1、5立体几何1 【2018 年浙江卷】已知四棱锥 SABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等， E 是线段 AB 上的点（不含端点） ，设 SE 与 BC 所成的角为 1，SE 与平面 ABCD 所成的角为 2，二面角 SABC 的平面角为 3，则A. 123 B. 321 C. 132 D. 231【答案】D从而 因为 ，所以 即1=,2=,3=, ， 132,，选 D.132点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面. 2 【2018 年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm 3）是A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】分析:先还原
2、几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为 2，底面为直角梯形，上下底分别为 1，2，梯形的高为 2，因此几何体的体积为 选 C.12(1+2)22=6,点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.3 【2018 年理新课标 I 卷】 已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D. 334 233 324 32【答案】A详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体 中，平面 与1111 11线 所成的角是相等的，所以平面 与正
3、方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同1,11,11 11理平面 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹1在两个面 与 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为 ，所以其面积为11 122，故选 A.=6 34( 22)2=334点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条 棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.学/科-网+4 【2018 年理新课标 I 卷】 某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图圆
4、柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中， 最短路径的长度为A. B. 217 25C. D. 23【答案】B来源:学科网 ZXXK【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点 M 和点 N 在圆柱上所处的位置，点 M 在上底面上，点 N 在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点 M、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点 M 和点 N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点
5、处，所以所求的最短 路径的长度为 ，42+22=25故选 B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.5 【2018 年全国卷理】设 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， 为等边三角形且 ， ， ， 其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为93 A. B. C. D. 123 183 243 543【答案】B详解：如图所示，点 M 为三角形 ABC 的重心，E 为 AC 中点，当 平面 时，三棱锥 体积 最大，此时， ， ， ,
6、 点 M 为三角形 ABC 的重心，=4=342=93 =6， 中，有 ， ，来源:Z*xx*k.Com=23=23 =22=2 =+=4+2=6，故选 B.()=13936=183点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大很关键，由 M 为三角形 ABC 的重心，计算得到 ，再由勾股定理得到 OM，进而得到结果，属于较难题型。=23=236 【2018 年理数全国卷 II】 在长方体 中， ， ，则异面直线 与1111 =1 1=3 1所成角的余弦值为1A. B. C. D. 15 56 55 22【答案】C点睛
7、：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.7 【2018 年理数天津卷】已知正方体 的棱长为 1，除面 外，该正方体其余各面的中1111 心分别为点 E，F，G，H，M( 如图)，则四棱锥 的体积为_.【答案】112点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8 【2018 年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_【答案】43【解析】分析：先
8、分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为 1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为2，2131( 2)2=43.点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决9 【2018 年理数全国卷 II】 已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角 78 为 45，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为_ 515【答案】 402点睛：本题考查线
9、面角，圆锥的侧面积，三角形面积等知识点，考查学生空间想象与运算能力.学*科/网10 【2018 年浙江卷】如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A 1A，B 1B，C 1C 均垂直于平面 ABC，ABC=120，A1A=4，C 1C=1，AB =BC=B1B=2（）证明：AB 1平面 A1B1C1；（）求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值【答案】 （）见解析（）3913（）由 得 ，所以 .=2,1=4,1=2,1,11=11=22 121+21=21故 .由 ， 得 ，由111 =2 1=2,1=1,1,111=5得 ，=2,=120=23由 ，得 ，所以 ，故 .因此 平面
10、.1 1=13 21+121=21 111 1 111（）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 .1 111 11 由 平面 得平面 平面 ，由 得 平面 ，1 111 111 1 111 1 1所以 是 与平面 所成的角.由 得11 1 11=5,11=22,11=21，所以 ，故 .111=67,111=17 1=3 1=11=3913因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .1 13913方法二：（）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O-xyz.由题意知各点坐标如下： (0, 3,0),(1,0,0),1(0, 3,
11、4),1(1,0,2),1(0,3,1),因此 由 得 .1=(1,3,2),11=(1,3,2),11=(0,23,3),111=0 111由 得 .所以 平面 .111=0 111 1 111点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“ 应用公式关”.11 【2018 年理数天津卷】如图， 且 AD=2BC， , 且 EG=AD， 且/ / /CD=2FG， ，DA =DC=DG=2.平面 （I）若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点
12、，求证： ；平面 （II）求二面角 的正弦值；（III）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60，求线段 DP 的长.【答案】() 证明见解析；( ) ；() .1010 33详解：依题意，可以建立以 D 为原点，分别以 ， ， 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图） ，可得 D（ 0，0，0） ，A（2，0，0） ，B （1，2，0） ，C（0，2，0） ，E（2，0，2） ，F（0，1，2） ，G （0，0，2） ，M （0， ，1） ，N （1，0，2） 32（）依题意 =（0，2，0） ， =（2，0，2） 设 n0=(x，
13、y，z)为平面 CDE 的法向量，则 0=0，0=0， 即 不妨令 z=1，可得 n0=（1，0，1） 又 =（1， ，1） ，可得 ，又因为2=0 ，2+2=0 ， 32 0=0直线 MN 平面 CDE，所以 MN平面 CDE（）设线段 DP 的长为 h（ h0，2 ） ，则点 P 的坐标为（0，0，h） ，可得 =(1， 2， )易知， =（0，2，0）为平面 ADGE 的一个法向量，故 ，由题意，|=|= 22+5可得 =sin60= ，解得 h= 0，2 所以线段 的长为 .22+5 32 33 33点睛：本题主要考查空间向量的应用，线面平行的证明，二面角问题等知识，意在考查学生的转化
14、能力和计算求解能力.12 【2018 年理北京卷】如图，在三棱柱 ABC- 中， 平面 ABC，D，E，F，G 分别为 ，111 1 1AC， ， 的中点，AB=BC= ，AC= =211 1 5 1（）求证：AC平面 BEF；（）求二面角 B-CD-C1 的余弦值；（）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交【答案】(1)证明见解析(2) B-CD-C1 的余弦值为 (3)证明过程见解析 2121（）由（I）知 ACEF ，ACBE，EFCC 1又 CC1平面 ABC，EF平面 ABCBE 平面 ABC，EFBE如图建立空间直角坐称系 E-xyz由题意得 B（0，2，0） ，C（-1，0，0）
15、 ，D（1，0，1） ，F（0，0，2） ，G （0，2，1） ，设平面 BCD 的法=(2 ， 0 ， 1) ， =(1 ， 2 ， 0) 向量为 ， ， ，令 a=2，则 b=-1，c=-4，平面 BCD 的法向量=( ， ， ) =0=0 2+=0+2=0 ，又平面 CDC1 的法向量为 ，=(2 ， 1 ， 4) =(0 ， 2 ， 0) 由图可得二面角 B-CD-C1 为钝角，所以二面角 B-CD-C1 的余弦值为=|= 2121 2121（）平面 BCD 的法向量为 ，G （0，2，1） ，F（0，0，2） ，=(2 ， 1 ， 4) ， ， 与 不 垂直， GF 与平面 BCD
16、不平行且不在平面 BCD 内，=(0 ， 2 ， 1) =2 GF 与平面 BCD 相交点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.13 【2018 年江苏卷】如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AB=AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点（1）求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值；（2）求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值【答案】 （1） （2）31020 55【解析】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设
17、立各点坐标，根据向量数量积求得向量 的夹角，,1再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.1详解：如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，设 AC，A 1C1 的中点分别为 O，O 1，则OBOC，OO 1OC，OO 1OB，以 为基底，建立空间直角坐标系 Oxyz因为 AB=AA1=2，,1所以 (0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),1(0,1,2),1( 3,0,2),1(0,1,2)所成角的正弦值为 55点睛：本题考查空间向量、异面直线所成角和
18、线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“ 建系关 ”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“ 求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.14 【2018 年江苏卷】在平行六面体 中， 1111 1=,111求证：（1） ；平面 11（2） 平面 11平面 1【答案】答案见解析详解：证明：（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB A 1B1因为 AB 平面 A1B1C，A 1B1 平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C（2）在平行六面体 ABCD-A1B1
19、C1D1 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形又因为 AA1=AB，所以四边形ABB1A1 为菱形，因此 AB1A 1B又因为 AB1B 1C1，BCB 1C1，所以 AB1BC 又因为 A1BBC=B，A 1B 平面 A1BC，BC 平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC因为 AB1 平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件
20、的应用可导致无法证明.15 【2018 年理新课标 I 卷】如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 , , 折起，使点 到达点 的位置，且 . （1）证明：平面 平面 ； （2）求 与平面 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析.(2) .34(2)结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面 ABFD 的法向量，设 DP与平面 ABFD 所成角为 ，利用线面角的定义，可以求得 ，得到结果.=| |=343=34详解：（1）由已知可得，BFPF，BF EF，又 ，所以 BF平面 PEF.=又 平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.学￥科 6
21、 网（2）作 PHEF ，垂足为 H.由（1）得，PH平面 ABFD.以 H 为坐标原点， 的方向为 y 轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz.由（1）可得，DEPE.又 DP=2，DE =1，所以 PE=|.又 PF=1，EF=2，故 PEPF.可得 .则 3=32,=32 (0,0,0),(0,0, 32),(1,32,0),=(1,32, 32),为平面 ABFD 的法向量 .设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ，则 .=(0,0, 32) =| |=343=34所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 .34点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知
22、识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.16 【2018 年全国卷理】如图，边长为 2 的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点 （1）证明：平面 平面 ； （ 2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值 【答案】 （1）见解析（2）255详解：（1）由题设知,平面 CMD平面 ABCD,交线为 CD.因为 BCCD,BC 平面
23、ABCD,所以 BC平面CMD,故 BCDM.因为 M 为 上异于 C，D 的点,且 DC 为直径，所以 DMCM.又 BC CM=C,所以 DM平面 BMC.而 DM 平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC.（2）以 D 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.来源:Zxxk.Com点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题。17 【2018 年理数全国卷 II】
24、如图，在三棱锥 中， ， ， 为=22 =4 的中点（1）证明： 平面 ；来源:Z,xx,k.Com （2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值 30 【答案】 （1）见解析（2）34详解：（1）因为 ， 为 的中点，所以 ，且 .来源:学,科,网=4 =23连结 .因为 ，所以 为等腰直角三角形，且 ， .=22 =12=2由 知 .由 知 平面 .2+2=2 , （2）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .由已知得 取平面 的法向量 .设(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),=(0,2,23),
25、=(2,0,0)，则 .设平面 的法向量为 .(,2,0)(0= 16 10=1530 1 11 1530点睛：本题主要考查线性垂直的证明，空间几何体的体积，运用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题。28 【 江西省南昌市 2018 届三模】如图，多面体 中， 为正方形， ， =2,=3,=5二面角 的余弦值为 ，且 .55 /（1）证明：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 【答案】 （1）见解析（2） . 21717详解：（1）证明： ，由勾股定理得： ,又正方形 中 ，且=2,=3,=5 , 平面 ，又 面 ，平面 平面= （2
26、）由（1）知 是二面角 的平面角,作 于 ，则 =1,=2且由平面 平面 ，平面 平面 ， 面 ,所以， 面 ,取 中点 ， = 连结 ，则 ，如图，建立空间直角坐标系，则 (2,1,0)、 (2,1,0)、 (0,1,0)、 (0,0,2) ,又 ，知 的一个方向向量=(2,1,2),=(2,2,0) / (2,2,0)设面 法向量 ，则 ,取 ，得 =(,)=2+2=0=2+2=0 =2 =(2,2,3)又面 一个法向量为 ： =(1,0,0),=|=21717设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则 =|,|=21717点睛：本题考查直线与平面垂直的判断，二面角的平面角的求法，考查空间想象能
27、力以及逻辑推理能力计算能力学*科/网29 【 河南省郑州市 2018 届三模】如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， /，点 为棱 的中点.=2=2 （）证明： ；（）若点 为棱 上一点，且 ，求二面角 的余弦值 【答案】 （）证明见解析；（） .31010可得 ，然后结合图形可得所求1,2=31010详解：（）证明： 底面 ， 平面 ， 面 ， ， ， 平 又 ， 两两垂直以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系 , .则由题意得 ， ， ，(1,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,1),(0,2,0) =(0,1,1),=(2,0,0) =0面角 的余弦
28、值为 31010点睛：用坐标法解答立体几何问题的几个注意点：（1）建立空间直角坐标系时首先要判断是否满足条件，即是否有三条两两垂直的直线；（2）求点的坐标时一定要准确，对于不容易求的点的坐标，可根据向量的共线等方法求解；（3）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，还要根据图形判断出二面角为锐角还是钝角，最后再下结论30 【 河北省唐山市 2018 届三模】如图，四棱锥 的底面 是平行四边形， .=90（1）求证：平面 平面 ； （2）若 ， 为 的中点， 为棱 上的点， 平面 ，求二面角 的余弦=3 / 值.【答案】(1)见解析.(2) .23939详解：（1）ABCD，PCC
29、D，ABPC，ABAC，ACPCC，AB平面 PAC，ABPA，又PAAD，ABADA，PA平面 ABCD，PA 平面 PAB，平面 PAB平面 ABCD （2）连接 BD 交 AE 于点 O，连接 OF，E 为 BC 的中点，BCAD， ，PD平面 AEF，PD 平面 PBD，平面 AEF平面 PBDOF，PDOF， ， 以 AB，AC，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz， ，二面角 A-DF-E 为钝二面角，二面角 A-DF-E 的余弦值为 点睛：本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.学科 2 网
