1、北京十一学校 2011 级高三数学 1 月练习（理） 20130103命题人：贺思轩一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项请将答案直接填在答题纸对应题号后的空格内1已知复数 ，则 等于（ B ）21izzA 0 B C 2 D -22已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ A ）A B 1C2 D 23已知非零向量 ， ， 满足 ，向量 ， 的夹角为abcabcab，且 ，则向量 与 的夹角为 （ B ）10|A B C D6901201504已知三条不重合的直线 m、n、l 与两个不重合的平面 、，有下列命题
2、：若 mn，n，则 m ；若 l，m 且 lm，则 ；若 m，n，m ，n ，则 ；若 ， m，n ，nm，则 n其中正确的命题个数是 （ B ）A1 B2 C3 D45如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ A ）A2 B C D243526已知抛物线 （ ）的焦点 恰好是双曲线 的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点xpy0F21yxab，F则该双曲线的离心率为（ C ）A B C D221227已知不等式组 ，表示的平面区域为 ，若直线 与平面区域 有公共点，10xyM3ykxM则 的取值范围是（ C ）kA B C D 1(,31(,31,031(,311主主主2222 2开始a
3、 =2，i=1i2010 1ai=i+1结束输出 a是否8PAB 所在的平面 和四边形 ABCD 所在的平面 垂直，且 AD，BC ，AD=4，BC=8，AB=6，APD=CPB，则点 P 在平面 内的轨迹是（ A ）A圆的一部分 B椭圆的一部分C双曲线的一部分 D抛物线的一部分二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分请将答案直接填在答题纸对应题号后的横线上9若 的展开式中的常数项为 ，则实数 _1123()ax20a10如图，圆 的弦 ED，CB 的延长线交于点 A若 BDAE，OAB4，BC2，AD3，则 DE_；CE_5； ；2711某食品厂为了检查一条自动包装流水线
4、的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克） ，重量的分组区间为（490，495， （495， 500， （510，515，由此得到样本的频率分布直方图，如右图所示根据此频率分布直方图，可知重量超过 500 克的产品共有_件2612有 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为_4813已知 ，A 是曲线1,yx与 围成的区域，若向区域 上随机投一点 P，则点 P 落入区域 A 的概率2xy21为 14已知 是等比数列， ， ， 是等差数列， ，其前 n项和 满足na2a764nb24
5、bnS在数列 中任取一项 ，在数列 中任取一项 ，记7214Sn1imn1jm“点 位于以原点为圆心，9 为半径的圆的内部”为事件 ijMb， A（）若 ，则 _；（）若 ，则整数 的最小值为_mPA10P答案： ； 1116三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （本小题满分 13 分）已知函数 ()23sin()2cos()s2fxxx（）求 的最小正周期和单调区间；（）在 ABC中， 、 、 分别是 A、 B、 C 的对边，若 4)(Af， 1b， ABCabc的面积为 23，求 a的值15.解：（） 2()sincosfxx3sin2co
6、3i()363 分.T4 分由 ， ，得 .226kxkZ36kxk所以函数 的单调递增区间为 ， . 6 分()f 6， Z函数 的单调递减区间为 ， . 7 分x 26k， k（）由 4)(Af， 43)sin()(Af ， .21)6sin(A又 BC为的内角， 6126，652A， .3A 8 分ABCS， 1b， 23sinc， c 10 分14o22 Aca， .3a13 分16 （本小题满分 13 分）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行 4 轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 、 、564、
7、，且各轮问题能否正确回答互不影响341（）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（）求该选手至多进入第三轮考核的概率；（）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列和期望X解：设事件 （ ）表示“该选手能正确回答第 轮问题”，iA1,234i由已知 ， ， ， ，5()6P()3()4PA41()3（）设事件 表示“ 该选手进入第三轮被淘汰 ”，B则 2 分123123()()(A.4 分5431()66（）设事件 表示“ 该选手至多进入第三轮考核 ”，C则 5 分1213()PA.6 分215431( ()62PA（III） 的可能取值为 .7 分X,4，8 分1()(6P
8、A，9 分251)()6，10 分1343()(X，11 分24)52PA所以， 的分布列为 134616212 分.13 分()123432EX17 （本小题满分 14 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1面 ABC，BCAC ，BC=AC=2 ，AA 1=3，D 为 AC 的中点（）求证：AB 1/面 BDC1；（）求二面角 C1BDC 的余弦值；（）在侧棱 AA1 上是否存在点 P，使得 CP面 BDC1？并证明你的结论DB1C1 BA1 ACz yx DB1C1 BA1 AC（I）证明： 连接 B1C，与 BC1 相交于 O，连接 ODBCC 1B1 是矩形，O 是 B1
9、C 的中点.又 D 是 AC 的中点，OD/AB 1.AB 1 面 BDC1，OD 面 BDC1，AB 1/面 BDC1. .4 分（II）解：如力，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0） ，B（0，3，2） ，C（0，3，0） ，A（2，3，0） ， D（1，3，0）设 =（x 1，y 1，z 1）是面 BDC1 的一个法向量，则n，即 ，取 .6 分10nCBD1320yzx1(,)32n易知 =(0，3，0)是面 ABC 的一个法向量.1二面角 C1BDC 的余弦值为 .10 分7361|,cos11 Cn 72（III ）假设侧棱 AA1 上存在一点 P（2，y，0） （0y3） ，
10、使得 CP面 BDC1.则 .37,)3(,1 yDCPB即方程组无解.假设不成立. 侧棱 AA1 上不存在点 P，使 CP面 BDC1. .14 分18 （本小题满分 14 分）设 R，函数 a21ln1fxax（）若函数 在点（0， ）处的切线方程为 ，求 a 的值；f 4yx（）当 时，讨论函数 的单调性1-+X1234P6162z yx DB1C1 BA1 AC所以 ，故 在 上是减函数； -7 分()0fx()fx1,)-+当 a=0 时，当 时， ，故 在 上是减函数，,-20xf=()fx1,0)-当 时， ，故 在 上是减函数，(0,)x+2()1fx-+()f,+)因为函数
11、在 上连续，所以 在 上是减函数； -9 分f,-fx1,-当 0a1 时，由 , 得 x= ，或 x= . -10 分2()01xaf=+ax 变化时， 的变化如情况下表：,f所以 ()fx在 上减、在 上减；在 为增. -13 分(1,)a-(,)a+(,)a-综上，当 时， 在 上是减函数； 当 0a1 时， 在 上为减函数、在 上0fx1- ()fx1,)a-(,)a+为减函数； 在 上为增函数. -14 分()f,)-19.解：（）由题意 得 ，所以 .2acaF21又 ,于 ，所以 为 的中点，所以 ,12AF1BFB121AFa所以 的外接圆圆心为 ，半径 .3 分(,0)1ra
12、又过 三点的圆与直线 相切，2、 、 :3gxy,解得 ， .13aa221,cbac故所求椭圆方程为 . 6 分243xy（）由（）知 ,设 的方程为： ，2(10)Fl )1(xky椭圆联立方程得 ，即 .43kxy224840k（ ）设交点为 ，因为 ，12(,)(,)MN0k(1,)aa-(,)a- (,)a()fx0 + 0 极小值fZ极大值()fa则 .8 分21212128,()34kxykx若存在点 ，使得以 为邻边的平行四边形是菱形，(0)Pm,PMN由于菱形对角线垂直，所以 .()0， 121212,),(,)MNxyxmyxy又 的方向向量是 ，故 ，k12，即 ，211
13、2()k2288()03434kkm由已知条件知 ，11 分,0Rk且22k，故存在满足题意的点 且 的取值范围是 .13 分104mPm)41,0(20. 解：（）选取 )2,(1xa，设 ,则 , 中有且只有一个为-12(,)astx120asxtst若 ,则 ;若 ,则 无解; 3 分sttxt 1所以只有 ; 4 分4（）证明：取 Yxa),(11.设 Ytsa),(2满足 021a.由 0)(1xts得 ts，所以 s、 t异号.因为-1 是 X 中唯一的负数，所以 、 中之一为-1 ，另一为 1，故 1X. 假设 kx，其中 nk，则 nx01.选取 n),(1，并设 ts),(2
14、满足 21，即 1nts，则 s、 t异号，从而 s、 t之中恰有一个为-1.若 ,则 与 矛盾;1nx0,nx若 =-1，则 nn1，矛盾.所以 x1=1. 8 分（）解法一猜测 iiq，i =1, 2, , n. 记 ,2kkxA ，k=2, 3, , n.先证明：若 1k具有性质 P，则 kA也具有性质 P.任取 ),(1tsa， 、 t .当 s、 t中出现-1 时，显然有 2a满足 021；当 且 时， 、 1.因为 k具有性质 P，所以有 ),(12a， s、 1t kA，使得 ，从而 1s和 t中有一个是-1，不妨设 =-1.假设 kA且 1 k，则 1kxt.由 0),(,kx
15、，得 1kxts，与 矛盾.所以 .从而 A也具有性质 P.现用数学归纳法证明： iiq，i=1, 2, , n.当 n=2 时，结论显然成立；假设 n=k 时， ,12kkx 有性质 P，则 1iiqx，i=1, 2, , k；当 n=k+1 时，若 ,1k 有性质 P，则 ,2kkxA也有性质 P，所以 ,1kqA .取 ),(1qxak，并设 )(2tsa满足 021a，即 01tsxk.由此可得 s 与 t 中有且只有一个为-1.若 t，则 矛盾,不可能；1kksx与所以 s， t，又 k，所以 kq1.综上所述， iixi，i=1, 2, , n. 13 分解法二设 ),(1tsa， ),(22tsa，则 021a等价于 21stts.记 |XBts，则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于原点对称.10 分注意到-1 是 X 中的唯一负数， ,32nxxB共有 n-1 个数，所以 ),0(也只有 n-1 个数.由于 1221 xxnn ，已有 n-1 个数，对以下三角数阵122xnnn 3121xn1x注意到 211xn ，所以 12211xxnn ，从而数列的通项公式为1)(2kkq，k=1, 2, , n. 13 分
