1、N 与 P 的等价性自然演绎系统 N 和公理系统 P 中的形式推演具有等价性。定理 如果 PA 则 NA（其中 P和 N分别表示推演在 P 中或在 N中进行） 。证明定理 如果 NA 则 PA 。证明命题演算 P 的解释我们之前关于 P 的研究是语法性质的，只涉及到符号或符号串之间的形式关系，并未涉及符号或符号串的意义。下面给出的是 P 在命题逻辑下的解释，使 P 成为一个关于命题逻辑的演绎系统，P 中公式表示命题形式，P 中定理表达命题逻辑的有效推理形式或逻辑规律。相关研究称为 P 的语义理论（或赋值理论） 。在建立 P 的语言时，我们把 P 的第一类符号 p1，p 2， 解释为命题变元，命
2、题的真值非“真”即“假” ，并分别以符号 T 和 F 表示。把第二类符号和分别称为否定词和蕴涵词，解释为命题联结词。在这样的解释下，P 的每一公式不再是纯粹的符号组合，而拥有了真值意义。在确定一个公式中出现的命题变元的真值后，可以根据联结词的意义确定这个公式的真值。对命题变元指定确定的真值称为对命题变元的真值指派。根据上面的直观的解释，有下面的定义：定义 对 P 的公式的一个真值赋值 是对 P 的每一公式 A 指定一个真值A (读做“赋值下 A 的值” ，取值非真即假) 的一个映射，即从 P 的公式集合 Fp 到 T,F上的一个映射 ：F pT,F，使得(1) 对每个原子公式（命题变元）指派一
3、个真值；(2) (A) =T 当且仅当 A =F；(3) (AB) =T 当且仅当 A =F 或者 B =T。 上述定义的（2） （3）可用真值表的形式表示。公式含有的所有命题变元获得解释后，通过真值表可以获得公式的真值。定义 设是 P 的一个真值赋值，是 P 的一个公式集合。如果对每个A，都有 A =T，则说满足，记作 。如果存在一个真值赋值，使得 ，就说公式集合是可满足的。如果是只有一个公式 A 组成的集合，可以将 A 简记为 A。如果存在一个真值赋值 ，使得A，就说公式 A 是可满足的。定义 P 的一个公式 A 称为重言式（永真式） ，如果对 P 的任意一个真值赋值，都有 A =T。定义
4、 P 的一个公式 A 称为矛盾式（永假式/不可满足式） ，如果对 P 的任意一个真值赋值，都有 A =F。定理 P 的公式 A 是一个重言式，当且仅当A 不可满足。证明定理 P 中的公理都是重言式。证明 从真值表易知。定理 设 A、B 都是 P 中公式，若 A 和 AB 都是重言式，则 B 也是重言式。证明定理 （代入定理同样成立）定理 （等值置换定理同样成立）定义 如果 P 的任意一个满足公式集的真值赋值 ()都能满足公式 A (A) ，那么称 A 是的重言继承（A 是的逻辑推论/可逻辑推出A） ，记作A（或A ） 。如果 A 是空的公式集的重言继承，可以将 A 简记作A。定理 公式 A 是
5、重言式当且仅当 A 。证明 空集中没有公式，没有一个 P 的真值赋值 会使得空集中的公式的值是 F，即每一都满足空集。A 是空集的重言继承，所以每一 都满足 A，即 A 是一个重言式。 反过来，如果 A 是重言式，P 的每一 都满足它，A 可以是任何公式集的重言继承，因此也是空集的重言继承。要证明一个公式 A 不是公式集 的重言继承，只需找到一个 P 的赋值， 能够满足中的每一公式( ) ，但不能满足 A (非 A)。注意“非 A”和“ A”是有区别的。重言继承关系与可满足性之间有下面定理陈述的关系：定理 对于 P 的公式集和公式 A，A 当且仅当 A不可满足。证明定理 P 的公式 B 是A
6、1，A 2，.，A n的重言继承当且仅当公式A1(AnB) 是一个重言式。证明定义 P 的两个公式 A 和 B 是重言等值（逻辑等值）的如果它们是彼此的重言继承。即对 P 中任意的赋值，A = B。P 系统的可靠性和协调性引理 对 P 的两个公式 A 和 B，有 A， ABB 。证明引理表明，在保真性的意义下，即“如果 A = (AB) =T，则B=T”，分离规则是可靠的。应用分离规则从真的前提确实得出了真的结论。可靠性定理 对 P 的公式集和 P 的公式 A，如果 A，则 A。特别地，如果A，则 A 。 （这里的“” 指 P 上的推演）证明可靠性定理表明命题演算 P 是可靠的：命题演算 P
7、在反映命题逻辑范围内的推理规律方面是可靠的，P 的定理都是重言式。一个命题形式如果应用 P 所提供的工具从一定的前提可推演，那么它一定是这些前提的重言继承。可靠性定理也表明命题演算 P 是协调的：在 P 中不可能推出逻辑矛盾。定义 一个公式集是协调的，如果不存在一个公式 A，使得A 并且A。 （或：一个系统是协调的，如果不存在一个系统的公式 A，使得A 和A 在系统中都是可证的。 ）定理 命题演算 P 是协调的。证明定理 P 的任何可满足的公式集合都是协调的。证明定理 对公式集和公式 A，下面两个命题等价：(1) 是不协调的；(2) 对所有的 A，有 A。证明推论 公式集是协调的当且仅当存在一
8、个公式 A，A 不是从可推演的。定理 对公式集和公式 A，(1) A 当且仅当 A是不协调的；(2) 如果 是协调的并且A，则A 是协调的；(3) 如果 是协调的则 A是协调的或者A是协调的。证明（略）P 系统的完全性完全性定理 对 P 的公式集和 P 的公式 A，如果 A，则 A。特别地，如果A，则 A 。 （语义完全性）证明（略）可靠性定理和完全性定理表明，命题演算 P 具有可靠性和完全性，即 A 当且仅当A。此时语法推出关系和语义推出关系具有一致性。在命题演算中判断一个公式 A 是否为可语法推出的，转换为判断 A 是否为重言式。命题逻辑中的重言式判断可通过构造其真值表实现，实现过程使用的是有限的机械方法，因此该问题是可判定的，称命题演算具有可判定性。
