1、习题一1.1 简要回答下列问题：(1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？(2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？(3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么？(4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？(5) 和 有区别吗？ 和 有区别吗？ 和 各代表什么运动？rv0dvtt(6) 设质点的运动方程为： ， ，在计算质点的速度和加速度时，有人先xty求出 ，然后根据2rxy及 drvt2drat而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分
2、量，再合成求得结果，即及 22xyvdtt 22xydtt你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？(7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？(8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？(9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？(10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大， 、 、 三者的大小是否随时间改变？nat(11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前
3、进，结果又如何？ 1.2 一质点沿 轴运动，坐标与时间的变化关系为 ，式中 分别以 、 为单x 24txtx,ms位，试计算：(1)在最初 内的位移、平均速度和 末的瞬时速度； (2) 末到 末的平均s2ss13加速度；(3) 末的瞬时加速度。 s3解：(1) 最初 内的位移为为： s2(2)0(/)xms最初 内的平均速度为： s20(/)2avexmst时刻的瞬时速度为：t()4dt末的瞬时速度为：s2/vs(2) 末到 末的平均加速度为：13 2(3)1804/2avevmst(3) 末的瞬时加速度为： 。s 4/dst1.3 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为 ，质点出发后，每经
4、过 时间，加速0a度均匀增加 。求经过 时间后，质点的速度和位移。bt解: 由题意知，加速度和时间的关系为 0bt利用 ，并取积分得dvat，00vtdatdv 20at再利用 ，并取积分 设 时 得dxvtt0x，0xtdv23016bat1.4 一质点从位矢为 的位置以初速度 开始运动，其加速度与时间的关()4rj()4i系为 .所有的长度以米计，时间以秒计.求：(3)2atij（1）经过多长时间质点到达 轴；x（2）到达 轴时的位置。x解： 203()()4()tvtadtitj3201()trtvtitj（1） 当 ，即 时，到达 轴。24ttsx（2） 时到达 轴的位矢为 ：sx(2
5、)1ri即质点到达 轴时的位置为 。,0xmy1.5 一质点沿 轴运动，其加速度与坐标的关系为 ，式中 为常数，设 时x 2ax0t刻的质点坐标为 、速度为 ，求质点的速度与坐标的关系。00v解：按题意 22dxt由此有 ，dxvttv2即 ，xd两边取积分 ，xv002得 2012121由此给出 ， vAx20xv1.6 一质点的运动方程为 ，式中 ， 分别以 、 为单位。试求：ktjitr24)(rtms(1) 质点的速度与加速度；(2) 质点的轨迹方程。 解：(1) 速度和加速度分别为： ， (8)drvtjjdtva8(2) 令 ，与所给条件比较可知 ， ，kzjyixtr)( 1x2
6、4ytz所以轨迹方程为： 。21,41.7 已知质点作直线运动，其速度为 ，求质点在 时间内的路程。13()vtms0s解: 在求解本题中要注意：在 时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出0s现往返。如果计算积分 ，则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分 。40dt 40vdt令 ，解得 。由此可知： s 时， ， ； s 时，23vt3ts3t0vv3t；而 s 时， ， 。因而质点在 时间内的路程为0vv44343220003()dtdttdtdt。342203116()ttm1.8 在离船的高度为 的岸边，一人以恒定的速率 收绳，求当船头与岸的水平距离为h0v时，船的速度和
7、加速度。x解: 建立坐标系如题 1.8 图所示，船沿 轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方X程，由图题 1.8，可得出Orh0vxY习题 1.8 图22xrh两边求微分，则有 dtt船速为 xrvt按题意 (负号表示绳随时间 缩短)，所以船速为0drvt20xhvv负号表明船速与 轴正向反向，船速与 有关，说明船作变速运动。将上式对时间求导，x可得船的加速度为 203hvdatx负号表明船的加速度与 轴正方向相反，与船速方向相同，加速度与 有关，说明船作变x x加速运动。1.9 一质点沿半径为 的圆周运动，其角坐标 (以弧度 计) 可用下式表示10cmrad324t其中 的单位是秒( )
8、试问：(1)在 时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？tsts(2)当 等于多少时其总加速度与半径成 角 ？5解：(1) 利用 ， ， ，324t2/1dt/24dt得到法向加速度和切向加速度的表达式 ，241nart4tart在 时，法向加速度和切向加速度为：ts，4420.23.()nt ms218tar(2) 要使总加速度与半径成 角，必须有 ，即45nta412rtt解得 ，此时 31/6t67.23trd1.10 甲乙两船，甲以 的速度向东行驶，乙以 的速度向南行驶。问坐在乙船0kmh5/kmh上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？解：以地球为参照系，设
9、、 分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为ij，v/1jv/12根据伽利略变换，当以乙船为参照物时，甲船速度为hkji/)50(21，mv.8 31.560arctg即在乙船上看，甲船速度为 ，方向为东偏北./kh.同理，在甲船上看，乙船速度为 ，方向为西偏南 。11.11 有一水平飞行的飞机，速率为 ，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度 向前射0v v击。略去空气阻力，(1) 以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程；(2) 以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程；(3) 以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？解：(1) 以地球为参照系时，炮弹的初速度为 ，而 ，01vtx125.0gty消去时间参数
10、，得到轨迹方程为：t（若以竖直向下为 y 轴正方向，则负号去掉，下同）20)(vgxy(2) 以飞机为参照系时，炮弹的初速度为 ，同上可得轨迹方程为v2vgxy(3) 以炮弹为参照系，只需在(2)的求解过程中用 代替 ， 代替 ，可得 xy.2vgxy1.12 如题 1.12 图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为 ，速率为 ，一艘速Dv率为 的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证明：如果快艇在尽可能最迟的u时刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为 ；快艇2Dvux截住这条船所需的时间为 。2DvtuYvDuX港口x习题 1.12 图证明：在如图所示的坐标系中，船
11、与快艇的运动方程分别为和 1xvtyD2cosinxuty拦截条件为：即 21yxcosinvtxut所以，cosinDvux取最大值的条件为： ，由此得到 ，相应地 。x0/d/uv2sin1(/)uv因此 的最大值为 2Dvux取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为x2sinvtuu习题二2.1 简要回答下列问题：(1) 有人说：牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而它是多余的.你的看法如何？(2) 物体的运动方向与合外力方向是否一定相同？(3) 物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？(4) 物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？(5
12、) 物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？(6) 为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？(7) 合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物体动能的增量？(8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明.(9)判断下列说法是否正确，并说明理由：(a)不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒 .(b)内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒.(c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.(10) 在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹
13、性碰撞中，又有哪些量保持不变？(11) 放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何？为什么在空中焰火总是以球形逐渐扩大？(忽略空气阻力 )2.2 质量为 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 （ 为常数）作mFkv用， 时质点的速度为 0v，证明：0t（1） 时刻的速度为 ；ktme（2）由 0 到 的时间内经过的距离为 ；t 0()1ktmxve（3）停止运动前经过的距离为 。0k证明：(1) 由 分离变量得 ，积分得dvmaFktdvktm， ，00vt0lnt0kte(2) / /0(1)tktmktmvxdede(3) 质点停止运动时速度为零，即 ，故有 。t/00ktmvx
14、ved2.3 一质量为 10 kg 的物体沿 x 轴无摩擦地运动，设 时，物体的速度为零，物体在力(N)(t 以 s 为单位)的作用下运动了 3s，求它的速度和加速度.34Ft解. 根据质点动量定理, 300Fdtmv34tdmv32210.7()1t s根据牛顿第二定律， Fa(m/s2)34.50tm2.4 一颗子弹由枪口射出时速率为 ms-1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为0vN（a,b 为常数） ，其中 t 以秒为单位：()Fabt（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；（2）求子弹所受的冲量；（3）求子弹的质量。解：(1)由题意，子弹到枪口时，
15、有 , 得 ()0Fabtatb(2)子弹所受的冲量 ，将 代入，得t tdtI021)( baI2(3)由动量定理可求得子弹的质量 020bvaIm2.5 一质量为 的质点在 xoy 平面上运动，其位置矢量为 ，求质jtbitarsnco点的动量及 到 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。0t2解：质点的动量为 sincospmvratbtj将 和 分别代入上式，得0t2，1bj2pmi动量的增量，亦即质点所受外力的冲量为 21()Iaibj2.6 作用在质量为 10kg 的物体上的力为 ，式中 的单位是 。(102)FtiNts（1）求 4s 后，这物体的动量和速度的变化，以及力
16、给予物体的冲量；（2）为了使这力的冲量为 200Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度 的物体，回答这两个问题。16jms解：(1)若物体原来静止，则 ，沿 x 轴正向，4100(2)56tpFdtidi1kgms115.6visIp,若物体原来具有初速度 ，则 0vjm0,()tptvFd于是 21p同理， 12,vI这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量) 就一定相同，这就是动量定理(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即 t tdtI0210)2(令 ，解得 。210t10ts2.
17、7 一小船质量为 100kg，船头到船尾共长 3.6m。现有一质量为 50kg 的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。LS人 S船习题 2.7 图解：由动量守恒 0人人船船 vmVM又 ，dtSt0船船，船人 船船人 船人人 SMttvstt00如图，船的长度 LSs人船所以 3.61.2015LSmMm船 船人即船头相对岸边移动 S2.1船2.8 质量 的质点,从静止出发沿 轴作直线运动，受力 (N)，试求开始mkgX(12)Fti内该力作的功。3s解 30(12)()x xLLAFdttvd而 2000tttxxxvam所以 333240006179(J)Atdtt2
18、.9 一地下蓄水池，面积为 ，水深度为 ，假定水的上表面低于地面的高度25s1.5是 ，问欲将这池水全部抽到地面，需作功多少?5.0mO0hy1h dyY习题 2.9 图解:建坐标如习题 2.9 图，图中 表示水面到地面的距离， 表示水深。水的密度为0h1h，对于坐标为 、厚度为 的一层水，其质量 ，将此层水抽310kgmydydmsy到地面需作功 Amgs将蓄水池中的水全部抽到地面需作功0101 20102hhAdsgydsh11(J)321059.85.264.32.9 一炮弹质量为 ，以速度 飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药mv使弹片增加的动能为 ，且一块的质量为另一块
19、质量的 倍，如两者仍沿原方向飞行，试Tk证其速率分别为 ， 。vk2Tkm证明：设一块的质量为 ，则另一块的质量为 。利用 ，有12112m， mk2k又设 的速度为 ， 的速度为 ，则有11v2v2211mT动量守恒 12mvv联立 、 解得， 12()k12()kv联立 、 解得，于是有2)(vkmTkmT2将其代入 式，有 1()vkvv又因为爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，当 时只能取 1。kmTvkv2,212.10 一质量为 的子弹射入置于光滑水平面上质量为 并与劲度系数为 的轻弹簧连着Mk的木块后使弹簧最大压缩了 ，求子弹射入前的速度 .L0vm0v习题 2.10 图解： 子弹射入
20、木块到相对静止的过程是一个完全非弹性碰撞，时间极短，木块获得了速度，尚未位移，因而弹簧尚未压缩.此时木块和子弹有共同的速度 ，由动量守恒，1v10mMv此后，弹簧开始压缩，直到最大压缩，由机械能守恒，221kL由两式消去 ，解出 得1v0vkmM2.11 质量 的物体从静止开始，在竖直平面内沿着固定的四分之一圆周从 滑到 。在m AB处时，物体速度的大小为 。已知圆的半径为 ，求物体从 滑到 的过程中摩擦力BBR所作的功：(1)用功的定义求； (2)用动能定理求；(3) 用功能原理求。AB习题 2.11 图解 方法一：当物体滑到与水平成任意 角的位置时，物体在切线方向的牛顿方程为costdvm
21、gfam即sft注意摩擦力 与位移 反向，且 ，因此摩擦力的功为fdr|rRd200|cosBvf drAmgt201Bv BmgR方法二： 选 为研究对象，合外力的功为mAgfNdr考虑到 ，因而N0drRfNg20cos| cosf f fAmgdrAmgRdAmgR由于动能增量为 ，因而按动能定理有210kBEv， 。2f BRv21f Bv方法三：选物体、地球组成的系统为研究对象，以 点为重力势能零点。初始在 点时， 、A0pEmg0k终了在 点时， ，B21Bv由功能原理知： 10f mgR经比较可知，用功能原理求最简捷。2.12 墙壁上固定一弹簧，弹簧另一端连接一个物体，弹簧的劲度
22、系数为 ，物体 与桌面km间的摩擦因素为 ，若以恒力 将物体自平衡点向右拉动，试求到达最远时，系统的势能。FfX习题 2.12 图解：物体水平受力如图，其中 ， 。物体到达最远时， 。设此时物kfxmg0v体的位移为 , 由动能定理有x0-0xFdx即 21kg解出 mx系统的势能为 221pFgEkk2.13 一双原子分子的势能函数为 60120)(rrp式中 为二原子间的距离，试证明：r 为分子势能极小时的原子间距；0分子势能的极小值为 ；0EkF当 时，原子间距离为 ； 0)(rEp 602r证明：（1）当 、 时，势能有极小值 。由()Pdr2()PdErmin)(rEP1612600
23、037()PEr r得 12600r所以 ，即 为分子势能取极值时的原子间距。另一方面，0r1262048()37PrdEr当 时， ，所以 时， 取最小值。0r2 00220()17PErrr0r)(rEP（2）当 时，0160min0 0()PE（3）令 ，得到12600()Pr， ，12600r60r062r2.14 质量为 7.210-23kg，速度为 6.0107m/s 的粒子 A，与另一个质量为其一半而静止的粒子 B 相碰，假定这碰撞是弹性碰撞，碰撞后粒子 A 的速率为 5107m/s，求：粒子 B 的速率及偏转角；粒子 A 的偏转角。AvAvBv习题 2.14 图解：两粒子的碰撞
24、满足动量守恒 BAAvmv写成分量式有 coscos BAAvmvminin碰撞是弹性碰撞，动能不变： 22211BAAvv利用， ，kgmA230.7kgmAB2306.2， ，sv/1.67 svA/1.57可解得， ， 。 B/09.474202.15 平板中央开一小孔，质量为 的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为 的m1M重物。小球作匀速圆周运动，当半径为 时重物达到平衡。今在 的下方再挂一质量为0r1的物体，如题 2-15 图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度 和半径 为多少？2Mr1M2习题 2.15 图解：在只挂重物 时，小球作圆周运动的向心力为 ，即1 1g20Mgmr
25、挂上 后，则有20rm212()Mgmr重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒即 2200rv联立 、 、 得 2/33/211 10 0001, ,ggMrrmrr M 2.16 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为 时的mr10175.8速率是 ，它离太阳最远时的速率是 ，这时它离太14106.5sv 220.9sv阳的距离 r2 是多少？（太阳位于椭圆的一个焦点。 ）解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有12rmv 041212 28.75.65.09rv m2.17 查
26、阅文献，对变质量力学问题进行分析和探讨，写成小论文。参考文献：1石照坤，变质量问题的教学之浅见，大学物理，1991 年第 10 卷第 10 期。2任学藻、廖旭，变质量柔绳问题研究，大学物理，2006 年第 25 卷第 2 期。2.18 通过查阅文献，形成对惯性系的进一步认识，写成小论文。参考文献：1高炳坤、李复，“惯性系”考，大学物理，2002 年第 21 卷第 4 期。2高炳坤、李复，“惯性系”考( 续)，大学物理，2002 年第 21 卷第 5 期。习题三3.1 简要回答下列问题：(1) 地球由西向东自转，它的自转角速度矢量指向什么方向？ 作图说明.(2) 刚体的转动惯量与那些因素有关？“
27、一个确定的刚体有确定的转动惯量 ”这句话对吗？(3) 平行于 轴的力对 轴的力矩一定为零，垂直于 轴的力对 轴的力矩一定不为零.这zzzz种说法正确吗？(4) 如果刚体转动的角速度很大，那么作用于其上的力是否一定很大？作用于其上的力矩是否一定很大？(5) 两大小相同、质量相同的轮子，一个轮子的质量均匀分布，另一个轮子的质量主要集中在轮子边缘，两轮绕通过轮心且垂直于轮面的轴转动。问：(a)如果作用在它们上面的外力矩相同，哪个轮子转动的角速度较大？(b)如果它们的角加速度相同，哪个轮子受到的力矩大？(c)如果它们的角动量相等，哪个轮子转得快？(6) 为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内
28、力有关，而刚体绕定轴转动动能只与外力矩有关，而与内力矩无关？(7) 下列物理量中，哪些与参考点的选择有关，哪些与参考点的选择无关：(a) 位矢；(b) 位移；(c)速度；(d)动量；(e) 角动量；(f)力；(g)力矩.(8) 做匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心并与圆平面垂直的轴上任一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？(9) 一人坐在角速度为 的转台上，手持一个旋转着的飞轮，其转轴垂直于地面，角速度0为 。如果忽然使飞轮的转轴倒转，将发生什么情况？设转台和人的转动惯量为 ， I飞轮的转动惯量为 。I3.2 质量为 长为 的均质杆，可
29、以绕过 端且与杆垂直的水平轴转动。开始时，用手支住mlB端，使杆与地面水平放置，问在突然撒手的瞬时，(1)绕 点的力矩和角加速度各是多少？A B(2)杆的质心加速度是多少？A习题 3.1 图解：(1)绕 B 点的力矩 由重力产生，设杆的线密度为 ， ，则绕 B 点的力矩为Mlm00012mglxdGgxd杆绕 B 点的转动惯量为 223lIl角加速度为 l(2)杆的质心加速度为 gla4323.3 如图所示，两物体 1 和 2 的质量分别为 与 ，滑轮的转动惯量为 ，半径为 。1m2Ir如物体 2 与桌面间的摩擦系数为 ，求系统的加速度 及绳中的张力 与a1T2(设绳子与滑轮间无相对滑动) ；
30、 如物体 2 与桌面间为光滑接触，求系统的加速度 及绳中的张力 与 。122T2m11m习题 3.2 图解：先做受力分析，物体 1 受到重力 和绳的张力 ，对于滑轮，受到张力 和 ，g11T1T2对于物体 2，在水平方向上受到摩擦力 和张力 ，分别列出方程m22 aTgm11a1 22 g21rMIr通过上面三个方程，可分别解出三个未知量， ，21mgraI211mgITr212mrgIT 在的解答中，取 即得0， ， 。21gramI211rgITm212rgTmI3.4 电动机带动一个转动惯量为 I=50kgm2 的系统作定轴转动。在 0.5s 内由静止开始最后达到 120r/min 的转
31、速。假定在这一过程中转速是均匀增加的，求电动机对转动系统施加的力矩。解：由于转速是均匀增加的，所以角加速度 为2120/in/8/.56mirradrsts从而力矩为 328.710MIkg3.5 一飞轮直径为 0.30m，质量为 5.00kg，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀的加速，经 0.50s 转速达到 10r/s。假定飞轮可看作实心圆柱体，求：飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；拉力及拉力所作的功；从拉动后 t=10s 时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。解： 飞轮的角加速度为210/2/15.7/.5rsadradst转过的圈数为rsrn/ 飞轮的转动惯
32、量为 ， 所以，拉力的大小为21mrI0.3512.74.()MF Nr拉力做功为47()WSndJ从拉动后 t=10s 时，轮角速度为3125.0.1(/)t rads轮边缘上一点的速度为3.7.58(/)vrm轮边缘上一点的加速度为。212.01.(/)as3.6 飞轮的质量为 60kg，直径为 0.50m，转速为 1000r/min，现要求在 5s 内使其制动，求制动力 F。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数 =0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。习题 3.6 图解：设在飞轮接触点上所需要的压力为 ，则摩擦力为 ，摩擦力的力矩为 ，FF 2dF在制动过程中，摩擦力的力矩不变，
33、而角动量由 变化到 0，所以由 2dmv有0MdtL2tdF解得 。由杆的平衡条件得 。785.42mFNt 0.5314.2FN3.7 弹簧、定滑轮和物体的连接如图 3.7 所示，弹簧的劲度系数为 2.0N m-1；定滑轮的转动惯量是 0.5kg m2，半径为 0.30m，问当 6.0kg 质量的物体落下 0.40m 时，它的速率为多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。AFd0.5m0.75闸 瓦习题 3.7 图解：当物体落下 0.40m 时，物体减少的势能转化为弹簧的势能、物体的动能和滑轮的动能，即，221rIvmkhg将 ， ， ， ， 代入，得kgm62/8.9s4.05.kgIm3.
34、0sv/13.8 在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为 的人。圆盘的半径为 ，转动惯量为 ，角RJ速度为 。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。解：系统的角动量在整个过程中保持不变。人在盘边时，角动量为 2mRJIL人走到盘心时角动量为 因此 J2人在盘边和在盘心时，系统动能分别为，2211RmW221JmRW系统动能增加 242123.9 在半径为 ，质量为 的静止水平圆盘上，站一质量为 的人。圆盘可无摩擦地绕通1R过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为 的圆周匀速2R1地走动时，设他相对于圆盘的速度为 ，问圆盘将以多大的角速度旋转？v解：整个体系的角动
35、量保持为零，设人匀速地走动时圆盘的角速度为 ，则2120LmR人 盘解得 v213.10 如题 3.10 图示，转台绕中心竖直轴以角速度 作匀速转动。转台对该轴的转动惯量0=510-5 kgm2。现有砂粒以 1g/s 的速度落到转台，并粘在台面形成一半径 =0.1m 的圆。J r试求砂粒落到转台，使转台角速度变为 所花的时间。102习题 3.10 图解：要使转台角速度变为 ，由于砂粒落下时不能改变体系角动量，所以必须要使体系102的转动惯量加倍才行，即 。将 和 代入得Jrm沙 粒 2510mkgr1.035沙 粒所以 sgkt/13.11 一脉冲星质量为 1.51030kg，半径为 20km
36、。自旋转速为 2.1 r/s，并且以 1.010-15r/s的变化率减慢。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？设脉冲星可看作匀质球体。解：脉冲星的转动惯量为 25mrI转动动能为 1W转动动能的变化率为 2ddrtt2304 1525.415102.910/Js由 ， ，得停止自旋所需要的时间为dtt15152./.0rss3.12 两滑冰运动员，质量分别为 MA=60kg，M B=70kg，它们的速率 VA=7m/s，V B=6m/s，在相距 1.5m 的两平行线上相向而行，当两者最接近时，便拉起手来，开始绕质心作圆周运动并保持两者间
37、的距离为 1.5m。求该瞬时：系统的总角动量；系统的角速度；两人拉手前、后的总动能。这一过程中能量是否守恒，为什么？解：设两滑冰运动员拉手后，两人相距为 ，两人与质心距离分别为 和 ，则sArB， MrBAsrBA两人拉手前系统总角动量为 skgmsVMrVrML BAABBABA /6302设两人拉手后系统的角速度为 ，由于两人拉手后系统角动量不变22ABr所以， sradsVLABA /67.822两人拉手前总动能为： JMWBA23011拉手后，由于整个体系的动量保持为零，所以体系动能为VrrMBAABBA 7221 22 所以体系动能保持守恒。可以算出，当且仅当 时，体系能量守恒，否则
38、能量会减小，且2211BABAVMW3.13 一长 =0.40m 的均匀木棒，质量 M=1.00kg，可绕水平轴 O 在竖直平面内转动，开始l时棒自然地竖直悬垂。现有质量 m=8g 的子弹以 v=200m/s 的速率从 A 点与 O 点的距离为 ，34l如图。求：棒开始运动时的角速度；棒的最大偏转角。34习题 3.13 图解：系统绕杆的悬挂点的角动量为 21340.8Lmvlkgs子弹射入后，整个系统的转动惯量为 2254.691mlMI所以 srad/.子弹射入后，且杆仍然垂直时，系统的动能为21.3WIJ动当杆转至最大偏转角 时，系统动能为零，势能的增加量为3124coscosMglmgl
39、势由机械能守恒， 得势动 2.93.14 通过查阅文献，探讨计算刚体转动惯量的简化方法，写成小论文。参考文献：周海英、陈浩、张晓伟，巧算一类刚体的转动惯量，大学物理，2005 年第 24 卷第 2 期。 3.15 通过上网搜寻，查找对称陀螺规则进动在生活、生产中的应用事例，并进行分类。习题四4.1 简要回答下列问题：(1) 什么是力学相对性原理？(2) 假设光子在某惯性系中的速度为 ，那么，是否存在这样的一个惯性系，光子在这个惯c性系中的速度不等于 ？(3) 洛伦兹变换与伽利略变换的本质区别是什么？如何理解洛伦兹变换的物理意义？(4) 同时性的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？(5) 相
40、对论中运动物体长度缩短与物体的热胀冷缩是否一回事？(6) 长度的量度与同时性有什么关系？为什么长度的量度与参照系有关？(7) 相对论的能量与动量是什么关系？相对论的能量与质量是什么关系？(8) 相对论粒子的动能与牛顿力学中粒子的动能是什么关系？4.1 惯性系 相对惯性系 以速度 运动。当它们的坐标原点 与 重合时，KuO。在惯性系 中一质点作匀速率圆周运动，轨道方程为0t， ，22ayx 0z试证：在惯性系 中的观测者观测到该质点作椭圆运动，椭圆的中心以速度 运动。u提示：在惯性系 中的观测者观测到该质点的轨道方程为K。1)1(22ayautx证明：根据洛仑兹坐标变换关系 ,2t,z代入原方程
41、中，得到 21)(ayutx化简得 1)1(22ayautx所以，在 K 系中质点做椭圆运动，椭圆中心以速度 运动。u4.2 一观测者测得运动着的米尺长 ，问此米尺以多大的速度接近观测者？m5.0解：由相对论长度缩短关系 2/1cvL得到 smcv /1063/1 8820 4.3 如题图 4.3 所示，在 系的 平面内放置一固有长度为 的细杆，该细杆与KYXO 0轴的夹角为 。设 系相对于 系沿 轴正向以速率 运动，试求在 系中测x xuK得的细杆的长度 和细杆与 轴的夹角 。x，O X题图 4.3解：细杆在 系中的两个坐标上的投影分别为 K sinco0lyx细杆在 系中的两个坐标上的投影
42、分别为sinco/1/10202lyulxcux在 系中细杆的长度为K202202 /cssico/ llxl 与 X 轴正向夹角 为 2tanartnrt1/yxu4.4 一飞船以 的速率相对于地面假设地面为惯性系 匀速飞行。若飞船上的钟1309ms走了 的时间，用地面上的钟测量是经过了多少时间？s5解：根据相对论中时间延长关系 20)/(1cvT代入数据，可得 sT02.5)13/(0915284.5 已知 介子束的速度为 为真空中的光速 ，其固有平均寿命为 ，c7. s8105.在实验室中看来， 介子在一个平均寿命期内飞过多大距离？解：根据相对论中时间延长关系 20)/(1cvT代入数据
43、，可得 sT82865.37.015因此 mvS 01.3. 884.6 惯性系 相对另一惯性系 沿 轴作匀速直线运动，在惯性系 中观测到两个事件KKxK同时发生 轴上，且其间距是 ，在 系观测到这两个事件的空间间距是 ，求x1 m2系中测得的这两个事件的时间间隔。解：由相对论的同时性的两个等价关系 (1) (2)2/cvxut 2/cvxt联立两式得到xux xcv2)/(12)/(1x代入(2)式中得到 scvxt 98222 07.5)3/()1/)(/ 4.7 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同的地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时发生。 证明：令在
44、某个惯性系中两事件满足 ， 0tx则在有相对运动的另一个惯性系中(相对运动速度为 ),两事件的时间间隔是v222 )/(1/)/( ccucvxtut 由于 ， 且0x所以 ，即两事件一定不同时发生。t4.8 试证明：(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两 个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短；(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短。证明：(1) 设两事件在某惯性系中于同一地点发生，即 ，时间间隔为 ，则在另一个相对0xt运动速度为 的惯性系中，两事件的时间间隔为v tcvttucvxtut 22)/(1)/(所以，在原惯性系中时间间隔最短。(2) 设两事件在某惯性系中于同时发生，即 ，时间间隔为 ，则在另一个相对运动0tx速度为 的惯性系中，两事件的时间间隔为v cvxutvxu 2)/(1)(所以，在原惯性系中空间间隔最短。4.9 若电子 和电子 均以 为真空中的光速 的速度相对于实验室向右和向左飞行，ABc85.0问两者的相对速度是多少？解：设电子 向左飞行，电子 向右飞行。取实验室为 系、电子 为 系， 电子KB为运动质点，则有 ， 。由速度变换关系 ，得.xu.vc21cvuxx
