1、1配餐作业(六十五) 两个计数原理(时间：40 分钟)一、选择题1教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有( )A10 种 B2 5种C5 2种 D2 4种解析 每相邻的两层之间各有 2 种走法，共分 4 步，由分步乘法计数原理，共有 24种不同的走法。故选 D。答案 D2设集合 A1,2,3,4， m， n A，则方程 1 表示焦点位于 x 轴上的椭圆有( )x2m y2nA6 个 B8 个C12 个 D16 个解析 分三类，当 n1 时，有 m2,3,4，共 3 个；当 n2 时，有 m3,4，共 2 个；当 n3 时，有 m4，共 1 个。由分类加法计数原理得共有 321
2、6(个)。故选 A。答案 A3小明有 4 枚完全相同的硬币，每枚硬币都分正反两面，他想把 4 枚硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有( )A4 种 B5 种C6 种 D9 种解析 记反面为 1，正面为 2，则正反依次相对有 12121212,21212121 两种；有两枚反面相对有 21121212,21211212,21212112 三种，共有 325(种)摆法。故选 B。答案 B4从集合1,2,3,4，10中，选出 5 个数组成子集，使得这 5 个数中任意两个数的和都不等于 11，则这样的子集有( )A32 个 B34 个C36 个 D38 个解析 将和等于 1
3、1 的放在一组：1 和 10,2 和 9,3 和 8,4 和 7,5 和 6。从每一小组中取一个，有 C 2 种，共有 2222232 个。故选 A。12答案 A5如果一个三位正整数如“ a1a2a3”满足 a1a3，则称这个三位数为凸数(如2120,343,275 等)，那么所有凸数的个数为( )A240 B204C729 D920解析 若 a22，则“凸数”为 120 与 121，共 122 个；若 a23，则“凸数”有 236 个；若 a24，则“凸数”有 3412 个；若 a29，则“凸数”有 8972 个。所有凸数有 26122030425672240 个。答案 A6从2、1、0、1
4、、2、3 这六个数字中任选 3 个不重复的数字作为二次函数y ax2 bx c 的系数 a、 b、 c，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线的条数为( )A6 B20C100 D120解析 根据题意可知， c0， a0。分三步：第一步 c0 只有 1 种方法；第二步确定 a， a 从2、1 中选一个，有 2 种不同方法；第三步确定 b， b 从 1、2、3 中选一个，有 3 种不同的方法。根据分步乘法计数原理得 1236 种不同的方法。故选 A。答案 A7高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A16 种
5、 B18 种C37 种 D48 种解析 自由选择去四个工厂有 43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有 33种方法，故不同的分配方案有 433 337 种。故选 C。答案 C8某大楼安装了 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这 5 个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )A1 205 秒 B1 200 秒C1 195 秒 D1 190 秒解析 要实现所有不同的闪烁且需要
6、的时间最少，只要所有闪烁连续地、不重复地依次闪烁一遍。而所有的闪烁共有 A 120 个；因为在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩53灯闪亮，即每个闪烁的时长为 5 秒，而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒，所以要实现所有不同的闪烁，需要的时间至少是 120(55)51 195 秒。故选 C。答案 C二、填空题9若在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，则一个正五棱柱对角线共有_条。解析 如图，在正五棱柱 ABCDE A1B1C1D1E1中，从顶点 A 出发的对角线有两条：AC1， AD1，同理从 B， C， D， E 点出发的对角线也有两条，共 2510(条)。
7、答案 1010将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格中，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有_种。解析 编号为 1 的方格内填数字 2，共有 3 种不同填法；编号为 1 的方格内填数字 3，共有 3 种不同填法；编号为 1 的方格内填数字 4，共有 3 种不同填法。于是由分类加法计数原理，得共有 3339 种不同的填法。答案 9112015 北京世界田径锦标赛上，8 名女运动员参加 100 米决赛。其中甲、乙、丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8 名运动员比赛的方式共有_种。解析 分两步安排这 8 名运动
8、员。第一步：安排甲、乙、丙三人，共有 1,3,5,7 四条跑道可安排。所以安排方式有43224 种。第二步：安排另外 5 人，可在 2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有 54321120 种。所以安排这 8 人的方式有 241202 880 种。答案 2 88012用红，黄，蓝，绿，黑这 5 种颜色给如图所示的四连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为_。解析 根据题意，红色至少要涂两个圆，而且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则红色4只能涂第一、三个圆、第二、四个圆或第一、四个圆，分 3 种情况讨论：用红色涂第一、三个圆，此时第 2
9、 个圆不能为红色，有 4 种涂色方法，第 4 个圆也不能为红色，有 4 种涂色方法，则此时共有 4416(种)涂色方案；同理，当用红色涂第二、四个圆也有 16 种涂色方案；用红色涂第一、四个圆，此时需要在剩下的 4 种颜色中，任取 2 种，涂在第二、三个圆中，有 A 12(种)涂色24方案；则一共有 16161244(种)不同的涂色方案。答案 44(时间：20 分钟)1若自然数 n 使得作竖式加法 n( n1)( n2)时均不产生进位现象，则称 n 为“良数” 。例如：32 是“良数” ，因为 323334 不产生进位现象；23 不是“良数” ，因为232425 产生进位现象。那么小于 1 0
10、00 的“良数”的个数为( )A27 B36C39 D48解析 一位数的“良数”有 0,1,2，共 3 个；两位数的“良数” ，个位数可取 0,1,2，十位数可以是 1,2,3，两位数的“良数”有 10,11,12,20,21,22,30,31,32，共 9 个；三位数的“良数”百位数可以为 1,2,3，十位数可以为 0,1,2,3，个位数可以为 0,1,2，共有34336(个)。根据分类加法计数原理，共有 48 个小于 1 000 的“良数” 。故选 D。答案 D2(2016全国卷)定义“规范 01 数列” an如下： an共有 2m 项，其中 m 项为0， m 项为 1，且对任意 k2 m
11、， a1， a2， ak中 0 的个数不少于 1 的个数。若 m4，则不同的“规范 01 数列”共有( )A18 个 B16 个C14 个 D12 个解析 由题意可得 a10， a81， a2， a3， a7中有 3 个 0、3 个 1，且满足对任意k8，都有 a1， a2， ak中 0 的个数不少于 1 的个数，利用列举法可得不同的“规范 01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010
12、101，共 14 个。故选 C。答案 C3已知集合 M1,2,3， N1,2,3,4，定义函数 f： M N。若点 A(1， f(1)、5B(2， f(2)、 C(3， f(3)， ABC 的外接圆圆心为 D，且 ( R)，则满足条DA DC DB 件的函数 f(x)有( )A6 种 B10 种C12 种 D16 种解析 由 ( R)，说明 ABC 是等腰三角形，且 BA BC，必有 f(1)DA DC DB f(3)， f(1) f(2)。当 f(1) f(3)1 时， f(2)2、3、4，有三种情况；f(1) f(3)2， f(2)1、3、4，有三种情况；f(1) f(3)3， f(2)2、1、4，有三种情况；f(1) f(3)4， f(2)2、3、1，有三种情况。因而满足条件的函数 f(x)有 12 种。故选 C。答案 C4如图，将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移，组成一个首尾相接的三角形，则三条线段一共至少需要移动_格。解析 如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，根据平移的基本性质知：左边的线段向右平移 3 格，中间的线段向下平移 2 格，最右边的线段先向左平移 2 格，再向上平移 2 格，此时平移的格数最少为 32229，其他平移方法都超过 9 格，至少需要移动 9 格。答案 9
