1、1专题二 第五讲A组1设 f(x) xsin x，则 f(x) ( B )导 学 号 52134324A既是奇函数又是减函数 B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数 D是没有零点的奇函数解析 f( x) xsin( x)( xsin x) f(x)， f(x)为奇函数又 f ( x)1cos x0， f(x)单调递增故选 B2(2017河南洛阳质检)若不等式 2xln x x2 ax3 对 x(0，)恒成立，则实数 a的取值范围是 ( B )导 学 号 52134325A(，0) B(，4C(0，) D4，)解析 x0,2xln x x2 ax3， a2ln x x .设 h(x)2ln 3
2、xx x (x0)，则 h( x) .当 x(0,1)时， h( x)0，函数 h(x)单调递增，所以 h(x)min h(1)4，所以a h(x)min4，故 a的取值范围是(，43(2017河北衡水中学调研)已知函数 f(x) 的两个极值点x33 mx2 m n x 12分别为 x1， x2，且 x1(0,1)， x2(1，)，点 P(m， n)表示的平面区域为 D，若函数ylog a(x4)( a1)的图象上存在区域 D内的点，则实数 a的取值范围是( A )导 学 号 52134326A(1,3) B(1,3 C(3，) D3，)解析 f ( x) x2 mx 0 的两根为 x1， x
3、2，且 x1(0,1)， x2(1，)，m n2则Error! Error!即Error!作出区域 D，如图阴影部分，2可得 loga(14)1，所以 10，则函数 F(x) xf(x) 的零点个数是 ( B )f xx 1x 导 学 号 52134327A0 B1 C2 D3解析 x0 时， f ( x) 0，f xx 0，即 0. xf x f xx xf x x当 x0时，由式知( xf(x)0， U(x) xf(x)在(0，)上为增函数，且 U(0)0 f(0)0， U(x) xf(x)0在(0，)上恒成立又 0，1x F(x)0在(0，)上恒成立， F(x)在(0，)上无零点当 x0
4、在(，0)上恒成立， F(x) xf(x) 在(，0)上为减函数1x当 x0 时， xf(x)0， F(x) 0，3 F(x)在(，0)上有唯一零点综上所述， F(x)在(，0)(0，)上有唯一零点故选 B5若 f(x) x33 ax23( a2) x1 有极大值和极小值，则 a的取值范围为_(，1)(2，)_. 导 学 号 52134328解析 f ( x)3 x26 ax3( a2)，由题意知 f ( x)0 有两个不等的实根，故(6 a)2433( a2)0，即 a2 a20，解得 a2或 a0，即 kx22 x对任意 x(0,2)恒成立，从而 k0，所以由 0，函数 f(x)在(1,2
5、)上单调递增，当 x(0,1)时， f ( x) 65解析 (1)函数 f(x)ln x ax的定义域为 x|x0，所以 f ( x) a1x若 a0，则 f ( x)0， f(x)在(0，)内单调递增；若 a0，得 0 ，1x 1a f(x)在( ，)内单调递减1a(2)证明：ln x1 ax10，ln x2 ax20，4ln x2ln x1 a(x1 x2)(x1 x2)f ( x1 x2)( x1 x2)( a) 1x1 x2 x1 x2x1 x2a(x1 x2) ln ln x1 x2x1 x2 x2x11 x2x11 x2x1 x2x1令 te 2，令 (t) ln t，x2x1 1
6、 t1 t则 ( t) 0，t2 1 1 t 2t (t)在e 2，)内单调递增， (t) (e2)1 1 2e2 1 232 1 658(2017珠海模拟)某造船公司年最大造船量是 20艘，已知造船 x艘的产值函数为R(x)3 700x 45x210 x3(单位：万元)，成本函数为 C(x)460 x5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x) f(x1) f(x).导 学 号 52134331(1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (提示：利润产值成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润
7、函数 MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解析 (1) P(x) R(x) C(x)10 x345 x23 240 x5 000( xN *，且 1 x20)；MP(x) P(x1) P(x)30 x260 x3 275( xN *，且 1 x19)(2)P( x)30 x290 x3 24030( x12)( x9)，因为 x0，所以 P( x)0 时， x12，当 00，当 x12时， P( x)2f(1) B f(0) f(2)2 f(1)C f(0) f(2)1时， f ( x)0，此时函数 f(x)递增，即当 x1 时，函数 f(x)取得极小值同时也取得
8、最小值 f(1)，所以 f(0)f(1)，f(2)f(1)，则 f(0) f(2)2f(1)故选 A2(2017河北秦皇岛二模)已知函数 f(x) x(ln x ax)有两个极值点，则实数 a的取值范围是 ( B )导 学 号 52134333A(，0) B(0， ) 12C(0,1) D(0，)解析 f(x) x(ln x ax)， f ( x)ln x2 ax1，故 f ( x)在(0，)上有两个不同的零点，令 f ( x)0，则 2a ，设 g(x) ，则 g( x)ln x 1x ln x 1x， ln xx2 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又当 x0 时， g
9、(x)，当 x时， g(x)0，而 g(x)max g(1)1，只需 00， bR)，若对任意x0， f(x) f(1)，则 ( A )导 学 号 52134334Aln a2 b Dln a2 b解析 f ( x)2 ax b ，由题意可知 f (1)0，即 2a b1，由选项可知，1x只需比较 ln a2 b与 0的大小，而 b12 a，所以只需判断 ln a24 a的符号构造一个新函数 g(x)24 xln x，则 g( x) 4，令 g( x)0，得 x ，当 x 时， g(x)为减函数，所以对任意 x0有 g(x) g( )1ln 40， f(x)单调递增； x( x1， x2)时，
10、 f ( x)0， f(x)单调递增 x1为极大值点， x2为极小值点方程 3(f(x)22 af(x) b0 有两个不等实根，f(x) x1或 f(x) x2 f(x1) x1，由图知 f(x) x1有两个不同的解， f(x) x2仅有一个解故选 A4(2017广州模拟)已知 y f(x)为 R上的连续可导函数，且 xf ( x) f(x)0，则函数 g(x) xf(x)1( x0)的零点个数为_0_. 导 学 号 52134336解析 因为 g(x) xf(x)1( x0)， g( x) xf ( x) f(x)0，所以 g(x)在(0，)上单调递增，又 g(0)1， y f(x)为 R上
11、的连续可导函数，所以 g(x)为(0，)上的连续可导函数，所以 g(x)g(0)1，所以 g(x)在(0，)上无零点5(2017武汉模拟)已知函数 g(x)满足 g(x) g(1)e x1 g(0)x x2，且存在实12数 x0使得不等式 2m1 g(x0)成立，则 m的取值范围为_1，)_. 导 学 号 52134337解析 g( x) g(1)e x1 g(0) x，当 x1 时， g(0)1，由 g(0) g(1)e01 ，解得 g(1)e，所以 g(x)e x x x2，则 g( x)e x1 x，当 x0时， g( x)0，所以当 x0 时，函数 g(x)取得最小值 g(0)1，根据
12、题意将不等式转化为 2m1 g(x)min1，所以 m16已知函数 f(x) x aln x1. 导 学 号 52134338(1)当 aR 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若 f(x) 0 对于任意 x1，)恒成立，求 a的取值范围ln x2x解析 (1)由 f(x) x aln x1，得 f ( x)1 ，ax x ax7当 a0 时， f ( x)0， f(x)在(0，)上为增函数，当 a a时 f ( x)0，所以 f(x)在(0， a)上为减函数上恒成立，f ( x)在( a，)上为增函数(2)由题意知 x aln x1 0 在 x1，)，ln x2x设 g(x) x aln
13、x 1， x1，)，ln x2x则 g( x)1 ax 1 ln x2x2 ， x1，)，2x2 2ax 1 ln x2x2设 h(x)2 x22 ax1ln x， h( x)4 x 2 a，1x当 a0 时，4 x 为增函数，所以 h( x) a0，1x 32所以 g(x)在1，)上单调递增， g(x) g(1)0，当 a0时， h( x) a0，32 32所以 g(x)在1，)上单调递增， g(x) g(1)0，当 a 时，当 x1， 时，2 a12 x，32 2a 12由(1)知 ，当 a1 时， xln x10，ln x x1，ln x 1， h(x)2 x22 axln x12 x22 ax 2 x22 ax x2 x2(2 a1)1x 1xx0，此时 g( x)0，所以 g(x)在1， 上单调递减，2a 12在1， )上， g(x)g(1)0，不符合题意2a 12综上所述 a 32
