1、高三零模冲刺讲义 C 级考点讲解与训练之四解析几何 C 级考点回顾：直线的方程、圆的方程 一、课本回顾与拓展1.（P85 练习 3）已知两点 A（3,2） ，B(8，12) ，若点 C（ -2，a）在直线 AB 上，则实数 a=_.2.（P88 习题 9）直线 经过点 ，且与两条坐标轴的截距相等，则直线 的方程为l)1,3(l_. 3. （P88 习题 15）已知两条直线 和 都过点 A(1，2) ，则过两点01ybxa012ybx的直线的方程为_.),(),(21baP4.（P92 例 5 改编）在路边安装路灯，灯柱 与地面垂直， 与灯柱 所在平面与道路垂直，ABCAB，路灯 采用锥形灯罩，
2、射出的光线如图中阴影部分所示，已知 ，路宽0ABC 60CD米，设灯柱高 （米） ， （ ）4DABhC3045（1）求灯柱的高 （用 表示） ；（2）若灯杆 与灯柱 所用材料相同，记此用料长度和为 ，求 关于 的函数表达式，并求出S的最小值 S5. （P96 习题 9）已知三条直线 和 共有三个不同的交点，则082,01yxyx 053yaxCBA D实数 a 的取值范围是_.6.（P105 练习 3）直线 与直线 的距离为_.0546yxxy237.（P105 习题 4）已知 两点都在直线 上，且 两点的横坐标之差为 ，则 两点之BA, 1BA, 2BA,间的距离为_. 8.（P106 习
3、题 14）过点 作直线 ，使它被两条相交直线 和 所截得的线)0,3(Pl 02yx03yx段恰好被点 P 平分，则直线 的方程为_. l9.（P106 习题 16）已知光线通过点 A(2，3)，经直线 反射，其反射光线通过点 B(1,1),则反1射光线所在直线的方程为_.10.（P112 习题 12）已知点 与两定点 的距离之比为 ，那么点 的坐标满足的关系(,)Mxy(0,)3,OA2M为_. 11.（P116 例 2）过点 且与圆 切于原点的圆的方程为_. )6,0(A01:2yxC12.（P116 练习 2）若圆 与圆 相交，则实数 的取值范围是myx2 86m_.13.（P28 习题
4、 12）圆 被直线 所截得的弦的长度为_.0425xy14.（P117 习题 8）已知一个圆经过直线 与圆 的两个交点，xl： 01422yxC：并且有最小面积，则此圆的方程为_.15.（P128 习题 2）如果 ，那么直线 不经过第_象限. 0,BCA0ByA16.（P128 习题 19）已知点 ，若直线 与线段 恒有公共点，则实数)1,3(42kxAk的取值范围是_. 17.（P129 习题 29）已知圆 ，是否存在斜率为 1 的直线 ，使以 被圆 截042:2yx llC得的弦 为直径的圆过原点？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由. ABl18.（P33 习题 7）已知圆 ，
5、圆 ，若动圆 与圆 外切，且与圆1)(:21yxF9)1(:22yxFC1F内切，则动圆圆心 的轨迹方程为_. 2FC19.（P33 习题 8）设动点 到点 的距离是到直线 距离的 ，则点 的轨迹方程为P）0,( 3P_.20.（P37 习题 10）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，短轴的一个端点为 .)(12bayx 21,FP（1）若 为直角，则椭圆的离心率为_；21PF（2）若 为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是_. 21PF思考：已知椭圆 （ ） ， 是椭圆的左、右焦点，试问在椭圆上存在几个点 ，12byax0a21,FP使得 ？2121.（P37 习题 6）已知椭圆短轴上的两个三等分点与
6、两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为_.22.（P53 练习 1）抛物线 的焦点坐标为_，准线方程为_. yx223.（P74 习题 14）已知定点 ，抛物线 上的动点 到焦点的距离为 ，则 的最小),7(Qxy2PdPQ值为_.24. （P74 习题 15）若抛物线 的顶点是抛物线上到点 的距离最近的点，则实数 的取值x2),0(aAa范围是_.25.若椭圆 与双曲线 有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点 P（ ，求 m, 102myx12by ),310yb 的值分别为_.26. 已知 的一条内角平分线 CD 的方程为 ，两个顶点为 A(1，2), B(-1，-1)，则第三ABC 012
7、yx个顶点 C 的坐标为_.二、典例剖析例 1.（对称问题） （P106 习题 18）已知直线 ,3xyl：求：（1）直线 l 关于点 M（ 3,2）对称的直线的方程；（2）直线 关于 l 对称的直线的方程.02y变 1：（P106 习题 21）已知 点 P 在 x 轴上，且使 PM+PN 取最小值，则点 P 的坐标为),26(,31， NM_.变 2：（P129 习题 23）已知点 在 x 轴上取一点 P，使得 最大，则） ，（） ，（ -5, |NMP 点的坐标为_.变 3：已知点 P 为椭圆 上的动点，F 1 为椭圆的左焦点，定点 M（6，4） ，则 PM+PF1 的最大2156xy值为
8、 15变 4：自 发出的光线被 轴反射后射到圆 上，则光线走过的最短距离为),(-Ax 07-42yx_. 125变 5：在等腰三角形 中， 点 是边 上异于 的一点，光线从点 出发，经ABC=4， PAB, P发射后又回到原点 （如图）若光线 经过 的重心，则 等于,BCPQRCA_解答： 设 P（t，0） ，点 P 关于直线 AC 的对称点为 E，点 P 关于直线 BC 的对43称点为 F，则 E（ t，0） ，F（4，4 t） ，直线 QR 即直线 EF 为 ，又4tyxABC 的重心为（ ， ） ，代入直线 EF 的方程，得 AP = t = 3 3例 2.（和圆有关的八类轨迹问题）（
9、1）已知在 中， 的最大值为_ ABCABCSb,233（2）如果圆 上总存在两点到原点的距离为 1，则实数 m 的取值范围为4)()2myx（_.变 1：在平面直角坐标系 中，若满足 的点 都在以坐标原点为圆心，2 为半O)()(ykx),(x径的圆及其内部，则实数 的取值范围是_ 两圆内含和内切k,2变 2：若圆 上至少有三个不同点到直线 : 的距离为 ,则直线 斜2410xyl0aby2l率的取值范围是_. 32-，（3）平面内到 A(0，-3) 的距离为 1，到点 B（4,0）的距离为 2 的直线有_条.变：在平面直角坐标系 中，若与点 的距离为 且与点 的距离为 的直线恰有两条，则x
10、Oy),(A1)0,(mB3实数 的取值范围为_. 考察圆与圆的位置关系，研究公切线的条m323数（4）写出以 ， ,为直径的圆的方程_.),(1yxP)(2Q变：若点 G 为 的重心，且 AGBG ，则 的最大值为 ABCCsinxyBBAAODD（5）点 A，B 分别在 x 轴与 y 轴的正半轴上移动，且 AB2，若点 A 从( ，0)3移动到( ，0)，则 AB 中点 D 经过的路程为 . 单位圆212变：如图，线段 的长度为 1，端点 在边长不小于 1 的EFFE,正方形 的四边上滑动，当 沿正方形的四边滑动一周时， 的中点 所形成的轨迹为 ，ABCDEFMG若 的周长为 ，其围成的面
11、积为 ，则 的最大值为 GlSl（6）已知点 A(2 , 0)，B(4 , 0)，圆 ，P 是圆 C 上任意一点，问是否存在常数 ，使得2:416Cxy？若存在，求出常数 ；若不存在，请说明理由PB AB CDE FM O y x B A P C 变 1：已知点 A(2 , 0)，圆 ，P 是圆 C 上任意一点，问：在平面上是否存在点 B，使2:416Cxy得 ？若存在，求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由PB变 2：已知点 A(2 , 0)，B (4 , 0)，圆 ，P 是圆 C 上任意一点，若 为定值，则22:416CxybPABb 的值为_变 3：设圆 ，动圆 ，平面内是否存在定点
12、，2:(4)16Cxy2:2(8)420 Mxyaxya过点 作圆 的一条切线，切点为 ，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，使无穷多个圆 ，满足P1TPTM？如果存在，求出所有这样的点 ；如果不存在，说明理由.12T变4：在 中，点 在边 上，且 ， ，则实数 的取值范围为 .ABCDBC2DB:ADC3:1kk解：建立如图 1 所示平面直角坐标系，令 ，由 得到： ，即有,xy2()3xy，那么点 的轨迹为圆，并且得到其标准方程为： .又由题意28350xyx,Axy 219()8O C A B P y x C O xyMPT1T2知， ，那么 ，ADkC2()xyk；2224xy38516
13、+63xx易知 为关k于 的增函数；并且，圆上点的横坐标的范围为 ，x 57(,)42x代入得到： ，即 .2549(,)k57(,)3k（7）已知圆 M： 直线 l:y=kx,给出下列四个命题：,1sincos22yx（ 对任意实数 k 和 ,直线 l 与圆 M 相切； 对任意实数 k 和 ,直线 l 与圆 M 有公共点； 对任意实数 ,必存在实数 k， 使得直线 l 与圆 M 相切； 对任意实数 k， 必存在实数 ,使得直线 l 与圆 M 相切. 其中正确命题的序号为_. 思考 1：圆心的运动轨迹是什么？思考 2：圆扫过的面积是多少？ 4变 1：已知 和 是平面内互相垂直的两条直线，它们的
14、交点是 ，动点 分别在 和 上，且1l2 ACB,1l2，过 三点的动圆所形成的区域的面积为_3BCCBA,解答： ； 三点的动圆在以 为直径的圆上，以 的中点 为圆心，M 点的轨迹是以8B为圆心， 为半径的圆，所以动圆所形成的区域是是以 为圆心， 为半径的圆2 A23变 2：已知点 在椭圆 （ ）上运动，点 为椭圆的右焦点，以 为圆心， 为P12byax0aFPF半径做圆，当 在椭圆上扫过一周时，形成的轨迹图象的面积为_（8）在平面直角坐标系 中，若直线 与圆 和圆xOyl1:21yxC都相切，且两个圆的圆心均在直线 的下方，则直线 的斜率为49)25()25(:2 xC ll_ . 7 通
15、过对图形进行割补可得到最终结果。变 1：已知圆 （ ）2)3(: mymR（1）对任意 是否存在直线 与圆 都相切？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由；RlCl（2）给定圆 ；圆21211 )3()(:yxC 2221 )3()(: myx（ ） ，若两圆的公共弦所在直线的方程为 ，且公共弦长为 ，21,且 063求 和 的值.m变 2：设有一组圆 ，求这组圆的公切线方程)(4)3()1(: *22NkykxCk 变 3：一组圆 ，求这组圆的公切线方程.)0()()2(: 2mymxk变 4：有一组圆 四个命题中：224*:(1)(3)()kCxykN存在一条定直线与所有的圆均相切
16、 存在一条定直线与所有的圆均相交存在一条定直线与所有的圆均不相交 所有的圆均不经过原点其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）（9）已知圆 ，若圆上有且只有 4 个点到直线 的距离为 1，则 r 的取)0(22ryx 0243yx值范围是_.变：在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1，则2yx实数 c 的取值范围是_.例 3. 在平面内，已知椭圆 的两个焦点为 ，椭圆的离心率为 , 点是椭圆21(0)xyab12,F32P上任意一点,且 .124PF（1）求椭圆的标准方程；（2）以椭圆的上顶点 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形
17、，这样的等腰直角三角形是否存BABC在？若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程？若不存在，请说明理由解：（1）由题意得 ， 方程为： 243ac2c 1b21.4xy（2）设 的直线方程为设 ， （不妨设 ）BA1ykx0k由 得 ， 214ykx2(4)80128,41x228(,1)kA22 2()()4kkAB2814kBC由 得 ，即 ，即 或BC22(4)k2(1)3)0135所以，存在 3 个等腰直角三角形。 直角边所在直线方程为 35351,1,122yxxyx变 1：已知曲线 ，直线 ， 为坐标原点.2:Ca:0lkO（1）讨论曲线 所表示的轨迹形状； （2）当 ， 时，
18、求直线 被曲线 C 所截得的弦长；a2kl（3）若直线 与 x 轴的交点为 ，当 时，是否存在这样的以 为直角顶点的内接于曲线 的等腰lP0aPC直角三角形？若存在，求出共有几个？若不存在，请说明理由.解：（1），当 时，曲线表示焦点在 x 轴上的双曲线；2:1yCa当 时，曲线表示单位圆；当 时，曲线表示焦点在 x 轴上的椭圆；a01a当 时，曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆； （2）曲线 C 为单位圆，直线 ： ，圆心 O 到直线 的距离为l2xl，所以直线 被圆 O: 截得弦长为 .520d 1y5241故所求弦长为（3）由题意知点 ，设过点 的直线 与曲线 C 交于另一点 ，由(1,0)
19、P(1,0)1:()lykx(,)Axy222()ykxakxkaa， ； 2Ak2Ay同理可求过点 的直线 与曲线 C 交于另一点(1,0)P1:()lyxk(,)Bxy，2Baxk2Bya由 A2()(1)k22()(1)ak或2(1)00k当 时,存在三个满足条件的等腰直角三角形. 3a变 2：三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形已知点 A 是椭圆的一个短轴端点，如果以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率的取值范围是_. 6(,1)3可特殊化，取 b=1 便于计算，求出 a 的取值范围例 4.（1）已知 为椭圆 上的动点， 是圆 的动点，则 的最大值
20、为P1342yxQ042yxPQ_.从通法出发， ，其中 为圆 的圆心 2maxaxPCQ042yx34变：如果 是函数 图像上的点， 是函数 图像上的点，且 两点之间的距离M)(fyN)(gNM,能N取到最小值 ，那么将 称为函数 与 之间的距离.按这个定义，函数 和d)(xfy)(y xf)(之间的距离是 34)(2xxg 127（2）已知 B 是椭圆 的上下顶点，若 P 是椭圆上一动点，当 P 与 A 点重合时，PB21(0)yab的长度最大，则椭圆离心率的范围为_. 2,(变：已知 分别是双曲线 的左、右焦点， 为双曲线左支上任意一点，若 的最小值为12,F21yxabP21PF，则双
21、曲线的离心率的取值范围为 .8a提示： ，故(,322 211+4=8PFaPacF21三、自主练习1. 过点 1(,)2P的直线 l 与圆 2:(1)4Cxy交于 A，B 两点，当ACB 最小时，直线 l 的方程为 2. 点 M 是椭圆 上的点，以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F，圆 M 与 y 轴21(0)xyab相交于 P，Q，若PQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是_3. 已知过点 的直线 与 轴正半轴、 轴正半轴交于 两点，若 面积为 的直线条数）（ 8,lxyBA,OAS为 2 条，则 的取值范围是_. （考察直线的截距式、基本不等式的使用）答案：S ,164
22、. 设圆锥曲线 的两个焦点分别为 F1，F 2.若曲线 上存在点 P 满足|PF 1| F1F2|PF 2|432，则曲线 的离心率为_ 解：由题意可设：|PF 1|4m， |F1F2|3m ，|PF 2|2m，当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a|PF 1| PF2|4m2m 6m，焦距为 2c| F1F2|3m ，所以离心率 e ；ca 2c2a 3m6m 12当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为 2a|PF 1|PF 2|4m2m2m ，焦距为 2c| F1F2|3m，所以离心率e .ca 2c2a 3m2m 325. 方程 表示的曲线是_. 双曲线1)()1(22yx6. 椭圆 的左右焦点分别为
23、 ，若椭圆 上恰好有 6 个不同的点 ，使得2:1(0)xyCab12,FCP为等腰三角形，则椭圆 的离心率的取值范围是 12FPC1(,),32解：当 为底边时，则应满足 有解，但同时我们注意到cPF2ac7. 椭圆 ，过上顶点 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 两点，若以 为直21xya0,1A,BCA角顶点的等腰直角三角形 有且仅有 1 个，则实数 的取值范围_. ABCa1,38. 已知椭圆 C： (ab0)的上顶点为 A，左，右焦点分别为 F1， F2,且椭圆 C 过点 P( ， )，以2xy 43 b3AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2.（1）求椭圆 C 的方程；（2）若动直线 l
24、 与椭圆 C 有且只有一个公共点，试问：在 轴上是否存在两x定点，使其到直线 l 的距离之积为 1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由. 解： (1)因为椭圆过点 P( ， ),所以 =1,解得 a2=2, 又以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2.所以43 b3 169a2+19AF2F2P,即 =1, b2=c(43c)., 而 b2=a2c2=2c2,所以 c22c+1=0,解得 c2=1，故椭圆 C 的方程是bcb343c+y2=1.x22(2) 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 方程为 y=kx+p，代入椭圆方程得 (1+2k2)x2+4kpx+2p22=0. 因为直线
25、 l 与椭圆 C 有只有一个公共点，所以=16k 2p24(1+2 k2)(2p22)=8(1+2k 2p 2)=0，即 1+2k2=p2. 设在 x 轴上存在两点( s,0),(t,0),使其到直线 l 的距离之积为 1,则 = =1，即|ks+p|k2+1 |kt+p|k2+1|k2st+kp(s+t)+p2|k2+1(st+1)k+p(s+t)=0(*)，或(st+3)k 2+(s+t)kp+2=0 (*).由(*)恒成立,得 解得 ,或 ，而(*)不恒成立.st+1=0，s+t=0. ) s=1t=1) s=1t=1) 当直线 l 斜率不存在时，直线方程为 x= 时，2定点(1，0)
26、、F 2(1，0)到直线 l 的距离之积 d1 d2=( 1)( +1)=1. 2 2综上,存在两个定点(1,0),(1,0),使其到直线 l 的距离之积为定值 1.9. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 是椭圆 的左焦点， ， ，xOyF2:1(0)xyEabABxyO F2PAF11O xyMN分别为椭圆 的右、下、上顶点，满足 ，椭圆的离心率为 CE5FCBA12（1）求椭圆的方程；（2）若 为线段 （包括端点）上任意一点，当 取得最小值时，求点 的坐标；PFCPP（3）设点 为线段 （包括端点）上的一个动点，射线 交椭圆于点 ，若 ，求实MBMFNFM数 的取值范围10. 已知椭圆
27、过点 ，且它的离心率 直线 与椭)0(1:21bayxC)3,2( 21etkxyl:圆交于 、 两点1MN（1）求椭圆的标准方程；（2）当 时，求证： 、 两点的横坐标的平方和为定值；3kN（3）若直线 与圆 相切，椭圆上一点 满足 ，求实数 的取值l 1)(:22yxCPOPNM范围解：(1) 设椭圆的标准方程为 )0(12bayax(2) 由 ，得 ，设 ， ，16823yxt 43422tx),(1yxM),(2yxN则 为定值862)6(2)( 21121 ttx（3）因为直线 与圆 相切tkyl： 1y所以， )0(21| 22tt把 代入 并整理得：tkxy168y 0248)43(2tkx设 ，则有 ),(,)(21NM221tx2212121 436)(kttktxtky 因为， ， 所以，,(2121yOP )43(6,)(822kttP又因为点 在椭圆上， 所以， 1)43(6)43(822ktkt 因为 所以 ，1)(2432tkt 0t 1)(22tt所以 ，所以 的取值范围为 02),(),2(
