1、几何画板与数学教学的整合随着现代教育技术的不断发展和教育观念的不断更新，计算机辅助教学进入课堂普及越来越广。数学教学借助多媒体辅助课件和传统的教学方法有机的结合，对学生掌握基本概念、与规律有很大的帮助。目前，制作数学课件所使用的软件平台很多，其中几何画板软件作为电子尺规，能动态地观察几何图形运动状态，它引入数学的教学为学生学习数学知识提供支持，是一个提高教学效率和教学质量的有力工具。一、几何画板的特点几何画板是一个适用于几何教学的软件，它给人们提供了一个观察几何图形的内在关系，探索几何图形奥妙的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，构造出
2、其它较为复杂的图形。 和其他同类软件相比，几何画板有如下几个优势，使得他成为数学中的强有力的工具。1.动态性。用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变。举个简单的例子。我们可以先在画板上任取三个点，然后用线段把它们连起来。这时，我们就可以拉动其中的一个点，同时图形的形状就会发行变化，但仍然保持是三角形。再进一步，我们还可以分别构造出三条形的三条中线。这时再拉动其中任一点时，三角形的形状同样会发生变化，但三条中线的性质永远保持不变。这样我们就可以在图形的变化中观察到不变的规律：任意三角形的三条中线交于一点。2.形象性。上课时，当老师说“在平
3、面上任取一点”时，在黑板上画出的点却永远是固定的。所谓“任意一点”在许多时候只不过是出现在老师自己的头脑中而已。而几何画板就可以让“任意一点”随意运动，使它更容易为学生所理解。所以，可以把几何画板看成是一块“动态的黑板”。几何画板的这种特性有助于帮助学生在图形的变化中把握不变的几何规律，深入几何的精髓。这是其它教学手段所不可能做到的，真正体现了计算机的优势。3.操作简单。一切操作都只靠工具栏和菜单实现，而无需编制任何程序。在几何画板中，一切都要借助于几何关系来表现，因此用它设计软件最关键的是“把握几何关系”，而这正是老师们所擅长的；但同时这也是它的局限性：它只适用于能够用几何模型来描述的内容。
4、 4.开发软件的速度非常快。一般来说，如果有设计思路的话，操作较为熟练的老师开发一个难度适中的软件只需 5-10 分钟。二、几何画板在数学教学中的作用1、创造良好的数学情景传统的数学教学，教师考虑的是如何讲好这节课涉及的概念或规律。而计算机辅助数学，教师考虑的是如何给学生设计一个初步的情景。两者却有很大的区别，前者，学生的学习是比较被动的状态，而后者提供提供学生的信息则是一个生动、形象的书学数学情景，能展开学生的思维，领略数学世界的奥秘。例如，在我们学校信息技术与学科整合大赛中，我校老师用几何画板作为一个软件，在讲“概率”的问题时，遇到的一个转盘游戏的问题，教师利用几何画板作了两个转盘让学生不
5、只是在凭空想象而是亲自动手实验得到规律。这样，对学生的数学学习来说给学生提供了丰富的数学学习背景。2、结合优秀的平台软件，发挥各自的优点几何画板可以把动态的数学问题揭示得淋漓尽致，但其演示的交互功能与其他的多媒体工具软件比较起来则相对逊色许多。为了发挥各自的长处、弥补对方的不足，我们可以用其它软件作为主运行平台，交替使用。计算机教学软件几何画板引入数学课堂的教学，通过创设数学教学情景和改善认知环境，借助多媒体软件平台演示教学内容，能增强师生之间的交流和学生自主探究学习，提高学生信息获取意识和信息处理能力，使学生从被动的接受者转变为主动参与的学习主题，突出学生个体在课程教学过程中的地位。这样既实
6、现了真正意义上的“教育平等”，又能大大提高课堂教学效率。几何画板与数学教学整合的实践与思考陶维林（南京师范大学附属中学，江苏 南京 210003）陶维 林，中学数学特级教师，教授级高级教师。从事中学数学教学工作三十余年，在各级中学数学刊物上发表文章 70 余篇。近十年来尤其关注计算机与数学教学整合的研究，编著几何画板实 用范例教程用几何画板教平面解析几何由清华大学出版社出版，并被审定为全国中小学教师继续教育教材。参加人民教育出版社“高中数学教材与信息技术整合的研究”课题研究及教材编写，是普通高中课程标准实验教科书数学（A 版）的主要编写人员之一。几何画板（The Geometers Sketc
7、hpad）由美国 Key Curriculum Press 发行，是一个十分优秀的教育软件。 3.05 版在 1995 年由人民教育出版社引入我国并汉化。几何画板学习容易、操作简单、功能强大，成为广大中学数学教师进行信息技术与数学教学整合的首选软件已经是不争的事实。本文仅就几何画板与数学教学整合问题谈一些做法与体会。一、在变化中探究规律几何画板的最大特色是动态性，能在变动的状态下揭示不变的数学关系，这为学生提供了“探究式”学习的机会。我曾提出一个简单而有趣的问题让学生探究：ABC 的边 BC 固定，点 A 在定圆上运动，它的外心轨迹是什么？有的猜是圆，有的猜是线段。用几何画板实验发现是线段（图
8、 1）。猜中的学生很高兴。可是，当把点 B 拖入圆内时，外心 M 的轨迹成为直线。是呀，边 BC 固定并没有说固定在哪里呀。没有人再敢说话。忽然一个学生顿悟：噢，我知道了，把点 B、C 都拖入圆内时，轨迹是射线。我问他为什么，他说：线段、直线都有了，还缺射线呀！当把点 B、C都拖入圆内时，M 的轨迹确实成为射线。这样的结论似乎已经很完美了，但是，即使点 B、C 在圆外，当 BC 与圆相交时外心的轨迹也可能是射线。华罗庚说过，形缺数时难入微，要真正弄清楚这个问题需要坐标法，解析化。这成为课后学生的研究性课题，没有一个学生不是积极热情地去研究解决的。后来我们召开了一次汇报会，情景之热烈，交流、讨论
9、之深入限于篇幅恕不赘述。由于几何画板这一信息技术工具可以瞬间动态改变题设条件，软件及时显示实验结果，学生可以在操作中观察，在观察中思考，在思考中探究。二、创设情境，激发兴趣学习需要兴趣，兴趣是最好的老师。数学抽象往往显得枯燥，怎样使得数学教学变得生动有趣，是需要我们教师认真研究的。上课伊始，我用几何画板提出了这样一个问题：如图 2，A 是圆 O 内一定点，B 是圆上的动点，当点B 在圆上运动时，线段 BC 的垂直平分线 l 围成一个椭圆，那么直线 l 上哪个点在这个椭圆上呢？动态的演示首先使得学生感到问题非常有趣，解决的热情很高。有的学生猜想是点 C。重新跟踪点 C 发现点 C 的轨迹是一个圆
10、。再实验、再观察。有一些学生开始发现，需要画半径 OB，作出 OB 与 l 的交点 M，点 M 在这个椭圆上（图 3）。为什么点 M 的轨迹是一个椭圆呢？他们运用刚学习过的椭圆的定义准确地做了解释。类似的例子还有许多。再比如，如图 4，每一个正方形的每一个顶点分所在边的比都相等，当点 E 在边 AB 上运动时，形成的图形美丽有趣。跟踪边 EF 上的分点 M 形成一条曲线。许多学生认为它是一段圆弧，实验结果表明不对。那么请求出它的方程。建构主义的教学理论，不仅强调对教学任务的分析，更强调学习情境的创设。用几何画板创设的情境改善了认知环境，引发学生的求知欲望，促进对所学内容的意义建构，达到了提高教
11、学效果的目的。三、多元联系，认识数学概念直线的倾斜角、直线的斜率都是用来刻画直线的倾斜程度的，因此应该努力揭示它们之间的内在联系。借助几何画板所提供的“多元联系表示”的环境，有助于加深对这些概念的理解，而传统的教学工具就很难做到这一点。图 5 中呈现的有：直线 l 的倾斜角 AOP，它的大小以及范围；斜率 k 的大小以及所对应的有向线段HM；函数 ytan x（ x0 ，）的图象；倾斜角的大小与斜率 k 对应关系的表格。借助这个系统，可以帮助学生认清它们之间的关系，并学会借助这样的系统来解决问题， 比如， 已知直线的斜率满足k1，求倾斜角 的范围，借助它很容易找出答案： 0， ）（ ，）。再比
12、如，直线在平面上绕一点转动时斜率如何变化也是一个容易出错的问题。利用这个系统就可以把它们的变动情况以及数量关系都显示在屏幕上，动态改变直线 l 的位置，稍加观察，学生就会发现：当直线绕定点逆时针旋转（倾斜角90）时，斜率总是在增大。“多元联系表示”可以组合不同表示法中蕴含的信息，帮助学生在把握数学对象不同方面特征的基础上，建立数学对象之间的联系，并认识其本质特征。它的基本思想就是使用多种方法表示同一数学概念，不同的表示法侧重于不同方法，引导学生有意义地把这些信息组合起来，在不同方面建立起对概念的认识，从而全面、深刻地理解数学概念。几何画板以动态组合的方式灵活地向学生提供了图形、表格、数字、文字
13、等概念的不同表示方法，把隐藏的数学关系显性化，提供了探索数学规律，发现数学本质的情境。四、恰当运用，培养思维能力有人担心，几何画板尽管可以促进学生的形象思维，但对培养其他思维能力不利。当然，几何画板只是一个教学工具，采用何种教学手段以及选择什么样的教学方法应该服从教学目的。实践表明，只要把握好使用的 “度”，做到恰到好处，同样可以促进其他思维能力的发展。比如，在本文的第一个例子中，要真正弄清楚点 M 的轨迹是什么，就需要代数化，就要抽象思维，显得枯燥。可是，几何画板使得枯燥的问题有趣起来，起了“以形助数”的作用，使得学生从情感上乐于接受、研究这样的抽象问题，实现了数学教学的目的，增强了教学效果
14、。利用几何画板的动态图形功能，可以随时把问题开放，改变问题的条件，观察结论所发生的变化，从而启发学生思维，培养思维能力。例如，P 是ABC 内部任意一点，直线 AP、BP、CP 分别与BC、 CA、AB 交于 D、E、F， EF 交 AD 于 H，求证 。我让学生把点 P 拖到ABC 的外部再观察，结果发现屏幕上显示的 与 的值仍然相等（图 6）。这就是说，题设中“内部”这一条件不是必要的。那么结论成立的充分必要条件是什么呢？学生陷入深深的思索之中。有的说，点 P 在任何位置都成立；有的说，点 P 不能在直线 AB、AC 上课堂上非常热闹。我提示他们，把点 P 拖到使 AP 平行于 BC 的位
15、置时停下，学生发现，显示 的数值不见了。一个学生惊叫起来：噢，点 D 不存在了！再把点 P 拖动到点A 的上方，他们发现： 与 的值并不相等，结论不成立了。经过大家热烈的讨论，终于得出了问题的结果。在这一过程中，学生体验到思维必须严谨。再比如，为了认识函数 yax（a0，b0），如图 7，拖动点 B 动态改变 b（点 B 的纵坐标）的值，让学生观察图象位置的变化并说明理由，不要把点 B 往 x 轴下方拖动使得 b 成为负数。让学生想一想，b 是负数时图象位于哪里，有些什么性质，你能否徒手画一画（需要了解函数的某些性质，把握图象的主要特征）等，把图形的演示作为对猜想的验证，这个过程是需要抽象思维
16、能力的。初学立体几何，有的学生受平面思维习惯的影响，很难把一个平面图形所表示的三维位置关系想象出来，空间想象能力的形成成为教学中的一个难点。几何画板动态的图形演示产生众多画面的变换，给学生带来视觉感受，使他们在大脑中形成图形空间变化的印象，逐渐形成空间想象能力。一个老教授形象地称这个动态演示的图形为“二维半”，这个“二维半”成为学生思维从二维走向三维的拐杖或台阶。五、让学生利用几何画板学习笔者 1996 年开始把几何画板运用于数学教学，注重让教师用几何画板教数学，更注重让学生掌握几何画板，用几何画板学数学。笔者目前以为，信息技术与数学教学整合的理想状态是，让学生掌握信息技术，用把信息技术与内容
17、整合在一起的数学教材来学习数学。人民教育出版社已经编写了一套普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）数学，一些地区正在用它进行实验教学。学生掌握几何画板，可以用它做数学实验，发现一些意想不到的结论。比如，在图 2 中，放弃点 C是线段 AB 的中点这一条件，在 AB 上任意画一点 E，过 E 作 AB 的垂线，它与半径 OB 的交点轨迹是什么？是图 8 显示的一条鸭蛋形曲线。它的轨迹方程形式是 ，这是一个以圆锥曲线系为它的子集的曲线系。没有这个工具是很难想象的。学生用几何画板就可以把一些特殊结论推广为一般结论，或者研究更为深入的问题。如把图 1 所示的问题改为：如果一个三角形的两个顶点在一个定
18、圆上运动（有一个相对固定），另一个顶点是定点，它的外心轨迹是什么呢？答案是圆锥曲线。学生用几何画板去发现、探索、总结数学规律，俨然一个“研究者”。他们在这里找到了乐趣，找到了成功，找到了自信。几何画板的运用正在使学生参与到教学中来，改变着学习方式，同时开发了他们的智力，促进了素质教育。六、几点体会第一，几何画板进入课堂使数学教学过程发生了重要变化，改变了教师的教法，有效地改善了学生的学习。有些教学内容可以让学生亲自动手操作、观察、分析、发现，不必再用“教师讲学生听”的教学方式进行，新的教学模式出现了。因此，我们应该更新观念，积极主动地掌握信息技术，并不断应用于自己的教学实践中。年轻教师更应该这
19、样做，只有这样，才能跟上时代的步伐。第二，任何技术都只是一种工具，一种手段，手段应该服从目的。教师应当负责地去使用，找准信息技术与教学整合的“切入点”，弄清到底应该“辅” 在何处，怎么辅助，使它真正为数学教学服务。信息技术不可能替代传统的教学工作，而是要发挥信息技术的力量，“呈现以往教学中难以呈现的课程内容”，做过去不能做或做得不太好的工作。教学中，能用黑板或其他教具讲清楚的问题，不一定要去搬弄计算机。要 “鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现”，培养学生能力，促进素质教育，而不是增加学生的负担。第三，信息技术为学生更好地理解和应用数学开拓了广阔空间，也为学更多更深的数学提供了可能，但是
20、，不能用它来替代基本的数学活动，如熟练的基本运算、基本的代数变换、解方程、逻辑推理、数学证明等。因此，应当使信息技术的应用与传统的纸笔运算、逻辑推理、列表作图等之间达到一种平衡。电脑是机器，无论电脑有多么强的交互性，“人机对话”都不能代替“人际对话”。教学是十分复杂、细腻的过程，教师的一个手势、一个微笑、一句称赞的话语对增强教学效果都可能有着巨大的作用。忽视教师与学生之间的情感交流在教学中的作用就可能把整合引向反向。教师如何做教学案例研究曾爱华（江西省南昌市西湖区教科所，江西 南昌 330009）面对新课程、新理念，我们每一位教师都将在改革中掂出自己的分量，找到自己的位置，做出自己的回答是封闭
21、、盲从，惨遭淘汰，还是直面冲击，沉着应对？！选择是不言而喻的。我们要不断提升自己的专业地位，让自己的教学“立”起来，真正实现从 “教书匠”向“研究型教师”的转变。而进行教学案例研究，不失为一条有效途径。一、案例研究对教师专业发展的作用（一）以案例诠释理念，增强专业自主不知从什么时候起，我们的课堂似乎成了教师演讲的舞台。有时，学生思维火花还没来得及绽放，就被淹没在师道尊严的权威里。我们的学生曾一度变得特别听话、乖巧和顺从。他们总是悄悄地看着教师的眼色行事，总是那么谨小慎微。上课，总想迎合教师，帮着教师顺利完成教学。这样，学生的个性在谨慎揣摩中逐渐消磨，思维在从众顺师中逐渐僵化，灵性在拘谨与规矩中
22、逐渐泯灭。以至于长大了“零像什么？需要领导先说”。这一切使我感到几分忧虑，几分悲哀。在课程改革实践中，我常常思考这样的问题：如何让孩子敞开心扉，大胆表达，说出自己的心里话，让思维的火花在自主探索中点燃？一位教师讲的一个教学故事，带给了我些许启示。孩子们正积极地讨论春天是什么色彩的？有的说：“春天当然是绿色的。因 为，小草 发芽了，柳树长出了嫩绿的叶子。”有的说：“春天是红色的。因为，桃花开了，月季花也开了。 ”突然，有个孩子小声地说：“春天是灰色的！ ”老师一 愣。但 马上意识到应该让 孩子反馈一下思维过程，听听学生是怎么想的。于是，老 师要求小男孩大声地 说出自己的理解，好让大家都能听清楚！
23、可是 他犹豫一下，改口了，说：“春天是绿色的。”教师走到他身旁，微笑着鼓励他： “刚才，你的回答与众不同，很有个性，请大声说出你的真心话，你怎么想就怎么说！”看着老师真诚的目光，小男孩儿 迟疑了一下， 终于大声地说 ：“我看到的春天就是灰色的，我每天看到的就是灰色的墙、灰色的瓦、灰色的路面。”全班同学听了都情不自禁地鼓起掌来多么与众不同的感受视角，这是学生源于生活的真实体验呀！教学的灵性流动于师生真诚的对话中，我为之感动。但听完故事，我的心仍久久不能平静。我不断地问自己：春天一定是花红柳绿的吗？我想象着那个学生的样子：那迟疑、谨慎的目光，尔后是充满纯真、自信与个性的眼神！我纳闷：从什么时候起，
24、“真心话”成了课堂教学的价值追求之一呢？面对新课程给教师带来的冲击与蜕变，教师该如何沉着应对？上述真实案例研究故事，引发了我的思考：教师最熟悉的是教学，“为了每一个学生的发展”的课程理念最终要在教学中落实。那么，就让我们一起来做朴素的教学案例研究吧！曾经有一位教师告诉我，他仿照某特级教师上了一节课。上完后发现：特级教师得心应手的教学方案，用在他的课堂中，总觉得那样不适应，教学也不能像特级教师的课堂那样精彩。细想其因，这就涉及教师专业发展的核心问题教师个人的实践智慧。只学特级教师教学的形，如果没有丰富的教师个人的缄默知识作基础，课堂就很难传达教学的“神”。而教师的这种实践智慧，蕴含于教学实践过程
25、中，更多地与个体的思想和行动过程保持着一种“共生”的关系，又是高度个性化和情境化的，镶嵌于教学情境中，镶嵌于教学行为之中只可意会而不可言传。案例研究正是让教师“在游泳中学会游泳”的专业成长方式。具体来说，案例研究对提升教师实践智慧，促进专业发展的作用主要体现在以案例诠释理念、增强专业自主。教师是将先进的课程理念落实于教学行为的实践者。教师对新理念的接纳，并真正成为指导教学的行为指南，至少必须经历学习内化行动三个阶段。而案例研究是内化思想的一种有效行为，也是教师摆脱盲从或不需要任何思考就拿来的盲目行为的有效途径。课堂上，教师怎样教学才体现并实践了新课程理念，没有先知先觉。我们必须在自然状态下的课
26、堂教学中，捕捉到来自一线的鲜活的教学故事，进行积极的反思，形成教学案例，让它们成为先进理念的载体，也成为教师作为一名专业人员用实践诠释理论的最好例证。（二）用行动解读案例，改进教学行为在一次课改实验研讨会上，我有机会听了一位青年教师执教叶圣陶先生的我们知道一课，课堂上教师关注学生的需要，教学充满动态生成的美。从课后参与式评议中，我了解到，教师开课时，由于声情并茂的朗读吸引了学生，学生情不自禁地跟着教师自然地进入了课文学习，教师早准备好的精彩开课语一句也没有说出来。教学中预设的程序是：诵诗句，悟诗意；入诗境，悟诗情。可一读完，一位学生便站起来发问：“老师，我知道风儿在哪儿了？”其余学生也在下面小
27、声议论。教师马上意识到：学生自己有阅读体验，不必按部就班进行教学。于是，教师搁下教学设计，真诚与学生对话、交流“我们知道风儿在哪儿 ”。学生有了自由表达的时空，思维顿时活跃起来：有的说，风儿在轻轻摇晃树枝；有的说，风儿在邀请树木捉迷藏，书上说“树木微微点头的时候，我们知道风儿正走过了”；有的说，风儿正在和河水追打，不然，河水怎么会泛起波纹孩子感悟到的，是用他们自己的生活经历和自己的独特视角去体悟的，充满童真、童趣、童情！教学后，这位教师这样反思：新课堂应该是师生共同拥有的，但最终为学生的学服务。学生课堂生成的需要是推进教学进程的重要尺度，教学应根据学生的需要来调整设计，给学生自读、自悟、自主交
28、流的时空。教为学服务，但并不是教从属于学，也不能一味强调学生是学习的主人，由着学生把学习牵引到无意义的境地之中，跟着学生“天马行空”。由此，教师用自己的专业实践诠释着新理念，对“新课堂是对话的生成与建构”有了真切的感受。教学案例研究的目的，不仅仅是表达自己的教学见解，更重要的是，引发阅读者的思考，改进教学行为。由于教师做的教学案例不仅记叙教学行为，还记录伴随行为而产生的思想、情感及倏忽而至的灵感，反映教师在教学活动中遇到的问题、矛盾、困惑，也反映出学生课堂学习的状况。每一个案例的研究均是针对实际教学情景，分析说明一个观点、论证一个问题或提出一种解决问题的思路。用心去品读同伴或自己做的教学案例，
29、多角度分析或反复咀嚼，能帮助教师拓宽视野、总结经验教训、分享别人成长的经验，从中产生“共情”，并有意识或无意识地落实到自己的教学中，优化在实践中自觉解决教学问题的决策，从而实现教师教学行为的转变。（三）让经验回归课堂，改进教学实践一位教师阅读了这样一个案例：教师教学泊船瓜洲，在出示 课题，介 绍作者和写作背景之后，教师先是让学生自读课文，从中找出一个诗人想回家的词。学生很快从 “明月何时照我还”中找到了一个 “还”字。接着，教师紧扣“还”字，让学生再自由读古诗，边读边 想：每句诗中与“还”相关的 还有哪些诗句，从中体会到了什么。于是学生怀着浓厚的兴趣深入读书、理解、感悟，相互讨论，斟字酌句，并
30、归纳得出：从“ 京口瓜洲一水间，钟山只隔数重山”及诗句中的“一水间、只隔数重山”中可以体会出“离家近应该还 ”；从“ 春 风又绿 江南岸”一句中的 “又”想象出家乡的美景，而自己久离家乡，体会到“离家久早该还”；从 “明月何时照我还”一句中的“明月”“何时”感悟到“思家切不能还”的淡淡忧伤。“为 什么不能还？”教师启 发大家交流课前收集到的相关材料，结合时代背景，从中思考体会：王安石为革新 变法而呕心沥血， 为了国家， 顾不上小家，深化学生对诗句的理解和诗情的感悟。教师觉得这样的设计新颖，抓住“还”这个牵一发而动全身的字眼，能引导学生经历学的过程，体现学生认知的变化过程。为此，她在教学中也尝试
31、着这样做，结果她不仅改进了自己的教学实践，还获得了一种顿悟：教学设计应有一个核心，如果所有相关因素 内容整合、教学环节安排、教学方式方法选用、教学手段的运用等都围绕这一中心，形成合力，那么就能实现教学目标最大限度的达成，让语文课彰显个性色彩！二、教师怎样做教学案例研究（一）善于观察，勤于思考，敏于行动记得一年前，一位青年教师告诉我，她在结束教学画风（人教版实验教材小语二下）时，鼓励学生回家后，用自己的表现方式也画画风。第二天，收到学生的作品，发现学生的思维特别活跃，画面美丽，画风的办法也很巧。可是有一个叫秦嘉丁的同学的画，引起了她的注意，引发了她的思考：大树绿绿的，直直的，花儿红红的，静静的教
32、师第一反应是画不对题，这哪有风呢？不就是春景吗？再看看他在画边写的一段文：一阵春风吹来，柳枝更绿了；一阵春风吹来，花儿更艳了；一阵春风吹来，天气暖和了，真是“杨柳绿千里，春风暖万家呀！”（学生背过此句诗）教师试着从孩子的角度观察图画，细细品味孩子的语言。读着，品着，她已然感受到了那习习的春风迎面扑来她当即给孩子的画以这样的评语：你把风幻想为花红柳绿，万物生长，具有诗人一样的胸怀和想象力，真是了不起！课后，她抓住这一“可遇而不可求”的机会，从新理念下“怎样读懂学习主体发展中的学生”“多尺度的评价”等方面进行深入反思，形成案例杨柳绿千里，春风暖万家。这位教师做案例研究的经历告诉我们：一名教师只有具
33、有教学行动研究的意识，才能从平凡的、司空见惯的事物中看出新的细节、新的特征、新的方向。“一幅没有画风的春风图”引发了作者的深层思考，传递着一种崭新的理念倾听孩子的心声，感受孩子的感受，让灵性在师生真诚对话中闪动，同时，也让教师的生命活力在案例研究中绽放。“善于观察、勤于思考、敏于行动”是教师做教学案例研究的关键要素，根据个人的理解及研究经历，我们认为主要从以下几方面入手。一是关注自身的教学需要与困惑，带着问题走进课堂。案例研究如果不关注真实的课堂的教学需要与困惑，那就纯粹属于“开发”，即使很精彩，那也只是纸上谈兵。教学中的真实困惑才是案例研究的切入点。我们要经常抽点空，想想：这一段时间我一直在
34、关注哪些课堂教学中的问题？哪些问题比较棘手？选择哪一课尝试解决问题？对于听课者来说，则要带着问题观察教师的教学行为，包括教学语言、教学内容呈现方式、教学情境的创设或者是教师启发点拨行为等。例如，我个人最近就在思考一个这样的问题：教学参考中对文本的主题思想的表述是否真的符合孩子的认知水平或认知需要？为此，听课或钻研教材时我会特别注意这一块内容。比如麻雀一文，教参中提示的思想情感目标是“教育学生懂得爱护弱小”。然而，我个人认为，通过这篇课文，从麻雀身上可以感悟到“母爱的伟大及力量”；从猎狗身上同样可以得到启发：强悍者面对弱小者的反抗也将灰溜溜地逃之夭夭！或许，亲身实践一下，孩子们在教学中还能有许多
35、不同的体悟！二是在研究状态下实施教学过程，留心观察学生的言行。案例研究过程中，教师是以专业研究人员的角色进入教学，课堂就是研究场所，教师要在研究状态下实施教学计划，在教学过程中观察、分析，让整个教学过程成为一个活的教学案例。教学中，要观察学生的言行，特别是关注与众不同的声音、行为以及思维方式。其实，课堂每天都有精彩，或闪光或缺憾，关键看我们有没有敏锐的洞察力，善不善于从身边或亲历的平凡、平淡的事例中捕捉到新奇。特别值得一提的是，“观察”不仅仅是用眼睛看、用耳朵听，更重要的是用心去体验，用心去认识学生及课堂教学中的事，用情感、意识、思考去触摸事物的本质。例如，一位教师教学小雨点，课堂上，她让学生
36、边读书边表演，教师观察，发现，当大多学生都用手比划斜斜的雨丝时，一个学生却在那儿蹦蹦跳跳。老师走过去，亲切地问她：你是小雨点吗？为什么蹦蹦跳跳的呢？她一本正经地说：“我是落在水泥地上的水滴，溅起了无数小水花！”多么天真而有灵性的话语。试想，如果教师没有留心观察学生的学习行为，没有让她反馈思维过程，教学岂能如此美丽？三是在教学情境中即兴反思，及时改进课堂教学行为。教育情境中通常不允许教师停顿下来进行反思，分析情况，仔细考虑各种可能的选择，决定最佳的方案，然后付诸行动。因此，教师要在教育情境中将反思和教学行动融为一体。即教中思，思中教。我们把这样的反思叫即兴反思。即兴反思需要教师在课堂上“一心多用
37、”，既要想到自己预设的教学程序，又要关注课堂教学中学生的认知水平和生成的真实需要，还要对照新课程理念反思教学行为，及时调整教学进程，改变教学策略，真正让课堂成为师生生命体验与智慧生成的课堂。（二）积极互动，深度反思，提升经验先看换成“相似”行吗？北京亮起来了教学片段与评析。随学生发言出示句子“环行路上，一座座立交 桥犹如一道道彩虹。”师：读一读，说说你从哪儿体会到北京亮起来了、美起来了？生：立交桥上有各种颜色的灯，就像一道道天上的彩虹。师：听出来吗？他把“犹如”换成了“像”，你 们还能换个 词语来说吗？生；可以换“好像”。环行路上，一座座立交桥好像一道道彩虹。生：老师，可以换成“相似”吗 ？师
38、：相似！行不行呢？你把它放进句子里读一读，自己判断吧！学生小声读着，没等读完，便有人叫了起来，“不行！”“不行！”此时，教师觉得有必要通过运用 语言，加深 对“犹如”的理解。于是，教师调整预设方案，用媒体展示一组南昌“火树银花不夜天”的景致，引 导学生用上“犹如 ”“好像”或“好似”说说南昌什么地方也亮起来了。加深对词语的理解。生：节日的八一广场上空，一串串礼花犹如一 朵朵盛开的鲜 花，光芒四射。生：沿江路的河边，一排排反射灯好像一条条 银光闪闪的玉 带。生：八一大道上，汽车来来往往，车灯闪烁，好似银河从天而降。生：秋水广场上，层层叠叠的喷 泉犹如一朵朵盛开的白兰花。教育的技巧并不在于能预见到
39、课的细节，而在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉中做出相应的变动。在教学中，教师面对突变的课堂教学情境时，要善于抓住学生的认知困惑，引导学生结合具体的语言环境，感悟语言表情达意的精当，并充分利用课程资源，适时适事地引导学生迁移、运用语言，改进教学行为。一是积极参加互动评议活动，让研究成为教师必需的生活。一种思想，一种教学理念，只有当被真正的理解不是丧失思考力的认同不是赶时髦的苟同不是无主见的拿来时，才能成为教师个人身上的一部分，才能在行为上表现出所谓“到位”。因此，我们要改变一种不需要任何思考和怀疑的接纳习惯，用审慎的态度和眼光面对新理念、新课堂。上完一节课后，积极参与互动评议。如果是
40、执教者，就以一种开放的心态面对真实课堂中的问题与困惑，既要自信地看到教学中的亮点，又要敢于坦言课堂的不足；如果是听课人，便要设身处地地反思教学过程，真实地寻找精彩，客观地指出不足及改进意见。这样，在互动对话中教师之间彼此都获得思想启迪，教学研究与日常教学生活融为一体，案例研究便成为教师在“研究状态下工作”的职业生活方式。二是与教师或专家对话，进行深度反思，提炼有价值的案例主题。有人说：如果一位教师，只知道默默地耕耘，不知抬头看看方向，也不回顾与思考，那他只能是地地道道的教书匠，永远不可能获得真正意义的专业发展。的确，实践反思是构建教师教学知识的主要途径。教师要面对日常教学中的挑战进行反思，为“
41、无所适从”找出路。这里所说的深度反思，指教学后的深入思考。对教师而言，课后反思一般有三个步骤。（1）发现亮点与问题。每堂课下来，想一想，哪些顺，哪些不顺，学生有什么精彩表现，是运用了什么好的教学策略或改变了哪些教学行为让课堂充满活力；不顺，问题又是出在哪里，是教材呈现方式没有调动学生的多种感官，还是教师“牵”得厉害，没给学生自由表达的空间，需要做哪些改进。（2）即时分享与合作。教师之间即时的、自觉自为的交流很重要。每天抽点时间和其他教师讨论教学中遇到的问题，在与教师的交流中获得思想的启迪，共同研究、提炼出案例主题。当然，分享合作并不是趋同，合作中别忘了张扬自己的个性，可以有争鸣甚至是分歧。（3
42、）请求专家支持。教师之间的碰撞、交流很重要，但很有可能停留在经验的层次上，要升华成教学理论，就需要专家指点。永远不要害怕问，永远不要害怕问你所能找到的最好的专家即使你以前从来不认识他们。这样，自己的感悟与反思会更深刻些。三是进行类比分析，形成个性化经验，并沉淀自己的思考。有了来自一线的教学案例素材，在同伴交流分享的基础上，再运用比较方法把相关教学片段或故事串联起来进行剖析，进一步类比分析，形成个性经验。比较的形式主要有：自己在不同时间、不同教学理念指导下的教学对比分析；同一课题，不同执教者，不同切入点教学或运用不同策略的教学对比分析；同一教学内容，不同问题切入等进行对比分析；或同一教学情境，不
43、同观点的对比分析。“几何画板 ”与中学数学整合的实践探索中学数学 课 程 标 准 的基本理念指出： “现 代信息技 术 的 发 展 对 数学教育的价 值 、目标 内容以及学与教的方式 产 生了重大影响。数学 课 程的 设计 与 实 施 应该 重 视应 用 现 代信息技 术 ，特 别 要考 虑计 算器、 计 算机 对 数学学 习 内容和方式的影响，大力开 发 并向学生提供更 为 丰富的学 习资 源，把 现 代信息技 术 作 为 学生学 习 数学和解决 问题 的 强 有力的工具，致力于改 变 学生的学 习 方式，使学生 乐 于并有更多的精力投入到 现实 的、探索性的数学活 动 中去。 ” 随着信息
44、技 术 的迅猛 发 展，信息技 术 与数学教学的整合不 仅 成 为 可能，而且将是数学教学的一大 发 展 趋势 。信息技 术 所提供的不 仅 是演示功能，而且要利用信息技 术 来做 “数学 实验 ”，要把信息技 术 当作学生 获 取信息、探索 问题 、协 作 讨论 、解决 问题 和建构知 识 的 认 知工具。在中学数学教学中，适当 应 用 “几何画板 ”不但能丰富教学手段，改 变 教学模式，而且能使抽象内容形象化，有利于 调动 学生的学 习积 极性和 发展学生思 维 ，分析与 综 合、独立 创 造等能力。本文就 “几何画板 ”与中学数学整合 问题 ，结 合本人的教学 实 践， 谈 一 谈 几点
45、做法与体会：一、 “几何画板 ”与数学整合的意义 “几何画板 ”-21世 纪 的 动态 几何，是一 块 展 现动态图 形的黑板，它打破了 传统 尺 规的教学方法， 为 数学的教学改革及 创 新教学模式注入了无限的活力，它 为 教 师 和学生 们提供了一个探索几何 图 形内在关系的 环 境，它以点、 线 、圆为 基本元素，通 过对这 些基本元素的 变换 、构造、 测 算、 计 算、 动 画、跟踪 轨 迹等，把 较为 抽象的几何 图 形象化，它的最大特色是 “动态 性 ”，即：可以有鼠 标 拖 动图 形上任一元素，而事先 给 定的所有几何关系（即图 形的基本性 质 ）都保持不 变 ，这样 更有利于
46、在 图 形的 变 化中把握不 变 ，深入几何的精髓，突破了 传统 教学的 难 点。 二、 “几何画板 ”与数学整合的效果分析 1、 利用 “几何画板 ”创设 丰富的教学情景，改善 认 知 环 境，从而激 发 学 习兴 趣。 建构主 义 理 论 不 仅强调对 教学任 务 的分析，更 强调 学 习 情景的 创设 。由于 “几何画板 ”在运 动过 程中保持 图 形的几何关系不 变 ，随 时 可以 进 行 动态测 算等特点， 这 就 为认识 概念 创设 一个很好的 “情景 ”，从而提示概念本 质 ，改善 认 知 环 境，激 发 学 习兴 趣，达到 优 化教学 过 程和提高教学效果的目的。 在教学 三角
47、形的中位线 时，用 几何画板 做如下的事情（如下图）： 作 ABC，取 AB的中点 D、AC的中点 E，连联结 D、E；接着 测 算出 DE，BC，ADE，AED，ABC，ACB等， 这 些数据都 动态 地展 现 在屏幕上，然后引 导 学生 观 察：您 发现 了什么？当点 A（或点 B、C）运 动时 ，某些数据随之改 变 ，然后 让 学生 观 察他 们 的关系，这为认识 “三角形中位 线 ”的性 质 及培养学生的 观 察、想象、 归纳 等 诸 能力 创设 了丰富的“情景 ”，增 强 学生的参与性，极大的激 发 了学生的学 习兴 趣， 调动 了学生学 习 的 积 极性和主 动 性，有利于知 识
48、的 获 取，也有利于知 识 的保持，有力的增 强 的教学效果。 1 2、 利用 “几何画板 ”动态 展示教学内容或数学 问题 ，使抽象内容形象化、直 观 化，突破教学 难 点。 在数学教学中，有相当一部分内容具有一定的抽象性。例如：函数最 值 、动 点的 轨 迹、平面 镶 嵌、 视图 、正多 边 形和 圆 等 问题 。教 师 在 讲 解抽象内容 时 有一种力不从心的感 觉 ，学生在学 习 中也 经 常陷入困境。在 传统 的 课 堂教学中， 仅 借助一 块 黑板，一支粉笔、一本书 、一 张 嘴的教学手段，并不一定会收到良好的效果。因 为 所构建的几何模型缺乏真正的动 感，形象中不乏抽象的成份，往
49、往准确性不 够 ，为 学生 对问题 本 质 的深刻理解和 认识带来了障碍， 给 “数形 结 合 ”思想的充分展示 带 来制 约 。“几何画板 ”为 构建具有准确性、有 动画功能的 “几何模型 ”提供了一个有效的 场 所，是 实现 “数形 结 合 ”思想的一个有效的 辅 助教学工具，是与数学 课 堂教学整合的有力平台。 如：在 点的 轨 迹教学 中教 师 可以利用 几何画板 制作点的 轨 迹形成 过 程的演示 动 画。在 实际 教学中，双 击动 画，可将点的 轨 迹的形成 过 程形象地展 现 出来。 让 学生 获 得直 观的感 觉 ，有利于学生 们对这 些概念的理解。在 讲 解初中几何第三册的两个基本 轨 迹 时 我就是 这样 来 讲 解的： （1）和已知 线 段两个端点的距离相等的点的 轨 迹，是 这 条 线 段的垂直平分 线 。（如下图 ）： 先作出 线 段 DE，在 DE的中垂 线 上取一点 G 并 连结 DG、EG，让 点 G 在 DE的中垂 线 上运 动 ，隐
