1、1微分动力系统的应用( 一)- 竞争模型设在一个池塘里饲养两种食用鱼：鳟鱼和鲈鱼. 设它们在时刻 t 的尾数分别是 x(t)和 y(t). 假定鳟鱼的尾数 x(t)的增长速度正比于鳟鱼尾数 x(t), 增长率为 k; 即. (1)kxtd由于鲈鱼的存在而争夺食物、减小了鳟鱼的增长率. 鲈鱼越多，鳟鱼的增长率越小，可设鳟鱼的增长率 k = a by, 其中a0, b0 是常数. 因此我们可以写出如下的描述鳟鱼尾数的微分方程:, , . (2)xbyatx)(d0y同理由于鳟鱼的存在而争夺食物、减小了鲈鱼的增长率. 我们可得到描述鲈鱼尾数的微分方程:, (3)ynxmty)(d其中 m0, n0
2、是常数.当鳟鱼的尾数 x(t) m/n, 鲈鱼的尾数 y(t)a/b 时, 由方程 (3)可见鲈鱼的尾数 y 将增加, 由方程 (2)可见鳟鱼尾数 x(t)将减少. 现在的问题是: 设在 t=0 时鳟鱼和鲈鱼的初值分别是 x0 和 y0尾, 要研究这两种鱼的增长情况. 是否存在 x00 和 y00, 使得这两种鱼能够和平共处, 长期共存呢? 首先可见方程组 (2), (3)有常数解2. (4)baynmx,因此在 t=0 时鳟鱼 x0=m/n, 和鲈鱼 y0=a/b 尾时, 由方程可见鳟鱼和鲈鱼的增长速度是零, 所以鳟鱼和鲈鱼的尾数保持不变. 那么这种状态是否是稳定的呢? 就是说, 若鱼的尾数
3、由于某种原因稍有变化, 这两种鱼是否还能和平共处, 长期共存呢?由常微分方程的理论, 我们知道 (m/n, a/b) 是方程组的奇点, 我们只要分析这个奇点的稳定性就行了.方程组(2),(3) 的向量场的 Jacobi 矩阵在奇点(m/n, a/b)的值是(5)0bnamxmnybaJJ 的两个特征值为 , 因此奇点是鞍点, 鞍点是不稳定的. 所以若鱼的尾数由于某种原因稍有变化, 这两种鱼的尾数将有大的变化. 方程组(2), (3) 还有一个奇点 (0, 0), 向量场的 Jacobi 矩阵在奇点(0, 0)的值是(6)manxybaJ0J 的两个特征值为 a0, m0, 因此奇点(0, 0)
4、 是不稳定的结点. 在奇点(0, 0) 附近的轨线当时间 t 增大时都离开奇点 (0,0). 另外方程组 (2), (3) 有两条半直线轨道:(1): x=0, y0, 对应的轨线是 , 表示鲈鱼的尾数呈mtye0指数增长.(2): y=0, x0, 对应的轨线是 , 表示鳟鱼的尾数呈atxe03指数增长.由于奇点(m/n, a/b)是鞍点, 当 t 趋向无穷大时 , 有两条轨道从相反的方向趋向鞍点, 另有两条轨道从鞍点出发以相反的方向离开鞍点. 这四条轨道称为鞍点的分界线, 研究这些分界线的走向以及方程组的结点(0,0)的性质, 其余轨道的大致走向也就清楚了. 要知道对于一般的初值 鳟鱼和鲈
5、鱼的尾数是怎)0,(,(0yx样变化的, 最终是鳟鱼还是鲈鱼生存下来呢? 就要解出微分方程组(2), (3). 将方程组 (2), (3) 消去 dt, 化为如下一阶常微分方程:, (6)yxbaynxmd)(d)(6)式是一个变量分离方程, 除了零解 (x=0, y=0) 和半直线轨道外, 可分离变量得, (7)ybaxnd)()(从 到 对(7)式作定积分得到过 的积分)0,(,(0yx),y )0,(,(0yx曲线:. (8)(ln)(ln0000 ybaxm对(8) 式取指数化为形式:, (9)nxmbyaKe(9)式中的 K 是常数:. (10)0e0nxbyma4对于鞍点的分界线,
6、 因它们趋向及离开鞍点, 所以分界线方程的K 应由(10)式中 取为鞍点: )(0yx, (12)baynm0,而得到. 这时(10)式的 K 值为. (13)mabe记, .byafe)( nxmge)(由微分法可知 是单峰函数, 在鞍点的纵坐标 时取得最y bay/大值, 在 和 时取得最小值零. 在区间0, a/b上 f(y) 从0零严格单调增加到最大值; 在无穷区间 y a/b 上 f(y)严格单调减少趋向零. 同理 是单峰函数, 在鞍点的横坐标 时取)(xg nmx/得最大值, 在 时和 时取得最小值零. 在区间0, m/n 上0g(x) 从零严格单调增加到最大值, 在无穷区间 x
7、m/n 上 g(x)严格单调减少趋向零. 根据以上事实, 可以由分界线方程(9), (13)得出鞍点的四条分界线(红色和蓝色的线)并且根据方程组(2),(3)得出分界线的走向如下示意图: (四条分界线共同的端点是鞍点 (m/n,a/b).5yx其中 x 轴和 y 轴分别是两条分界线(用蓝色表示)的渐近线, 红色的一条分界线从结点走向鞍点, 红色的另一条分界线当 t 趋向负无穷大时趋向无穷远. 于是其他轨道的走向(用黑色表示) 也就知道了. 从图可见, 分界线将第一象限分成四个区域, 当初始点(x 0,y0)位于这四个区域之一时, 当时间趋向无穷大时, x(t)和 y(t)中总有一个趋向零, 而
8、另一个趋向无穷大. 具体而言, 当初始点落在红线下方时, 最终只有鳟鱼 x 生存, 当初始点落在红线上方时, 最终只有鲈鱼 y生存. 初始点落在红线上时, 轨道趋向鞍点, 而鞍点和结点是不稳定的, 所以不管怎样, 实际上只有一个能够生存.这说明了对于竞争模型, 不同的物种是有排他性的, 这称为竞争排他原理.6微分动力系统的应用 (二)捕食模型在生物界除了两个物种之间的竞争性以外, 还有一种是捕食与被捕食的关系. 例如在南极海洋中生活的鬚鲸和南极虾就是这种关系. 设南极虾的数量是 x(t), 鲸的数量是 y(t), 鬚鲸以南极虾为主食, 没有了南极虾, 鬚鲸的数量将指数式地下降: , 是常数.
9、（1）mytd0但有了南极虾 x(t)时 , 鬚鲸的数量的变化关系（ 1）要改为:, 是常数. (2)ynxt)(n而南极虾被鬚鲸捕食, 它的数量的变化服从以下关系:, . 是常数. (3)xbyat)(d0b我们同样可以通过研究方程组(2),(3)的轨道来讨论鬚鲸与南极虾数量的变化规律.首先方程组有两个奇点: (0,0), (m/n, a/b). 方程组(2),(3) 的向量场的 Jacobi 矩阵在奇点(m/n, a/b)的值是(4)0bnamxnybaJJ 的两个特征值为纯虚数 , 因为（2） ， （3）是非线性i方程, 单凭特征值是纯虚数只能判定奇点是焦点型(即焦点或中心) 的 , 不
10、能确定焦点型的奇点是否是中心.向量场的 Jacobi 矩阵在奇点(0, 0)的值是(5)manxybaJ0J 的两个特征值为 a0, -m0, 对应的轨线是 , 表示没有了南极mtye0虾，鬚鲸数呈指数减少.(2): y=0, x0, 对应的轨线是 , 表示没有了鬚鲸，atxe0南极虾数呈指数增长.将方程组 (2), (3) 消去 dt, 化为如下一阶常微分方程:, (6)yxbaymnxd)(d)(6)式是一个变量分离方程, 除了零解 (x=0, y=0) 和半直线轨道外, 可分离变量得, (7)ybaxnd)()(从 到 对(7)式作定积分得到过 的积分)0,(,(0yx),y )0,(,
11、(0yx曲线:. (8)(ln)(ln0000 ybaxm对(8) 式取指数化为形式:, (9)Kxynmbae(9)式中的 K 是常数:. (10)0e0nxbyma记, . (11)byafe)( nxmge)(由微分法可知 是单峰函数, 在焦点的纵坐标 时取f bay/8得最大值, 在 和 时取得最小值零. 在区间0, a/b上 f(y) 0y从零严格单调增加到最大值, 在无穷区间 y a/b 上 f(y)严格单调减少而趋向零. 同理, 是单峰函数, 在焦点的横坐标)(xg时取得最大值, 在 时和 时取得最小值零. 在区nmx/0间0, m/n上 g(x) 从零严格单调增加到最大值, 在无穷区间 x m/n 上 g(x)严格单调减少而趋向零. 因此（9）式中的 K 必须满足不等式：. (12)0:e0KnbmaKa通过以上事实容易知道, 当(9)式中的 K 在(0, K 0)中取值时, 对应的轨道是一个包围焦点型奇点(m/n,a/b)的闭轨. 因此, 本方程组的奇点(m/n,a/b)是中心. 在第一象限内中心的周围充满着包围中心的闭轨. 这说明了当初始值 x0, y0 都大于零时, 鬚鲸与南极虾都不会灭绝, 而且它们的数量呈周期性变化. 参见下图:yx
