1、关于电容器电容的定义问题一般普通物理书中把电容器的电容定义为：两个任意形状、互相靠近的导体，在周围没有其他导体或带电体时，它们就组成了一个电容器，每一个导体就是该电容器的一个极板如果两极板上分别带有等量异号的电荷Q 与Q，它们相应的电势分别为 与 ，1U2实验表明，Q 与 成正比，比值 叫做电容器的电容21U21UC不少学生提出问题：如果两个极板上不是带等量异号电荷，而是分别带有电荷 与1Q，此时电容器的电容能否仍用 定义？如果可以，那么式中的 Q 指的是什2 21Q么电荷？对此问题的解答是，电容器的电容仍可用 定义，式中 Q 是指要使电21UC容器两极板电势相等时，从一个极板向另一个极板转移
2、的电量， 是电量 Q 转移之21前两极板之间原有的电势差为了对上述结论作出证明，让我们先引进电容系数概念导体系的电容理论研究的是，在线性介质内导体系的电量与电势的关系所谓线性介质是指电位移矢量 D 与场强 E 成线性关系，在这里表现为导体系的电量与电势成线性关系设有 N 个导体组成的导体系，除大地外不受其他外部导体的影响，如 N 等于 2 时，导体系就是一个电容器如图所示，使导体 1 具有电势 ，其余各导体电势均为零，在此情况下，导体 1 充电1U后电量为 （ 1） ，其余导体上的感应电荷电量分别为 （1） ， （1） ，这 N 个电Q2QN量都是由 所引起，故它们与 成正比，即：U11121
3、)()(UCQCNii再使导体 2 具有电势 ，其余各导体电势均为零，如图所示由于导体 2 具有电势2U，使这 N 个导体分别具有电量 （2） ， （2） ， （2） ，它们之间的关系为：2U1 N22211)()(UCQCNii依此类推，直到使第 N 个导体具有电势 ，其余导体电势为零，N 个导体上电量分别是 ，并得出下列关系：)(,)(,21Q NNiiNUCQ)()(2211当使 N 个导体同时分别具有电势 时，每个导体上的电量应为：,21NNNNUCUCQQCC 212212121 )()()()(以上 N 个等式可用通式表示为：（1）),(1iNjjii 式中 叫电容系数，它的物理意
4、义是第 j 个导体具有单位电势时在第 i 个导体上感应ijC电荷的电量，它的大小与导体系中各导体的大小、形状、相对位置及周围介质的性质有关，与导体系的电量与电势无关应用静电场的格林互易定理，可以证明 有一个重要性ijC质即：（2）jiijC（2）式表明，导体系中第 j 个导体具有单位电势在第 i 个导体上产生的感应电荷，与第 i 个导体具有单位电势在第 j 个导体上产生的感应电荷相等下面我们回到当电容器分别带有电荷 和 （ ） ，电容器的电容仍可用1Q221定义，Q 是指要使电容器两板电势相等时，从一个极板向另一个极板转移的21UC电量， 是电量转移之前两极板之间原有电势差结论的证明上显然，在
5、电量 Q 转移之前，根据（ 1）式有如下关系：（3）2121UC电量 Q 转移之后，有以下关系：（4）02021*（4）式中 、 和 是 Q 转移后两极板所带的电量及共同的电势*120U根据电荷守恒定律，Q 转移前后电容器所带有的总电量保持不变，即：（5）*2121再根据（2）式有：（6）21C由（3）（6）四式联立，可解得： 2*1Q（7）)(2121UC令：（8）2*1Q（9）1212C则（7）式可写成：（10）21U由（8）式可看出，Q 是极板 1 上电荷的减少量，也是极板 2 上电荷的增加量，因而Q 是两极板之间转移的电量 乃是两极板之间原有的电势差由（9）式可看出，2当两极板的大小、
6、形状和相对位置以及周围的介质不变时， 、 、 都保持不变，1C21也就是 C 保持不变，C 就叫做电容器的电容可见 Q 与 是成正比的U这里所说的电容器电容的定义式与一般书中所说的定义式是一致的，后者仅是前者的特例，前者更具有普遍意义对此，举例说明如下：例 1：平行板电容器分两种情况讨论（1）有一个极板接地的情况如图所示，容易证明，当两极板很靠近且无外部导体和带电体的影响时，两极板相对的内侧面带有等量异号电荷 与 ，外侧面没有电荷1Q分布当用导线连接两极板后，它们的电势均为零， 与1Q完全中和，它们的电量也都是零，即：1Q（11）0*21因而电量的转移为：（12）1*21)(QQ则（l0）式变
7、为：（13）2121UQC这表明电容器的电容 C 等于每个极板所带电量与两极板间的电势差之比，这样自然就回到了一般教科书中的定义式（2）两极板都不接地的情况如图所示，两极板的内侧电荷面密度分别为 、 ，外侧电荷面密度分别为 、内1内2 外1，两极板侧面积均为 S，用电磁学知识即可求得：外2（14）外外 内内 21用导线连接两极板后，因为两极板的几何性质完全一样，静电平衡时它们所带的电量相等，即：（15）)(212*1Q所以转移的电量为： )16()()(21)(2)(2121221*1外外内内 外内外内 SSSQ根据（l4）式，则（16）式可变为： )17(221内内 内内 QSQ可见，尽管两
8、极板所带的电量不同，但它们的内侧面所带电荷是等量异号的，而且转移的也就是这部分电量现在（10）式可变为：（18）2121UC内注意， 是两极板内侧面上的电量，不是每个极板上的总电量，电容为每个极板内内Q侧面所带的电量与两极板间电势差之比由于两极板完全一样，根据对称性，有：（19）21C把（19）式代入（9）式可得：（20）21C当一个极板接地时， （3）式变为：（21）121UQ由（21）式和（2）式可得出：（22）12C将（22）式代入（20）式，最后得到：（23）1例 2：球电容器如图所示，内外球壳半径分别为 与 ，各带1R2电荷分别为 与 ，此时两球壳的电势差为：1Q2 )24(414212122RQRdrEdlUR用导线将内外球壳相连时，内球壳上的电荷将全部转移到外球壳的表面上，故转移的电量为：（25）1故（10）式此时可变为： )26(44/)(12 21121RRQUC显然， （26）式与普通物理书中的结果相同
