1、1高中数学三角恒等式变形解题常用方法一.知识分析1. 三角函数恒等变形公式（1）两角和与差公式（2）二倍角公式（3）三倍角公式（4）半角公式（5）万能公式， ， （6）积化和差，2（7）和差化积，2. 网络结构33. 基础知识疑点辨析（1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中， 是一个任意角，可正可负。另外，公式 虽然形式不同，结构不同，但本质相同：。（2）怎样正确理解正切的和差角公式？4正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点：推导正切和角公式的关键步骤是把公式 ，右边的“分子”、“分母”都除以 ，从而“化弦为切”，导
2、出了 。公式 都适用于 为任意角，但运用公式 时，必须限定 ， 都不等于 。用 代替 ，可把 转化为 ，其限制条件同。（3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如 15，75，105角等）的三角函数值。能由两个单角 的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角 的三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小（注意这两个条件缺一不可）。能运用这些和（差）角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式，化简三角函数式，要注意公式可以正用，逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最小值。（4）利用单角的三角函数表示半角的三角函
3、数时应注意什么？先用二倍角公式导出 ，再把两式的左边、右边分别相除，得到 ，由此得到的三个公式： ， ，分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号，由 所在的象限来确定，如果没有给出限制符号的条件，根号前面应保持正、负两个符号。另外，容易证明 。 4. 三角函数变换的方法总结三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数
4、学逻5辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。【例 1】已知 同时满足 和 ,且 a、b 均不为 0，求 a、b 的关系。解析：已知显然有：由cos 2cos ，得：2acos 22bcos=0即有：acosb=0又 a0 所以，cos b/a 将代入得：a
5、 （a/b ） 2b（b/a）2a即 a4b 42a 2b2 （a 2b 2） 20 即a b点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。（2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变它应用广泛，方式灵活，如 可变为（）；2 可变为（）（）；2 可变为（）；2 可看作 4 的倍角；（45）可看成（902）的半角等等。【例 2】求 sin（75）cos（45） cos（15）的值。解析：设 15，则6原式sin （60）cos （+30） cos（s
6、in cos60cossin60 ）（coscos30sinsin30） cos sin cos cos sin cos0点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。【例 3】已知 sinsin（） （其中 cosA ），试证明：tan（）证明：已知条件可变为：sin（）sin （）所以有：sin （） coscos （） sinsin （） sin （）（ cos）cos （） sin tan（）点评：在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法，它往往是寻找解题突破的关键。（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含
7、有 1 的三角公式，将原式中的 1 或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是 sin2x cos2x, sec 2xtan 2x, csc 2x cot 2x，tanxcotx, secxcosx, tan45 等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。【例 4】化简：解析：原式7点评：1“ ”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛。（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。【例 5】解三角方程：sin 2xsin 22xsi
8、n 23x解析：原方程变形为：（1cos2x） （1cos4x） （1cos6x）即： 1cos6x cos2xcos4x2cos23x 2cos3x cosx 得： cos3x sin2x sinx 0解得： x 或 x （ ） 原方程的解集为x| x 或 x , 点评：题中先降次后升幂，这种交错使用的方法在解三角方程中时有出现，其目的是为了提取公因式。（5）添补法与代数恒等变换一样，在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项裂项会使某些问题很便利地得以解决。将原式“配”上一个因子，同时除以这个式子也是添补法的一种特殊情形。【例 6】求证： 证明：左边8 右边 原式成立。点评：本例中采用“
9、加一项再减去一项”，“乘一项再除以一项”的方法，其技巧性较强，目的都是为了便于分解因式进行约分化简。（6）代数方法三角问题有时稍作置换，用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置换等的变形，从而将三角问题转换成代数问题来解，而且更加简捷。这其中有设元转化、利用不等式等方法。【例 7】锐角 、 满足条件 ，则下列结论中正确的是（ ）A.+ B. +C. + D. +解析：令 sin ,则有整理得： （a b） 2 0 即 ab即： sin 2cos 2 （， 同为锐角） sin cos ，故应选 D。点评：本例用设元转化法将三角问题转化为代数问题。换元法这种数学思想应用十分广泛，往往能收到简捷
10、解题的效果（7）数形结合9有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观，此时若能以数思形，数形渗透，两者交融，则可开辟解题捷径。利用单位圆，构造三角形，利用直线、曲线的方程等方法都是数形结合的思想。【例 9】已知： ， ，求 的值。解析：点 ， 均在单位圆上。由已知条件知：AB 的中点坐标为（1/6,1/8），即直线过 定点 C如下图所示xOC 据万能公式得：点评：本题用和差化积公式也不难求得，但在三角问题中利用单位圆是常见的研究方法。数形结合方法在三角变换中应用类型颇多，篇幅所限，仅举一例，本文不赘。从六、七两种方法可以看出，将代数、几何与三角有机联系起来，综合运用，在解三角变换题中，不仅构思精巧，
11、过程简易，趣味横生，而且还沟通数学知识的纵横关系，也有利于多向探求，广泛渗透，提高和发展学生的创造性思维能力。以上探讨了三角变换中的七种变换思想和解题方法，在实际解题中这些方法是交织在一起的，混合于同一问题中灵活使用。掌握这些变换方法的前提是熟悉公式，善于公式的变形运用，同时注意纵横联系数学知识用发散性的思维考虑问题。三角变换的技巧除了以上七个方面外，还有平方消元，万能置换，利用正余弦定理进行边角转换，利用辅助角，借用复数表示等方法我们以后有机会再介绍。5. 非特殊角的化简、求值问题的解题方法探究10非特殊角的化简求值是给角求值中一类常见的三角求值类型，对于此类求值问题，由于涉及到的三角公式及
12、其变形灵活多样，因而如何利用三角公式迅速准确的求值应是解决这类问题的重点，现在我们通过一个题目的解法探寻，体会非特殊角三角函数的求法。【题目】求 的值。分析 1：这是一道给角求值中非特殊角的化简求值问题，仔细观察可看出在所求式子中有一项是正切函数、一项是正弦函数，因此通常运用切割化弦，然后通过通分化简，使其化为特殊的三角函数值。解法 1：点评：通分以后，要将和式转化为积式，需将 拆项为 ，这是将和式转化为积式中常用的变形手段，在将和差化积后要尽可能的出现特殊角特殊值，这样才有可能使化简得以进行下去。分析 2：运用切割化弦，通过通分化简后，若不考虑将和式转化为积式，而是对角进行变换，观察到运算的
13、式子中出现的两角为 20，40，与特殊角比较则会有 604020，变角后再应用两角差的正弦公式展开进行化简。解法 2：11分析 3：我们在运用“切割化弦”时，若不利用商数关系 ，而是将 tan200 利用半角公式 进行化弦，也能进行求值。解法 3： 分析 4：从以上路径可以看出 ，而 是一个特殊的三角函数值，考虑它等于什么呢？ ，因而考虑可否会有 ，这样问题就转化为等式的验证。解法 4：12有点评：本路径采用了综合法，只进行等式 的验证，问题就得以解决。分析 5：利用倍角公式可得到 ，能否再对角进行适当的变换，出现特殊角，我们发现 4060一 20，这样变角后利用两角差的正弦公式展开化简，也能
14、求值。解法 5：将等式可写成两边同除以 得点评：本题利用综合法求得了 的值，在这里首先进行角的变换，然后利用两角差的正弦公式展开，合并同类项后，再进行弦化切割，从而得到所要求的值。以上我们探寻了不查表求非特珠角的三角函数的值的问题，对于这类问题，要从多方面考虑解决的方法，在这里我们是从三角函数的“变名”“变角”“变式”“切割化弦”弦化切割”等方面而进行了三角恒等变形，这在以后的学习训练中要逐步体会掌握。【典型例题】例 1. 化简 cos（ ）cos（ ），其中 kZ。解析：解法一：13原式cos k （ ）cos k （ ）cosk cos（ ）sink sin（ ）cosk cos（ ）si
15、n k sin（ ）2cosk cos（ ），（kZ ）当 k 为偶数时，原式 2cos（ ）cos sin当 k 为奇数时，原式2cos（ ） sin cos 总之，原式（1） k（cos sin ），kZ解法二：由（k ）（k ） 2k ，知cos（k ）cos2k （ k ）cos（k ）cos（ k ）原式2cos（k ）2（1） kcos（ ）（1）k（ cos sin ），其中 kZ点评：原式cos（ k ）cos（ k ）cos k（ ）cos k（ ）这就启发我们用余弦的和（差）角公式。例 2. 已知 sin（ ） ，cos（ ） ，求 的值。解析：解法一：由已知条件及正弦的和
16、（差）角公式，14解法二：（设未知数）令 x解之得例 3. 在 中， 求 的值和 的面积。解析：解法一：解方程组 得 ，故。解法二：由 及 得，可得因为 ，所以 ，故 ，即15解方程组 得 ，故 。（以下同解法一）解法三：因为 ，所以 。又 ，故 ，（以下同解法一）例 4. 解析：解法一：此题可利用降幂、积化和差、和差化积等公式进行恒等变形化简。原式解法二：利用“整体配对”思想，构造对偶式来解题设则两式相加得即16例 5. （第 5 届 IMO 试题）证明解析：设则 或 （舍去）【模拟试题】一、选择题： 1. 已知 的值为（ ）A. B. C. D. 2. 的值为（ ）A. 0 B. C. D
17、. 3. 的值为（ ）A. 1 B. C. D. 4. 的两内角 A,B 满足 ，则此三角形的形状为（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定5. 已知 ，则 的值为（ ）17A. B. C. D. 6. ,则 的值为（ ）A. B. 1 C. D. 7. 若 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 8. 函数 的值域是（ ）A. B. C. D. 9. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 ，则这个三角形底角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 10. 等于（ ）A. 1 B. 1 C. 2 D. 2二、填空题11. 在 中，已知 tanA ,tanB 是方程
18、的两个实根，则12. 已知 ，则 的值为13. 观察下列各等式： ， ，根据其共同特点，写出能反映一般规律的等式 。14. 已知直线 ，A 是 之间的一定点，并且 A 点到 的距离分别为 ，B 是直线 上一动点，作 AC AB，且使 AC 与直线 交于点 C，则 面积的最小值为。18三、解答题：15. 化简 16. 已知 ，求 的值17. 证明：18. 知函数 ，求（1）函数的最小值及此时的 的集合（2）函数的单调减区间（3）此函数的图像可以由函数 的图像经过怎样变换而得到19. 已知向量 ， 。（1）当 ，且 时，求 的值（2）当 ，且 时，求 的值【试题答案】一、选择题：1. C 2. B
19、 3. D 4. C 5. A6. C 7. B 8. D 9. C 10. A二、填空题：11. 7 12. 13.14. 三、解答题：15. 解：原式1916. 解： （2）（1）得 （2）（1）得 （4） （3）得17. 略18. 解：由（1）当 时， ，此时，由 得（2）由 得减区间为（3）其图像可由 的图像向左平移 个单位，再向上平移 2 个单位而得到。19.（1）由 ，得 ，（2）由得而所以关于简单三角变换的问题1、同角的三角函数有三种关系：20平方关系：sin 2cos 2=1；商式关系： ；倒数关系：tancot=1它们的主要应用有：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切中的一个
20、，求其他两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单三角恒等式等同角三角函数变换，要突出弦、切互化，同时要注意各种变换技巧，如“1”可以用“sin2cos 2”代换等2、诱导公式有两组，可概括为对 k90(Z)的各三角函数值满足规律“奇变偶不变，符号看象限”，即当 k 为偶数时，得 的同名函数；当 k 为奇数时，得 的余名函数；然后在前面加一个把 看成锐角时原函数的符号在利用诱导公式求任意角的三角函数值时，不必拘泥于课本上列出的几个步骤，可以结合三角函数的性质，灵活使用3、三角函数的恒等变换中最基本、最常见的变换有：（1）公式变换：要注意正确理解公式中和、差、倍的相对性，抓住公式中角、函数、结构
21、的特点，灵活地对公式进行正向、逆向及变形使用；（2）角度变换：要善于分析角之间的和、差、倍、半的关系，要特别注意能否产生特殊角，正确使用诱导公式及辅助角公式；（3）函数变换：弦切互化；（4）1 的变换：如 1= sin2cos 2，1= tancot， 等；（5）幂的变换：用公式 来升、降幂214、三角恒等变换的基本题型有三种（1）求值：给角求值，其关键是正确分析角间的关系，准确地选用公式，将非特殊角转化为特殊角或将非特殊角的三角函数值相约或相消；给值求值，其关键是分析已知和待求式之间的角、函数、结构的差异，有目的地消化；给值求角，其关键是先求出该角某一三角函数值，在对应函数的单调区间内求解（
22、2）化简：未指明答案的恒等变形，应把结果化为最简形式；根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，如一角一函数形式，以便研究函数的各种性质（3）证明：主要有两种：无条件恒等式证明和条件恒等式证明5、在求值、化简、证明中应注意的问题有：（1）三角式化简的目标项数尽可能少；三角函数种类尽可能少；角尽可能少、小；次数尽可能低；分母尽可能不含三角式；尽可能不带根号；22能求出值的要求出值（2）三角运算的基本原则异角化同角；（角分析法）常数的处理（特别注意“1”的代换）（3）几个重要的三角变换思想sincos凑倍角公式；1cos升幂公式；1sin配方或化为 1cos(/2)再升幂；asinbcos辅助角
23、公式；tgtg两角和与差的正切公式逆用三、例题讲解：例 1、求证：tan3Atan2AtanA=tan3Atan2AtanA证明：欲证等式即为 tan3A(1tan2AtanA)=tan2AtanA，即 根据正切的和角公式，结论成立23小结：1、分析法“执果索因”，便于寻找解题途径，也是三角恒等式证明中的一种常用方法；2、本题可以推广如下：若 =，则tantantan=tantantan特殊地，若ABC 是非直角三角形，则（1）tanAtanBtanC=tanAtanBtanC，（2）tan nAtan nBtan nC=tannAtannBtannC例 2、已知 (a0)的定义域为0， ，值
24、域为5，1，求常数 a、b 的值分析：观察函数的特征，需将它化归为形如 y=Asin(x)B 型三角函数求值域，特别注意此时 x0， ，故首先要求出 x 的范围并进而求出 sin(x)的取值范围，同时注意系数 A 的符号解：（1）求得 a=2，b=5（2）求得 a=2，b=124例 3、已知 sin 是 sin 和 cos 的等差中项，sin 是 sin 和 cos 的等比中项，求证：cos44cos4=3证明：由已知条件得：2sin=sincos，sin 2=sincos式平方得：4sin 2=12sincos，式代入得：4 sin 2=12sin 2，即 2cos2=cos2式平方得：4c
25、os 22=cos 22，再降幂：2(1cos4)= (1cos4)，cos44cos4=3小结：在三角变换中，为了达到化繁为简的目的，降幂应该是最主要的手段，但在某些情况下，升幂也是必要的例 4、已知 ，求：（1）x 22xyy 2的最大值与最小值；（2）求 3x4y 的最大值与最小值分析：由已知条件的结构特征：两数的平方和为 1，联想到 sin2cos 2=1，由此可作三角代换，将上述问题转化成三角函数的最值问题因而本题考查三角函数作为工具被应用的能力解：25（2）例 5、如图所示，一条河宽 1 千米，两岸各有一座城市 A 和 B，A 和 B 的直线距离是 4 千米，今需铺设一条电缆线连结
26、 A 与 B已知地下电缆的修建费是 2 万元/千米，水下电缆的修建费是 4 万元/千米假定河两岸是平行直线，问应如何铺设电缆方可使总施工费用最少分析：解决实际应用问题，关键是建立数学模型此处有两种选择：一是建立函数模型，可以考虑以 AD 或 DB 为自变量，函数式易立，但最值难求；二是建立三角模型，转化为求三角函数最值，处理稍容易些解：设CAD=，由 AC=1，AB=4，则依题意，设由 A 到 B 铺设电缆的总费用为 y，则26答：水下电缆应从距 B 城（ ）千米处向 A 城铺设278.基本初等函数()及三角恒等变换同角三角函数关系式：(1)平方关系：sin2cos21,1tan2sec2，1
27、cot2csc2；(2)倒数关系：sincsc1，cossec1，tancot1；(3)商数关系：tansin/cos，cotcos/sin.诱导公式的规律可简记为：奇变偶不变，符号看象限。此外在应用时，不论 取什么值，我们始终视 为锐角。否则，将导致错误。诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：a.负角变正角，再写成 2k，02；b.转化为锐角。求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值).三角函数的图象与性质：三角函数 y sinx y cosx y tanx y cot
28、x定义域 (，) (，) (n ，n ) (n ，n )值域 1,1 1,1 (，) (，)最大(小)值(kZ)当 x2 k 时， ymax1； 当 x2 k 时， ymin1当 x2 k 时， ymax1； 当 x 2k时， ymin1无 无奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数周期性 T2 T2 T T有界性 有界 有界 无界 无界28单调性 (kZ)在2 k， 2k上都是增函数， 在2 k， 2k上都是减函数在(2 k1)，2 k上都是增函数， 在2k，(2 k1)上都是减函数在( k， k)内都是增函数在(k， k)内都是减函数()公式间的关系相除相除相除()辅助角公式：asinbco
29、sa*a+b*bsin()(辅助角 所在象限由点(a，b)的象限决定，tanb/a).()三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有：a.巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。如 ()()，2()(),2()()，2/2，/2/2/2 等).b.三角函数名互化(切割化弦).c.公式变形使用如：tantantan()(1tantan).d.三角函数次数的降升(降幂公式：cos21cos2/2，sin21cos2/2；升幂公式：1cos22cos2，1cos22sin2).e.式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同).29f.常值变换主要指“1”的变换(1sin2xcos2xsec2xtan2xtanxcotxtan/4sin/2).
