1、2009 年高考数学试题四川卷（文）全解全析一、选择题（51260 分）1、设集合 ， .则 Sx5Tx0)3(7TSA. 7 5 B. 3 5 xC. 5 3 D. 7 5 【答案】C【解析】 ， SxT 5 3 Tx2、函数 的反函数是)(1RyA. B. 0log2x )1(log2xyC. D. )(1y 【答案】C【解析】由 ，又因原函数的值域是 ，yxyx221 log1log2 0y其反函数是 )0(y3、等差数列 的公差不为零，首项 1， 是 和 的等比中项，则数列的前naa215a10 项之和是A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案】B【解析】设公差为 ，
2、则 . 0，解得 2， 100d)41()(2dd10S4、已知函数 ，下面结论错误的是sin)(RxxfA. 函数 的最小正周期为 2 B. 函数 在区间0， 上是增函)(xf2数C.函数 的图象关于直线 0 对称 D. 函数 是奇函数)(xfx)(f【答案】D【解析】 ，A、B、C 均正确，故错误的是 Dfcos)2sin()【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误。5、设矩形的长为 ，宽为 ，其比满足 ，这种矩形给人以美感，aba618.025称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.
3、628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值 0.618 比较，正确结论是A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【答案】A【解析】甲批次的平均数为 0.617，乙批次的平均数为 0.613【备考提示】用以上各数据与 0.618（或 0.6）的差进行计算，以减少计算量，说明多思则少算。6、如图，已知六棱锥 的底面是正六边形，ABCDEFP则下列结论正确的是PA2,平
4、 面A. BB. 平 面 平 面C. 直线 CPAE平 面D. 直线 所成的角为 45BD与 平 面【答案】D【解析】AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直，所以 A 不成立，又，平面 PAB平面 PAE，所以 也不成立；BCAD平面 PAD, 直线 也不PA平 面 C平 面BCPAE平 面成立。在 中，PAAD2AB，PDA45. D 正确Rt7、已知 ， ， ， 为实数，且 .则“ ”是“ ”的abcdcdabcbdA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】显然，充分性不成立.又，若 和 都成立，则同向不等式相加ccd得
5、ab即由“ ” “ ”cbdab8、已知双曲线 的左、右焦点分别是 、 ，其一条渐近线方程为)0(12yx 1F2，点y在双曲线上.则 ),3(0P1PF2A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【答案】C【解析】由渐近线方程为 知双曲线是等轴双曲线， 双曲线方程是 ，于xy 22yx是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0） ，且 或 .不妨去 ，则)1,3(P),()1,3(P，)1,3(1PF. 2PF201)3(),)(,( 9、如图，在半径为 3 的球面上有 三点， =90， ,CBA、 ABBC球心 O 到平面 的距离是 ，则 两点的球面距离是BC2、A. B. 3C. D.24【答
6、案】B【解析】AC 是小圆的直径。所以过球心 O 作小圆的垂线，垂足 O是 AC的中点。OC ，AC3 ，BC 3，即 BCOBOC。2)3(2BOC，则 两点的球面距离、 310、某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元【答案】D【解析】设生产甲产品
7、吨，生产乙产品 吨，则有关系：xyA 原料 B 原料甲产品 吨 3 x 2 x乙产品 吨y 3则有： 18320yx目标函数 z5作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：（3，4）（0，6）O （ ，0）1yx913当 3， 5 时可获得最大利润为 27 万元，故选 Dxy11、2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【答案】B【解析】解法一、从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A， （A 共有 种不同623C排法） ，剩下一名女生记作 B，两名男生
8、分别记作甲、乙；则男生甲必须在 A、B 之间（若甲在 A、B 两端。则为使 A、B 不相邻，只有把男生乙排在 A、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有 6212 种排法（A 左 B 右和 A 右 B 左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有 12448 种不同排法。解法二；同解法一，从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A， （A 共有种不同排法） ，剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不623C在两端可分三类情况：第一类：女生 A、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有 =24 种排法；26第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间
9、女生 B 和男生甲只有一种排法，此时共有 12 种排法26第三类：女生 B 和男生乙在两端，同样中间 “捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。此时共有 12 种排法2A三类之和为 24121248 种。12、已知函数 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 都有)(xf x，则 的值是1(fxf)25(fA. 0 B. C. 1 D. 125【答案】A【解析】若 0，则有 ，取 ，则有：x)()(xfxf2（ 是偶函数，则)1()()21()12() fffff )(xf）)(1(ff由此得 02于是，0)21(5)(2135)()23(5)(231)()25 fffffff200
10、9 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）第卷考生注意事项：请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在题中横线上13.抛物线 的焦点到准线的距离是 .2yx【答案】2【解析】焦点 （1，0） ，准线方程 ，焦点到准线的距离是 2F1x14. 的展开式的常数项是 （用数字作答）w.w.w.k.s.5.u.c.o.6()xm 【答案】20【解析】 ，令 ，得rrrrr xCxCT 2661 )1(2)( 0r3故展开式的常数项为 03615.如图，已知正三棱柱 的各条棱长都相等，
11、 是侧棱 的中1ABM1C点，则异面直线 所成的角的大小是 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1M和【答案】90【解析】作 BC 的中点 N，连接 AN，则 AN平面 BCC1B1，连接 B1N，则 B1N 是 AB1 在平面 BCC1B1 的射影，B 1NBM， AB 1BM. 即 异面直线 所成的角的大小是 90AM和16设 是已知平面 上所有向量的集合，对于映射 ，记 的象为VM:,fVa。若映射 满足：对所有 及任意实数 都有()fa:fab、 ，则 称为平面 上的线性变换。现有下列命题：()bafbf设 是平面 上的线性变换， ，则 f V、 ()()ffab若 是平面 上的
12、单位向量，对 ，则 是平面 上的线性变换；eM,ae设 M对 ，则 是平面 上的线性变换； ,()aVfa设 fM设 是平面 上的线性变换， ，则对任意实数 均有 。fMVk()(fakf其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）【答案】【解析】：令 ，则 故是真命题1)()(bfabf同理，：令 ，则 故是真命题0,k(kf： ，则有af)()是线性变换，)()()( bfafbabb 故是真命题：由 ，则有eaf)( ef)(ebfafebab )()() 是单位向量， 0，故是假命题e【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力
13、，具有选拔性质。三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分 12 分）在 中， 为锐角，角 所对的边分别为 ，且ABC、 ABC、 、 abc、 、510sin,si（I）求 的值；（II）若 ，求 的值。2ababc、 、【解析】 （I） 为锐角， AB、 510sin,siAB 2 2310co1i,cosinB52s()ssin .ABA 0 6 分4（II）由（I）知 ， 34C2sin由 得siniiabcAB，即5102,5ab又 ab 1 12 分2,5c18. （本小题满分 12 分）为振兴旅游业，四川省 2009 年
14、面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡） ，向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡） 。某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内34游客。在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 132（I）在该团中随机采访 2 名游客，求恰有 1 人持银卡的概率；（II）在该团中随机采访 2 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.【解析】I）由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持银卡.设事件 A 为“采访该团 2 人,
15、恰有 1 人持银卡”,则1630()7CP所以采访该团 2 人，恰有 1 人持银卡的概率是 . 6 分27（II）设事件 B 为“采访该团 2 人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为：事件 B1为“采访该团 2 人,持金卡 0 人，持银卡 0 人”,或事件 B2为“采访该团 2 人,持金卡 1 人，持银卡 1 人”两种情况，则 196234()()5CP所以采访该团 2 人，持金卡与持银卡人数相等的概率是 . 124105分19（本小题满分 12 分）如图，正方形 所在平面与平面四边形 所在平面互相垂直， 是等ABCDABEFABE腰直角三角形， ,45EF（I）求证： ；平 面（II）设
16、线段 、 的中点分别为 、 ，求证： CDAEPMPBCE平 面（III）求二面角 的大小。FB【解析】解法一：因为平面 ABEF平面 ABCD，BC 平面 ABCD，BCAB，平面 ABEF平面 ABCD=AB，所以 BC平面 ABEF.所以 BCEF.因为ABE 为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又因为AEF=45,所以FEB=90，即 EFBE.因为 BC 平面 ABCD, BE 平面 BCE,BCBE=B所以 EFBC平 面6 分（II）取 BE 的中点 N,连结 CN,MN,则 MN PC12AB PMNC 为平行四边形,所以 PMCN. CN 在平面 BCE 内,PM
17、 不在平面 BCE 内, PM平面 BCE. 8 分（III）由 EAAB,平面 ABEF平面 ABCD,易知 EA平面 ABCD.作 FGAB,交 BA 的延长线于 G,则 FGEA.从而 FG平面 ABCD,作 GHBD 于 H,连结 FH,则由三垂线定理知 BDFH. FHG 为二面角 F-BD-A 的平面角. FA=FE,AEF=45,AEF=90, FAG=45.设 AB=1,则 AE=1,AF= ,则21FGAsin2在 RtBGH 中, GBH=45,BG=AB+AG=1+ = ,3, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 32GHBsin4在 RtFGH 中, ,FGtaH
18、二面角 的大小为FBDA2arctn312 分 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法二: 因 等腰直角三角形， ，所以EEAB又因为平面 ，所以 平面 ，所以ABCDABEF平 面 EABCDAE即 两两垂直；如图建立空间直角坐标系,D、(I) 设 ，则 ，1 )0,1(,)0,1(),( ， ，45, 9F从而 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ）， （ 20F，)1,(E)0,1(),0(BCE于是 ，BF , F 平面 ， 平面 ，ECBCEB B平 面（II） ，从而)0,21(),0(PM)21,(M于是 04,EF ，又 平面 ，直线 不在平面 内，BCEPBCE故
19、平面（III）设平面 的一个法向量为 ，并设 （BD1n1),zyx)2,30(),1(F即1Bn1zyx取 ，则 ， ，从而 （1，1，3）yx3zn取平面 D 的一个法向量为A),0(2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1cos2121nn、故二面角 的大小为FBA3arcos20（本小题满分 12 分）已知函数 的图象在与 轴交点处的切线方程是 。32()fxbxx510yx（I）求函数 的解析式；()fx（II）设函数 ，若 的极值存在，求实数 的取值范围以及函数13gfmx()gm取得极值时对应的自变量 的值.()x【解析】 （I）由已知,切点为(2,0),故有 ,即 (2)0
20、f430bc又 ，由已知 得 2()34fxbxc185 7联立，解得 .1,所以函数的解析式为 4 分32()fxx（II）因为 321()gm令 2410x当函数有极值时，则 ，方程 有实数解，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 234103x由 ，得 .()m当 时， 有实数 ，在 左右两侧均有 ，故函数1(0gxx()0gx无极值()gx当 时， 有两个实数根m()x 121(),(),33xmxm情况如下表：(),x1(,)x112(,)x2x2()x()gx+ 0 - 0 + 极大值 极小值 所以在 时，函数 有极值；(,1)m()gx当 时， 有极大值；当 时， 有极小值；2
21、3x 1(2)3xm()gx12 分21. （本小题满分 12 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率 ，右21(0)xyab12F、 2e准线方程为 。2x（I）求椭圆的标准方程；（II）过点 的直线 与该椭圆交于 两点，且 ，求直线 的1FlMN、 2263FNl方程。【解析】 （I）由已知得 ，解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2ca2,1ac 21bac 所求椭圆的方程为 4 分2xy（II）由（I）得 、1(,0)F2(,)若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，由 得l l1x21xy2设 、 ，w.w.w.k.s.5.u.
22、c.o.m 2(1,)M2(1,)N ，这与已知相矛盾。2(,)(,)(4,0)F若直线 的斜率存在，设直线直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，l lkl(1)ykx设 、 ，1(,)Mxy2(,)Ny联立 ，消元得2ky22(1)40kxk ，221214,kxxk ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12122()y又 ,(1,)FMxyFNxy 2122( 222221186()()13 kkFMNxy化简得 420370k解得 21或 (舍 去 ) 所求直线 的方程为 12 分l1或yxx22. （本小题满分 14 分）设数列 的前 项和为 ，对任意的正整数 ，都有 成立，记n
23、anSn51naS。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m *4()1nnbN（I）求数列 与数列 的通项公式；anb（II）设数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，使得 成立？若存在，找nRk4nRk出一个正整数 ；若不存在，请说明理由；k（III）记 ，设数列 的前 项和为 ，求证：对任意正整数*21()nncbNncnT都有 ；3T【解析】 （I）当 时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 115,4aSa又 5,nnaS11,4即nnna数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，na114q ， 3 分()4nn *()4)nbN（II）不存在正整数 ，使得 成立。knRk证明：由
24、（I）知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 14()5(4)1n nnb212125520156408888.(4)()1614() kkkkkkb当 n 为偶数时，设 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()nmN 123421()()84mRbbbn当 n 为奇数时，设 () 12342321()()()84mmmn对于一切的正整数 n，都有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m nRk不存在正整数 ，使得 成立。 8 分k（III）由 得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 54()1nnb21221 22516156156()4()34()nnnnnnnnc又 ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12234,bc当 时， ，n1T当 时，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2223 21()41465()531663931486nn n 14 分
