1、1高考达标检测（三十三） 空间向量 2 综合折叠、探索1如图所示，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， MD平面 ABCD， NB平面 ABCD，且 MD NB1， E 为 BC 的中点(1)求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值；(2)在线段 AN 上是否存在点 S，使 ES平面 AMN？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由解：(1)由题意知， DA， DC， DM 两两垂直，故以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 D xyz.由题意易得 D(0,0,0)， A(1,0,0)， M(0,0,1)， C(0,1,0)， B(1,1,0)，N(1,1,1)， E ，(12
2、， 1， 0) ， (1,0,1)NE ( 12， 0， 1) AM |cos ， | ，NE AM 1252 2 1010异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值为 .1010(2)假设在线段 AN 上存在点 S，使 ES平面 AMN，连接 AE. (0,1,1)，可设 (0， ， )，AN AS AN 又 ， .EA (12， 1， 0) ES EA AS (12， 1， )由 ES平面 AMN，得 即Error!故 ，此时 ，| | ，12 AS (0， 12， 12) AS 22经检验，当 AS 时， ES平面 AMN.22故线段 AN 上存在点 S，使得 ES平面 AMN，此时 AS
3、 .222如图 1，在 ABC 中， C90， AC BC3 a，点 P 在 AB 上， PE BC 交 AC 于点E， PF AC 交 BC 于点 F.沿 PE 将 APE 翻折成 A PE，使得平面 A PE平面 ABC；沿 PF将 BPF 翻折成 B PF，使得平面 B PF平面 ABC，如图 2.(1)求证： B C平面 A PE；(2)若 AP2 PB，求二面角 A PCB的正切值2解：(1)证明：因为 FC PE， FC平面 A PE， PE平面 A PE，所以 FC平面 A PE.因为平面 A PE平面 ABC，且平面 A PE平面 ABC PE， A E PE，所以 A E平面
4、 ABC.同理 B F平面 ABC，所以 B F A E，从而 B F平面 A PE.又 FC B F F，所以平面 B CF平面 A PE，从而 B C平面 A PE.(2)法一：因为 AC BC3 a， AP2 PB，所以 CE a， EA2 a， PE2 a， PC a.5如图，过 E 作 EM PC，垂足为 M，连接 A M.由(1)知 A E平面 ABC，可得 A E PC，所以 PC平面 A EM，所以 A M PC.所以 A ME 即二面角 A PCE 的平面角在 Rt PEC 中，由等面积法易得 EM a，CEPECP 255所以在 Rt A EM 中，可得 tan A ME
5、.A EEM 2a255a 5过 F 作 FN PC，垂足为 N，连接 B N.同理可得 B NF 即二面角 B PCF 的平面角，且 tan B NF .B FFN a255a 52设二面角 A PCB的大小为 ，则 A ME B NF，所以 tan tan( A ME B NF) ，5 521 552 5即二面角 A PCB的正切值为 .5法二：易知 EC， EP， EA两两垂直，可建立如图 所3示的空间直角坐标系 Exyz.则 C(a,0,0)， P(0,2a,0)， A(0,0,2 a)， B( a,2a， a)所以 ( a,0，2 a)， (0,2 a，2 a)，A C A P (0
6、，2 a， a)， ( a,0， a)B C B P 设平面 A CP 的一个法向量为 m( x， y,1)，则 即Error!解得Error!所以平面 A CP 的一个法向量为 m(2,1,1)设平面 B CP 的一个法向量为 n( x， y，1)，则 即Error!解得Error!所以平面 B CP 的一个法向量为 n .( 1， 12， 1)设二面角 A PCB的大小为 ，易知 为锐角，则 cos ，|mn|m|n| 32|632 66从而可得 tan ，即二面角 A PCB的正切值为 .5 53.在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是菱形， ADNM 是矩形，平面 ADNM平面 A
7、BCD， DAB60， AD2， AM1， E 为 AB 的中点(1)求证： AN平面 MEC；(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使二面角 PECD 的大小为 ？若存在，求出 AP 的长 6h；若不存在，请说明理由解：(1)证明：如图，连接 NB 交 MC 于点 F，连接 EF.由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形， F 是 BN 的中点，又 E 是 AB 的中点， AN EF.又 EF平面 MEC， AN平面 MEC， AN平面 MEC.(2)假设线段 AM 上存在点 P，使二面角 PECD 的大小为 . 6在 AM 上取一点 P，连接 EP， CP.由于四边形 ABCD 是菱形，且
8、 DAB60， E 是 AB 的中点，可得 DE AB，所以 DE CD.因为四边形 ADNM 是矩形，所以 DN AD.4又平面 ADNM平面 ABCD，平面 ADNM平面 ABCD AD， DN平面 ABCD，以 DE， DC， DN 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0,0,0)， E( ，0,0)， C(0,2,0)，3P( ， 1， h)，则 ( ，2,0)， (0， 1， h)，3 CE 3 EP 设平面 PEC 的法向量为 n1( x， y， z)，则 Error!令 y h，则 n1(2 h， h， )，3 3 3又平面 DE
9、C 的法向量 n2(0,0,1)，cos n1， n2 ，解得 h ，n1n2|n1|n2| 37h2 3 32 77在线段 AM 上存在点 P，使二面角 PECD 的大小为 ，此时 h . 6 774如图，已知在长方形 ABCD 中， AB2， A1， B1分别是边 AD， BC 上的点，且AA1 BB11， A1E 垂直 B1D 于 E， F 为 AB 的中点把长方形 ABCD 沿直线 A1B1折起，使得平面 AA1B1B平面 A1B1CD，且直线 B1D 与平面 AA1B1B 所成的角为 30.(1)求异面直线 A1E， B1F 所成角的余弦值；(2)求二面角 FB1DA1的余弦值解：由
10、已知条件可得 A1A， A1B1， A1D 两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系，由已知 AB2， AA1 BB11，可得 A1(0,0,0)，B1(2,0,0)， F(1,0,1)又 A1D平面 AA1B1B，所以 B1D 与平面 AA1B1B 所成的角为 DB1A130，又 A1B1 AB2， A1E B1D，所以 A1E1， A1D，从而易得 E ， D .233 (12， 32， 0) (0， 233， 0)(1)因为 ， (1,0,1)，A1E (12， 32， 0) B1F 所以 cos ， .A1E B1F 122 245所以异面直线 A1E， B1F 所成角的余弦值为 .24(2)易知平面 A1B1CD 的一个法向量 m(0,0,1)设 n( x， y， z)是平面 B1DF 的法向量，易知 ，B1D ( 2， 233， 0)所以 即Error!令 x1，得 n(1， ，1)3所以 cos m， n .mn|m|n| 55由图知二面角 FB1DA1为锐角，所以二面角 FB1D A1的余弦值为 .55
