1、第 1 页 共 10 页2007 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2页第卷 3 至 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事
2、件 互斥，那么 球的表面积公式AB，()()PP 24SR如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径，球的体积公式()()A如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 p34V次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径nAkR()(1)(012)knknPCpn， ， ， ，一、选择题（1） 是第四象限角， ，则 （ ）5tasiA B C D515313（2）设 是实数，且 是实数，则 （ ）ai2aA B C D12（3）已知向量 ， ，则 与 （ ）(56)， ()，bbA垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向（4）已知双曲线的离心率为 ，焦点是 ， ，则
3、双曲线方程为（ ）2(40)， (，A B C D21xyxy216xy2160xy第 2 页 共 10 页（5）设 ，集合 ，则 （ ）abR， 10baa， ， ， ， aA B C D122（6）下面给出的四个点中，到直线 的距离为 ，且位于 表1xy10xy，示的平面区域内的点是（ ）A B C D(1)， (1)， ()， (1)，（7）如图，正四棱柱 中， ，则异面直1ADB12AB线 与 所成角的余弦值为（ ）11A B C D52354（8）设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则 （ a()logafx2a， 12a）A B C D2 4（9） ， 是定义在 上的函
4、数， ，则“ ， 均为()fxgR()()hxfgx()fxg偶函数”是“ 为偶函数”的（ ）hA充要条件 B充分而不必要的条件C必要而不充分的条件 D既不充分也不必要的条件（10） 的展开式中，常数项为 ，则 （ ）21nx15nA B C D346（11）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在2yFlF3轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积是（ ）xAK AKA B C D43438（12）函数 的一个单调增区间是（ ）22()cosxfxA B C D23， 6， 03， 6，第卷注意事项：AB11DC第 3 页 共 10 页1答题前，考生先在答题卡上
5、用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效3本卷共 10 题，共 90 分二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在横线上（13）从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种（用数字作答）（14）函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则()yfx3log(0)yxyx()fx（15）等比数列 的前
6、项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，则 的公比nanS12S3na为 （16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上已知正三棱柱的底面边长为 2，则该三角形的斜边长为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分 10 分）设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ， ABC， ， abc， ， 2sinA（）求 的大小；（）求 的取值范围cosin（18）（本小题满分 12 分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为1 2 3 4 5P0.4 0.2 0.2 0.1 0.1商场经销一件该商品，采用
7、 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元 表示经销一件该商品的利润（）求事件 ：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 ；A ()PA（）求 的分布列及期望 E（19）（本小题满分 12 分）四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 底面 已知SABCDABSBCAD， ， ， 45 23S（）证明 ；（）求直线 与平面 所成角的大小SDBCAS第 4 页 共 10 页（20）（本小题满分 12 分）设函数 ()exf（）证明： 的导数 ；()2fx（）若对所有 都有 ，求 的取值
8、范围0x a（21）（本小题满分 12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 过 的直线交椭圆于 两点，过213y1F21BD，的直线交椭圆于 两点，且 ，垂足为 2FAC， BDP（）设 点的坐标为 ，证明： ；P0()xy， 2013xy（）求四边形 的面积的最小值BD（22）（本小题满分 12 分）已知数列 中 ， ， na121()2nnaa13， ， ， （）求 的通项公式；（）若数列 中 ， ， ，nb12134nb123， ， ，证明： ， 432na ， ， ， 第 5 页 共 10 页2007 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+ 选修）参考答案一、选择题：（1
9、）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）A二、填空题：（13） （14） （15） （16）36()xR1323三、解答题：（17）解：（）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ，2sinabAsin2isnAB1si2B由 为锐角三角形得 BC 6B（） cosincosini6A13cossin2A3in由 为锐角三角形知，ABC， 2263，36所以 1sin232A由此有 ，3i所以， 的取值范围为 cosinAC2，第 6 页 共 10 页（18）解：（）由 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1
10、 期付款”A知 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”，2()10.4).16P(0.784A（） 的可能取值为 元， 元， 元253，(20)(1).，5()04PP(3)2510.2的分布列为 03P.4.4.20.45.32E（元）（19）解法一：（）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 底面SOBC AOSBC ADSOAD因为 ，所以 ，A又 ，故 为等腰直角三角形， ，45 由三垂线定理，得 S（）由（）知 ，依题设 ，BC ADBC故 ，由 ， ， ，得SAD 23S2O， 1O的面积 SB2211ABS连结 ，得 的面积D 2sin35AD设 到平面
11、的距离为 ，由于 ，得ShSBV，123hOA解得 ODBCAS第 7 页 共 10 页设 与平面 所成角为 ，则 SDAB2sin1hSD所以，直线 与平面 所成的我为 SCarci解法二：（）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 平面OB AOSBC ADSOACD因为 ，所以 SA又 ， 为等腰直角三角形， 45 如图，以 为坐标原点， 为 轴正向，建立直角坐标系 ，xxyz， ， ， ， ，(20)A， ， (20)B， ， (20)C， ， (1)S， ， (201)A， ， ，所以 C， ， SAB（）取 中点 ， ，E02， ，连结 ，取 中点 ，连结 ， SGO214，
12、， ， 214O， ， SE， ， (20)AB， ， ， 与平面 内两条相交直线 ， 垂直0SEA0BASSEAB所以 平面 ， 与 的夹角记为 ， 与平面 所成的角记为 ，则GSODD与 互余， (20)D， ， (21)， ， ，cosSOGAsin所以，直线 与平面 所成的角为 B2arcsi1（20）解：（） 的导数 ()fx()exfDBCASOEGyxz第 8 页 共 10 页由于 ，故 e2ex-xA ()2fx（当且仅当 时，等号成立）0（）令 ，则()gfa，exxf（）若 ，当 时， ，2a 0()e20xga故 在 上为增函数，()gx)， 所以， 时， ，即 ()x
13、()fx（）若 ，方程 的正根为 ，2a0g214lna此时，若 ，则 ，故 在该区间为减函数1(0)x， ()x()gx所以， 时， ，即 ，与题设 相矛盾， 0gfa()fxa综上，满足条件的 的取值范围是 a2 ，（21）证明：（）椭圆的半焦距 ，31c由 知点 在以线段 为直径的圆上，故 ，ACBD P2F201xy所以， 220013yx（）（）当 的斜率 存在且 时， 的方程为 ，代入椭圆方程k0BD(1)ykx，并化简得 213xy22(3)630xk设 ， ，则1()B， 2Dxy，12263kx2136k；222212 143(1)()()kBxxxAAB1FO2PDAyxC
14、第 9 页 共 10 页因为 与 相交于点 ，且 的斜率为 ，ACBPAC1k所以， 2214343()kk四边形 的面积ABCD2 2214(1)(1)9623353kkS 当 时，上式取等号21k（）当 的斜率 或斜率不存在时，四边形 的面积 BD0kABCD4S综上，四边形 的面积的最小值为 AC9625（22）解：（）由题设： 1(2)nnaa(21)，()n12()nnaa所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，n221，(1)nn即 的通项公式为 ， a(1)nna3， ， ， （）用数学归纳法证明（）当 时，因 ， ，所以1212ba，结论成立2ba（）假设当 时，结论成立，即 ，nk43k也即 430kk当 时，1第 10 页 共 10 页13422kkb()()3kb，(2)()0k又 ，1323kb所以 1()()kkb2(3)()kb431a42k也就是说，当 时，结论成立nk根据（）和（）知 ， 43nba 12， ， ，
