1、题 目： 论构造法在中学数学中的应用学 年 论 文题 目：浅谈数形结合方法学 院：数学与计算机科学学院专 业：数学与应用数学班 级：10 数学一班学 号：20102032姓 名：周伟龙指导教师：余志成学 院： 数学与计算机科学学院专 业： 数学与应用数学班 级： 10 数学一班学 号： 20102032姓 名： 周伟龙指导教师： 余志成成绩： 目录1. 引言 .12. 构造法在数学中的应用 .12.1 构造函数法 12.2构造递推数列 22.3构造方程或方程组 32.4构造图形法 42. 总结 .6参考文献： 7第 0 页 共 7 页论构造法在中学数学中的应用摘要：本文从构造方程、函数、图形、
2、递推数列这些常见构造出发，构造出解题的数学模型, 从而使问题得到解决。在构造法解题的过程中，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，在解题中被广泛应用。它是一种极其富有技巧性和创造性的解题方法，运用构造法解数学题可从中激发学生的发散思维，使学生思维和解题能力得到培养，对培养学生的多元化思维和创新精神大有裨益。关键词：构造、数学解题、转化。 1. 引言构造法，即构造出使用公式或定理的条件，或对所解题目赋予几何意义，或构造出题目所满足的条件的具体事例来验证结论的正确性或推翻结论等手段来解题的方法，是运用数学的基本思想, 经过认真的观察 , 深入的思考, 构造出解题的数学模型, 从而使问题得到
3、解决。它内涵十分丰富, 没有完全固定的模式可以套用, 它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础, 针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法。在解题时，要善于将数与形结合，将式与方程、函数、图形等建立联系，构造出一种新的问题形式，架起一座连接条件和结论的桥梁，如方程、函数、图形、模型等，在数学表达的几种形式之间找出相互关系。从而使问题得以解决，运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于加强学生数学基础知识的灵活运用，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的思维能力和创新能力。不少数学问题运用构造法来分析探求，可获得新颖、独特、简捷的解法。2. 构造法在数学中的
4、应用2.1 构造函数法在求解某些数学问题中，根据问题的条件，构想、组合一种新的函数关系，使问题在新的观点下实行转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。在解决不等式的证明题时常常通过构造辅助函数，把原来问题转化为研究辅助函数的性质，并利用函数的单调性、有界性、奇偶性等性质来解决。例1：求证不等式： (0)12x证明：构造函数： ()fx21xxA()1xx.2xf所以 的图像关于 轴对称。当 时， ，故 ；当 时，()fxy0x()0fx第 1 页 共 7 页依图象的对称性知 .故当 时，恒有 .即 ()0fxx()0fx.12x例2：已知 ，求证： 0x5x证明：构造函数
5、，则 ，设 ,由1()(0)fx12 )1()(f显然：因为 ，所以 - 0， 1，所以 ，2()0f所以 在 上是单调递增的，所以()fx,5(2)xf以上两题的实质上是用的函数的单调性、奇偶性来证明的，其中如何来构造恰当的函数是进一步证明的关键。2.2构造递推数列数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究其性质等；有了数列的通项公式便可求出任一项以及前 项n和等.因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点。因此近年来的高考题中经常出现给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式） ，求通项公式的问题，常常用构造法(构造等差、等比数列)。例3：数
6、列 中， ，求通项 .na123nana解：令 且 ，得 ，则数列 是以6为首项，1()tttt3na2为公比的等比数列，所以 ，则 .16nnA162nA本题是形如 为非零常数）的，若 ，则 为等差数1,npq pn列，否则，构造 等比数列。()natt例4：已知数列 满足 ， ，求通项14a *1(2,)()nnaN.na解： 112()nna11()2()nnnaa1()3第 2 页 共 7 页数列 是首项是3，公比为-2的等比数列.从而1()na11()3(2)nna即 13(2)(nnn本题形如 为非零常数) ，将其变形为1(,npaqr1nnqpa若 ，则 是等差数列，公差为 ，可
7、用公式求通项；若 ，则采用pr1na pr构造 等比数列.1()ntmt例5：已知数列 满足： ，若数列n *11,2,naanN是等比数列，求实数 的值；求通项 .napqpq解：设 *1(),()nma得 1()nnpqapq因为 ,所以12na2n nam即 ()(1)10nmppq由已知可得 ，所以0na2021pqq则存在常数 使得数列 为等比数列.1,pqna所以 ，则 .24nna12本题形如 为非零常数）的形式，解决此问题，一般1(,rpq将其构造为 等比数列.()nntmt2.3构造方程或方程组根据题设条件，利用方程的根的定义、根的判别式、韦达定理等相关知识第 3 页 共 7
8、 页构造出方程或方程组，然后利用方程或方程组的有关知识，使问题得以解决。例 6：已知实数 满足 ，求 的值。,xyz25,9xyzxy23xyz解：由已知可得： 216z以 为两实数根，构造方程 ，因为方程有实根，所以1,xy290m2(6)4)所以 ，所以方程 有两个相等的实数根，所以20,=z且 2，于是有 ，所以 ，所以 .13m13xy,3xyz238xyz例 7：求证： ),2(tansec2 Zk证明：设 则：t2y2(1)an(1)tan(1)0yy当 时，显然成立.1y当 时22(1)4()(31)0yy所以： 13y2.4构造图形法数与形是和谐统一的，是数学教学中不可分割的两
9、方面，用数与形转化思想解题，能充分利用几何直观性，且解法简洁，在解题过程中能培养学生的创造性思维。要灵活运用数形结合的方法，必须对解析几何中的公式及其各种变形有相当深刻的认识，也要对所求解的问题的数、式、形等特征有比较准确的把握，敢于联想，善于联想是构造法的关键。例 8： 一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球2的表面积为（ ）. A3 B.4 C.3 D. 63第 4 页 共 7 页 A CB1D1A1D1 C1B1A D CB图 1解：构造一个棱长为 1 的正方体 (如图 1) ，连1B，则四面体 为符合题意的四面体，它的外11,ABDCBD1ACD接球的直径即为正方体的
10、对角线长.设该外接球的半径为 ,则 ,所R123AC以此正四面体外接球的表面积为 ,故选 A.243SR例 9：求函数 的最小值 .2561yxx解：可将函数变形为：2222(1)(0)(3)(0)可以理解为 的距离之和，又因为 是 轴上M,0AB-x与 （ ， ） 和 （ ， ） Mx的动点，也就是在 轴上找一点 使得 与 的距离和 与 的距离之和为MAB最小值。点 轴的上、下两侧，连接 与 轴的交点为 ，B和 分 别 在 x1间的距离就是函数的最小值（如图 2） ，为 A 22(13)()5图2例 10：已知全集 ，集合 为 真子集，若 ，5,321U,STU2TSxy (X,0) (3,
11、-2)(1,2)1234512345612345123456M1oA BM第 5 页 共 7 页， ,则有（ ）4TSCu51TCSuA. ， B. ，3SCu3TC. ， D. ，u u分析：由韦恩图 3知，三个集合的关系如下图：一目了然，选答案 C. 514T23SU图 32. 总结通过上述的例子说明了，构造法解题有着在你意想不到的功效，问题很快便可解决。它可以构造函数、方程、图形甚至其它构造，就会促使学生要熟悉几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用，这对学生的多元思维培养学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利。构造法解题的思维过程具有一定的灵活性和创造性，运用构造法解
12、题需要掌握数学知识之间的互相关系，而且需要较强的思维能力和创新意识，并且能够激发学生积极探索，创新的欲望和意识。在高速发展的21世纪，数学作为“思维的体操” ，对于培养创新型人才有着非常重要的意义。在数学教学中对学生解题能力的培养，不仅能使学生思路开阔、妙趣横生，而且能够拓展他们认知的范围，巩固他们认知的深度。并且，继续深入进行构造法在中学数学中的应用的理论研究和教学实践。因此，在解题教学时，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想则能得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法而且还能加强学生对知识的理解，培养思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力。第 6 页 共 7 页参考文献：1
13、薛金星. 怎样解题 M. 北京教育出版社， 2004.205-214.2 王桂青. 初中数学竞赛中的构造法分析J.考试周刊，2007， （1）：101-102.3 黄加卫. 给数学构造性解题方法提个醒J.中学数学研究，2006， （4）：26-28.4 戴红波. 构造在数学解题中的应用J.宁波教育学院学报，2010，12（3）：134-135.5 周权. 运用构造法巧证组合题J.高中数学教与学，2008：44-45.6 蒲怡萧. 一道例题的构造解法J.数学大世界.高中版，2003， （9）：26.7 陈巧红. 用构造法巧求根式函数的最值J.数学通报，2006， （20）：17-18.8 王小兰. 浅析构造法在不等式证明中的应用J.教育战线，2007， （6）：126.9 王向群. 两类求和问题的又一构造解法J.数学通讯，2001， （7）：22.10 王业文. 无理方程的构造解法例谈J.中学数学（苏州） ，1998， （8：36-37.11刘颖. 浅析构造法在初等数学中的应用J.职业教育，2007， （6）：225-226.12 刘震源 . 浅谈构造法在中学数学中的应用J.中国校外教育（理论） ，2007， （1）：89-91.
