】解决本题(2)还有如下方法:由 得(4k 2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0),所以 m0 且 =0,即 64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得 4k2-m2+3=0.(*)此时 x0=- =- ,y0=kx0+m= ,所以 P .由 得 Q(4,4k+m).假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上.取 k=0,m= ,此时 P(0, ),Q(4, ),以 PQ 为直径的圆为(x-2) 2+(y- )2=4,交 x 轴 于点 M1(1,0),M2(3,0);取 k=- ,m=2,此时 P(1, ),Q(4,0),以 PQ为直径的圆为 + = ,交 x 轴于点 M3(1,0),M4(4,0).所以若符合条件的点 M 存在,则 M 的坐标必为(1,0).以下证明 M(1,0)就是满足条件的点:因为 M 的坐标为(1,0),所以 = , =(3,4k+m),从而 =- -3+ +3=0,故恒有 ,即存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.
