1、暨南大学 20052007 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（高等代数）2005 年1、 （20）设 是大于 1 的整数， ，m12().mfx证明： 整除 的充要条件是 c=-m()fx()fc2、 (20)设 阶行列式 ，n2os10002cos02cos1nD（1） 当 时， 为整数，计算2kn（2） 当 时， 为整数，证明si(1)nD3、 (15)下列线性方程组的系数行列式 ， 的某个元素 的代数余子式 ，0ija0ijA1212120()nnnaxxa 证明：这个方程组的解都可以写成 的形式， 为任意数.(,)iiikAk k4、(20) 设 ， 是两个 级方阵，证明： 与 有
2、相同的特征多项式ABB5、(20) 将下列二次型化为标准形，并写出所用的满秩的线性替换.2212313132(,)548fxxxx6、(15) 设 表示向量 , , 生成的实向量空间 的子123(,)L(,0)2(0,)(,649)4R空间，把 的一个基底扩充成 的一个基.4R7、(20) 设 是实向量空间 的线性变换，对任意向量 ,3 ()xyz.求 的特征根与特征向量.(),)(2,3)xyzzxy8、(20) 设 是 维线性空间 的线性变换，且 的值域与 的核重合，证明：nV（1） 是偶数；（2）如何选取 的基，才能使 在这个基下的矩阵是若尔当（ ）标准形，并写出这个标准形.Jordn2
3、006 年一、 选择题(每小题 5 分)1、用多项式 除多项式 所得的余式 （ ）2)31gx42(56fxx()rx.49.4991.abcde 前 面 的 答 案 均 不 对2、如果 是一个非零多项式，且 , ,则 一定有因子：（ ）()x()0g(2)0g()gx2.716. .cxe前 面 的 答 案 均 不 对3、如果行列式 的第一行第一列元素 的代数余子式 ，则 （ ）.03aDxa14Ax.72.6.abcde前 面 的 答 案 均 不 对4、由行列式定义的 的多项式 的最高项系数是（ ）.x21()3xf.7.2.8.6.abcde前 面 的 答 案 均 不 对5、如果齐次线性
4、方程组 只有零解，则（ ）.1213412334124340aax123124334123. 57aaxa线 性 方 程 组 无 解 ； 14121232334440. 9aaxb线 性 方 程 组 有 无 穷 解 ；1213124334123. 8aaxc线 性 方 程 组 有 唯 一 一 组 解 ；1213412334124340.aaxd线 性 方 程 组 有 两 组 不 同 的 解 ；.e前 面 的 答 案 均 不 对6、如果向量组 是线性无关组，则（ ）也是线性无关组.123,1211211231., ., ,abc3,de前 面 的 答 案 均 不 对7、一个矩阵的对角线上方元素全
5、为零，称为下三角矩阵，则（ ）.任意两个同阶下三角方阵的乘积不再是下三角矩阵；.a任意两个同阶下三角方阵的乘积一定是对角矩阵；b任意两个同阶下三角方阵的乘积一定不可逆；c任意两个同阶下三角方阵的乘积一定可逆；.d前面的答案均不对.e8、设 和 均是实数域 上的同一个向量空间 的基，从基12,n 12,n RV到 的过渡矩阵为 ，即 ，向量空间 中的向量 关于基12,n 12,n A1122nn的坐标为 ，即 ，则向量 关于基 的12,n 12,ny（ ） 1212,ny 12,n坐标为（ ） 1 12121212.,.,.,.,nn n nayAbyAcyAdy （ ） （ ） （ ） （ ）
6、e前 面 的 答 案 均 不 对9、三元二次型 可能的规范型是：（ 22212313121323(,)fxaxaxaxx） 2222222222131313131313,.,aybyycyyy2221, 0d e， ， 前 面 的 答 案 均 不 对10、当（ ）时，二次型 正定.21331232(,)54fxxtxx4444.(,0).(,0)(,1.(,0)(,.(,0)(1,25555atbtctdt.e前 面 的 答 案 均 不 对11、( )是实数域上次数不超过 3 次的多项式作成的向量空间的一组基 .3 3.1,.1,2,.1,(),1(2)1,9,axbxcxxdxx.e前 面
7、的 答 案 均 不 对12、若尔当矩阵 满足 的充要条件是（ ）.0100nA 0nA.0abcde前 面 的 答 案 均 不 对13、区间 上所有实函数全体按实数与函数的乘法和函数与函数的加法作成实数域上一个向量空间，该,1空间是（ ） . . abcde无 限 维 向 量 空 间 有 限 维 向 量 空 间 分 数 维 向 量 空 间 三 维 向 量 空 间 前 面 的 答 案 均 不 对14、如果 是 阶实矩阵， 是 的特征多项式，则（ ）.An()fEA.()0.()1().ffcdfe可 逆 是 对 特 征 值 前 面 的 答 案 均 不 对15、区间 上所有可微实函数全体按实数与函
8、数的乘法和函数与函数的加法作成实数域上的一个向量空,1间，由 生成的子空间关于微分变换 是（ 221sin,co,sin,cos,in,cosxxxxxxeeee D）. . .abd其 核 空 间 其 象 空 间 不 变 子 空 间 其 核 空 间 的 正 交 补 空 间 前 面 的 答 案 均 不 对16、矩阵 的初等因子是（ ）.126034A32323(1).,(1).,(1).,(1),.abcde前 面 的 答 案 均 不 对17、设 ， 都是 维 欧氏空间 中给定的非零行向量， 是 阶2,nuu 2,nvv nREn单位矩阵.令 ，则矩阵 （ ）.12 1,2,;0nni iVx
9、xRux AEvu. . .abc有 特 征 值 且 其 特 征 子 空 间 为 V有 特 征 值 且 其 特 征 子 空 间 为 V有 特 征 值 且 其 特 征 子 空 间 为 Vvude有 特 征 值 且 其 特 征 子 空 间 为 前 面 的 答 案 均 不 对18、如果 是实正交矩阵 的实特征值，则（ ）Q.11,.cosin.abcde前 面 的 答 案 均 不 对19 实数域上两个有限维向量空间同构的充要条件是（ ） .de它 们 有 相 同 的 维 数 它 们 有 不 同 的 维 数 它 们 有 相 同 的 基 它 们 为 相 同 的 向 量 空 间 前 面 的 答 案 均 不
10、 对20、如果 是欧氏空间 的一组标准正交基,则（ ）是 的正交补空间12,n V1WkV的一组基。W 1211212123.,.,.,.,nniinnabcd e前 面 的 答 案 均 不 对二、 在下列题目中选做 5 题.（每题 10 分）1、 设多项式 .证明： 是有理数域上的不可约多项式.2061()()kfxx()fx2、 求多项式 的重根.4329f 3、 设 是主对角线上元素全为 2 而邻近主对角线的上下两条对角线上12001,0201nA 元素全为 1、其余全为零的 阶矩阵的行列式，试导出 、 、 的递推关系，并由此得出(2)nnA12n的计算公式.nA4、 设矩阵 ，即 为上
11、次对角线上元素全为 1，最后一行元素依1221010000nnAaaa A次为 的 阶矩阵，试证明 的特征多项式121, ()A，其中 是 阶单位矩阵.1()() )nnnnAEpaa En5、 对参数 的不同取值，讨论下面方程组的可解性，在可解时求出其解的一般公式. 312243()x设 是实正交矩阵，且特征值全为实数.证明： 是对称矩阵.AA6、 设 ，证明：对一切自然数 成立 ，其中 是 2 阶单012n12()2(1)3nnnnE位矩阵.7、 设 是 阶实对称矩阵，其特征值中最大者是 ，最小者是 。由 定义的二次型为An1nA121212(,)(,)nxfxx 证明： 元函数在 维单位
12、球面 上的最大值是 ，最小值是 .n 2121(,)nniSxRx 1n8、 如果 是实数域上的一个有限维欧氏空间，而 是 是的一个保持内积不变的变换，即对任意VAV， .,(,)(,A证明： 是欧氏空间 上的线性变换.10、若 、 是实数域上向量空间 的两个线性变换，且具有关系 ，其中 是 的恒等变换.BVABEV证明：对一切大于 1 的自然数 成立 .n1nnAB2007 年一、判断下列命题的正误.（每小题 3，共 30）1、如果 是实数域 上的次数不小于 1 的多项式，则 是实数域 上的不可约多项式的充要条件是：()fxR()fxR“对实数域 上任意两个多项式 ，只要 ，必有 或 ”.（
13、 (),gxhgh()fxg()fxh）2、如果 ，则全体 级排列中奇、偶排列总数均为 . （ kk!2k）3、如果一个 元齐次线性方程组中每个方程的未知数系数之和全为 0，则该方程组有非零解. （ n）4、如果 维行向量组 线性无关且能由 维行向量组 线性表示，则向量组12,n n12,n线性无关. （ 12,n）5、一个 阶实方阵可逆的充要条件是：该矩阵的列向量全体构成 维列向量空间 的一个基. （ nnR）6、两个实二次型 合同当且仅当它们对应的实对称矩阵 均与对角矩阵合同 (),()fXAgXB ,AB（ ） 7、如果 是实数域 上的 8 维线性空间，则 有无限组两两互异的基. （ V
14、RV）8、如果 是实数域 上的有限维线性空间，则 的与全体可逆线性变换可以交换的线性变换是数乘变换.（ ）9、一个 的 矩阵 可逆的充要条件是：“行列式 是一个非 0 常数”. （ n()A()A）10、如果 是 维线性空间 的一个线性变换，则 是正交变换的充要条件是：“ 变 的某组基为标准VV正交基”. （ ）二、在每个题后给出的 5 个答案中选择一个正确的答案填空，将其前的字母填写在答题纸上：（每小题 4,共 40）1、多项式 有重根的条件是：（ ）3()gxpq3223222.47.470.740.47.apqbcpqdqpe前 面 的 答 案 均 不 对2、设 为自然数，由行列式定义的
15、多项式 的最高次项系数为：n1221133()1knkknkxxPllln （ ） 21111.()(!).(2)!.(!.()!.nnnniabcde前 面 的 答 案 均 不 对3、设 是非齐次线性方程组 的三个两两互异的解向量，而 是对应齐次线性方12,3AXb12,n程组 的一个基础解系，则非齐次线性方程组 的通解形式之一为：（ ）0AX b，其中 是任意常数；1231.siac12,sc，其中 是任意常数；1231.sib12,s，其中 是任意常数；1231.5sicc12,sc，其中 是任意常数；1231.sid12,s.e前 面 的 答 案 均 不 对4、设 是 阶方阵且 ， 是
16、 阶单位矩阵，则 可逆且其逆矩阵为：（ ）An30EnEA222.aEbcAde前 面 的 答 案 均 不 对5、如果 元二次型 的负惯性指数为 ，则二次型 （ 12(,)nfx n1212(,)(,)nngxfx ） .abcde负 定 半 负 定 半 正 定 正 定 前 面 的 答 案 均 不 对6、如果 是实数域 上向量空间 的两个子空间，则 为直和的充要条件是：（ ）12,WRV12W1212112212.0.dim()di().im()di()abc e前 面 的 答 案 均 不 对7、设 3 维向量空间 上的线性变换 在基 下的矩阵为 ，则 在基 下的V123,13223a231,
17、矩阵为：（ ）.1213132112311312223 3 3aaaabcd.e前 面 的 答 案 均 不 对8、 的不变因子由低次到高次依次为（ ）.22310()A2222321,.,1.1, .1,.abcde前 面 的 答 案 均 不 对9、与 4 维行向量空间 正交的 4 维单位行向量是：（ ）(,),()(,).(,031).4,013.0,31.(0,13).26262626abcde前 面 的 答 案 均 不 对10、如果设 是 维实数域上线性空间 的一个线性变换，则 可逆的充要条件是（ ）.(nV.()0.dim().ker()()0aVbncVdimker.前 面 的 答
18、案 均 不 对三、 解决下列各题.(每小题 12，共 60)1、 设 是方程 的 3 个根，计算23,328470x的值.221313()()()2、 线性方程组 是否有解？若有解，是否有唯一解？若解不唯一，试求其一412364xx个特解和对应齐次线性方程组的一个基础解系.3、 设 ，试求 的可交换的 3 阶实方阵全体组成的线性空间的一组基和维数01AA4、 试计算二次型 的规范型和对应的坐标变换.1231232(,)fxxx5、 设 是主对角线元素全为 1 而其它非对角元素为 2 的 阶矩阵，即A (1)n122A 问 是否可以对角化？若可以对角化，求可逆矩阵 及对角矩阵 使 .APB1PA
19、四、 在下列 5 道题目中选做 2 道.(每题 10，共 20)1、 设 为不小于 3 的素数，证明：多项式 在有理数域上不可约.p 1()pkfx2、 设 都是 阶方阵， ，则 .,ABCDn0B1(1)nABCDA3、 设 是实数域 上的 维线性空间， 均是自然数，且 ，给定 的 个 维空间 ，VR,msmVsmiV1,2.is则存在 的 维子空间 使得：对 均成立nmW1,2.is iW4、 设 是 维欧氏空间 上的线性变换， 是欧氏空间 中的一个单位向量，定义 上的镜面反射 如VVV下 ,()2(,)V（1） 设 是欧氏空间 的两个互异的单位向量，证明：存在 上的镜面反射 使得 ； ()（2） 证明： 是欧氏空间 上的正交变换的充要条件是：存在欧氏空间 上的 个镜面反射VVmn使得 ，其中 表示映射的复合运算.1,m 121m 5、 证明：对任何自然数 ，存在 2007 阶主对角元全为 1、主对角线上方的各次对角线上元素完全相同的实n上三角矩阵 使 为 2007 阶对角元全为 1、主对角线上方的各次对角线上元素完全相同且从下到上依A次为连续自然数 的上三角矩阵，即存在实数 使：2,34,07 234207,a256207521 56070 0151 120000naaAAa 满 足 ：
