1、专题强化四 动力学中三种典型物理模型专题解读 1.本专题是动力学方法在三类典型模型问题中的应用，其中等时圆模型常在选择题中考查，而滑块木板模型和传送带模型常以计算题压轴题的形式命题.2.通过本专题的学习，可以培养同学们审题能力、建模能力、分析推理能力和规范表达等物理学科素养，针对性的专题强化，通过题型特点和解题方法的分析，能帮助同学们迅速提高解题能力.3.用到的相关知识有：匀变速直线运动规律、牛顿运动定律、相对运动的有关知识.一、 “等时圆”模型1.两种模型(如图 1)图 12.等时性的证明设某一条光滑弦与水平方向的夹角为 ，圆的直径为 d(如图 2).根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线
2、运动，加速度为 agsin ，位移为 sdsin ，所以运动时间为 t0 2sa .2dsin gsin 2dg图 2即沿同一起点或终点的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关.二、 “传送带”模型1.水平传送带模型项目 图示 滑块可能的运动情况情景 1可能一直加速可能先加速后匀速情景 2v 0v，可能一直减速，也可能先减速再匀速v 0v，一直匀速v 0v 返回时速度为 v，当 v0t2t3 C.t3t1t2 D.t1t 2t 3答案 D解析 如图所示，滑环在下滑 过程中受到重力 mg 和杆的支持力 FN 作用.设杆与水平方向的夹角为 ，根据牛顿第二定律有 mgsin ma ，
3、得加速度大小 agsin .设圆周的直径为 D，则滑环沿杆滑到 d 点的位移大小 xD sin ，x at2，解得 t .可见，滑 环滑到 d 点的时间 t12 2Dg与杆的倾角 无关，即三个滑环滑行到 d 点所用的时间相等，选项 D 正确.变式 1 如图 4 所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于 M 点，与竖直墙相切于 A 点.竖直墙上另一点 B 与 M 的连线和水平面的夹角为 60，C 是圆环轨道的圆心.已知在同一时刻 a、b 两球分别由 A、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道 AM、BM 运动到M 点；c 球由 C 点自由下落到 M 点.则( )图 4A.a 球最先到达
4、M 点B.b 球最先到达 M 点C.c 球最先到达 M 点D.b 球和 c 球都可能最先到达 M 点答案 C解析 设圆轨道半径为 R，据“等时圆”理论，t a 2 ，tbta，c 球做自由落体运动 tc4Rg Rg，C 选项正确.2Rg命题点二 “传送带”模型1.水平传送带水平传送带又分为两种情况：物体的初速度与传送带速度同向(含物体初速度为 0)或反向.在匀速运动的水平传送带上，只要物体和传送带不共速，物体就会在滑动摩擦力的作用下，朝着和传送带共速的方向变速(若 v 物 v 传 ，则物体减速)，直到共速，滑动摩擦力消失，与传送带一起匀速，或由于传送带不是足够长，在匀加速或匀减速过程中始终没达
5、到共速.计算物体与传送带间的相对路程要分两种情况：若二者同向，则 s|s 传 s 物 |；若二者反向，则 s| s 传 | s 物 |.2.倾斜传送带物体沿倾角为 的传送带传送时，可以分为两类：物体由底端向上运动，或者由顶端向下运动.解决倾斜传送带问题时要特别注意 mgsin 与 mgcos 的大小和方向的关系，进一步判断物体所受合力与速度方向的关系，确定物体运动情况.例 2 如图 5 所示为车站使用的水平传送带模型，其 A、B 两端的距离 L8 m，它与水平台面平滑连接.现有物块以 v010 m/s 的初速度从 A 端水平地滑上传送带.已知物块与传送带间的动摩擦因数为 0.6.试求：图 5(
6、1)若传送带保持静止，物块滑到 B 端时的速度大小？(2)若传送带顺时针匀速转动的速率恒为 12 m/s，则物块到达 B 端时的速度大小？(3)若传送带逆时针匀速转动的速率恒为 4 m/s，且物块初速度变为 v06 m/s，仍从 A 端滑上传送带，求物块从滑上传送带到离开传送带的总时间？答案 (1)2 m/s (2)12 m/s (3) s2512解析 (1)设物块的加速度大小为 a，由受力分析可知FNmg ，Ffma，F fF N得 a6 m/s 2传送带静止，物块从 A 到 B 做匀减速直线运动，又 x mL8 m，v202a 253则由 vB2v 022aL得 vB2 m/s(2)由题意
7、知，物块先加速到 v112 m/s由 v12v 022ax 1，得 x1 mFfm，则发生相对滑动将滑块和木板看成一个整体，对整体进行受力分析和运动过程分析临界条件两者速度达到相等的瞬间，摩擦力可能发生突变当木板的长度一定时，滑块可能从木板滑下，恰好滑到木板的边缘，二者共速是滑块滑离木板的临界条件相关知识 时间及位移关系式、运动学公式、牛顿运动定律、动能定理、功能关系等例 3 (2017全国卷 25)如图 8，两个滑块 A 和 B 的质量分别为 mA1 kg 和 mB5 kg，放在静止于水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为 10.5；木板的质量为 m4 kg，与地面间的动摩擦因
8、数为 20.1.某时刻 A、B 两滑块开始相向滑动，初速度大小均为 v03 m/s.A、B 相遇时，A 与木板恰好相对静止.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小 g10 m/s 2.求：图 8(1)B 与木板相对静止时，木板的速度；(2)A、B 开始运动时，两者之间的距离.答案 (1)1 m/s，方向与 B 的初速度方向相同 (2)1.9 m解析 (1)滑块 A 和 B 在木板上滑动时，木板也在地面上滑动.设 A、B 和木板所受的摩擦力大小分别为 Ff1、Ff2 和 Ff3，A 和 B 相对于地面的加速度大小分别为 aA和 aB，木板相对于地面的加速度大小为 a1.在滑块 B 与木板
9、达到共同速度前有Ff1 1mAg Ff2 1mBg Ff3 2(mm Am B)g 由牛顿第二定律得Ff1 mAaA Ff2 mBaB Ff2 Ff1F f3ma 1 设在 t1时刻，B 与木板达到共同速度，其大小 为 v1.由运动 学公式有v1v 0a Bt1 v1a 1t1 联立式，代入已知数据得v11 m/s ，方向与 B 的初速度方向相同 (2)在 t1时间间隔内，B 相对于地面移动的距离为sBv 0t1 aBt12 12设在 B 与木板达到共同速度 v1 后，木板的加速度大小为 a2.对于 B 与木板组成的系统，由牛顿第二定律有Ff1 Ff3( mBm)a 2 由式知，a Aa B；
10、再由式知， B 与木板达到共同速度时， A 的速度大小也为 v1，但运动方向与木板相反.由题意知， A 和 B 相遇时，A 与木板的速度相同，设其大小为 v2.设 A 的速度大小从 v1变到 v2 所用的时间为 t2，则由运动学公式，对木板有v2v 1a 2t2 对 A 有：v 2v 1a At2 在 t2时间间隔内，B(以及木板) 相对地面移动的距离为s1v 1t2 a2t22 12在(t 1t 2)时间间隔内，A 相对地面移动的距离为sAv 0(t1t 2) aA(t1t 2)2 12A 和 B 相遇时，A 与木板的速度也恰好相同.因此 A 和 B 开始运动时，两者之间的距离为s0s A
11、s1s B 联立以上各式，并代入数据得s01.9 m (也可用如图所示的速度时间图线 求解)变式 3 如图 9 所示，质量 m1 kg 的物块 A 放在质量 M4 kg 木板 B 的左端，起初A、B 静 止 在 水 平 地 面 上 .现 用 一 水 平 向 左 的 力 F 作 用 在 木 板 B 上 ， 已 知 A、 B 之 间 的 动 摩擦 因 数 为 1 0.4， 地 面 与 B 之 间 的 动 摩 擦 因 数 为 2 0.1， 假 设 最 大 静 摩 擦 力 等 于 滑 动 摩擦 力 ， g 10 m/s2，求：图 9(1)能使 A、B 发生相对滑动的 F 的最小值；(2)若 F 30
12、N，作用 1 s 后撤去，要想 A 不从 B 上滑落，则木板至少多长；从开始到 A、B均静止，A 的总位移是多少.答案 (1)25 N (2)0.75 m 14.4 m解析 (1)对于 A，最大加速度由 A、B 间的最大静摩擦力决定，即1mgma m，am4 m/s 2对 A、B 整体 F 2(Mm) g( Mm) am，解得 F25 N(2)设 F 作用在 B 上时 A、B 的加速度分 别为 a1、a2，撤掉 F 时速度分别为 v1、v2，撤去外力 F后加速度分别为 a1、a 2，A、 B 共同运动时速度为 v3，加速度为 a3，对于 A 1mgma 1，得 a14 m/s 2，v1a 1t
13、14 m/s对于 B F 1mg 2(Mm)gMa 2，得 a25.25 m/s 2，v2a 2t15.25 m/s撤去外力 a1a 14 m/s，a 2 2.25 m/s 21mg 2M mgM经过 t2时间后 A、B 速度相等 v1a 1t 2v 2a 2t 2解得 t20.2 s共同速度 v3v 1a 1t 24.8 m/s从开始到 A、B 相对静止，A、 B 的相对位移即为木板最短的长度 LLx Bx A a1(t1t 2)20.75 mv22a2 v23 v2 2a2 12A、B 速度相等后共同在水平面上匀减速运动，加速度 a3 2g1 m/s 2从 v3 至最终静止位移为 x 11
14、.52 mv232a3所以 A 的总位移为 xA 总 x A x14.4 m.1.(2018广东东莞质检)如图 1 所示，AB 和 CD 为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径 R 和 r 的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点 P.设有一重物先后沿两个斜槽从静止出发，由 A 滑到 B 和由 C 滑到 D，所用的时间分别为 t1 和 t2，则 t1 与 t2 之比为( )图 1A.21 B.11 C. 1 D.13 3答案 B2.如图 2 所示，水平方向的传送带顺时针转动，传送带速度大小恒为 v2 m/s，两端 A、B间距离为 3 m.一物块从 B 端以初速度 v04 m/s 滑上传送带
15、，物块与传送带间的动摩擦因数0.4，g 取 10 m/s2.物块从滑上传送带至离开传送带的过程中，速度随时间变化的图象是图中的( )图 2答案 B3.(多选) 如图 3 所示，一足够长的木板静止在粗糙的水平面上， t0 时刻滑块从木板的左端以速度 v0 水平向右滑行，木板与滑块之间存在摩擦，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则滑块的 vt 图象可能是下列图中的 ( )图 3答案 BD4.(多选) 如图 4 所示，表面粗糙、质量 M2 kg 的木板，t0 时在水平恒力 F 的作用下从静止开始沿水平面向右做匀加速直线运动，加速度 a2.5 m/s2，t0.5 s 时，将一个质量 m1 kg 的小铁块(
16、可视为质点)无初速度地放在木板最右端，铁块从木板上掉下时速度是木板速度的一半.已知铁块和木板之间的动摩擦因数 10.1，木板和地面之间的动摩擦因数20.25，g10 m/s2，则( )图 4A.水平恒力 F 的大小为 10 NB.铁块放上木板后，木板的加速度为 2 m/s2C.铁块在木板上运动的时间为 1 sD.木板的长度为 1.625 m答案 AC解析 未放铁块时，对木板由牛 顿第二定律：F 2MgMa，解得 F10 N，选项 A 正确；铁块放上木板后，对木板：F 1mg 2(Mm )gMa，解得：a0.75 m/s2，选项 B 错误；0.5 s 时木板的速度 v0at 12.50.5 m/
17、s1.25 m/s，铁块滑离木板时，木板的速度：v1v 0at 21.250.75t 2，铁块的速度 va 铁 t2 1gt2t 2，由题意：v v1，解得12t21 s，选 项 C 正 确 ；铁 块 滑 离 木 板 时 ，木 板 的 速 度 v1 2 m/s，铁 块 的 速 度 v 1 m/s，则 木 板的 长 度 为 ：L t2 t2 1 m 1 m 1.125 m，选 项 D 错 误 ；故 选 A、C.v0 v12 v 2 1.25 22 125.如图 5 所示为粮袋的传送装置，已知 A、B 两端间的距离为 L，传送带与水平方向的夹角为 ，工作时运行速度为 v，粮袋与传送带间的动摩擦因数
18、为 ，正常工作时工人在 A 端将粮袋放到运行中的传送带上.设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度大小为 g.关于粮袋从 A 到 B 的运动，以下说法正确的是( )图 5A.粮袋到达 B 端的速度与 v 比较，可能大，可能小也可能相等B.粮袋开始运动的加速度为 g(sin cos )，若 L 足够大，则以后将以速度 v 做匀速运动C.若 tan ，则粮袋从 A 端到 B 端一定是一直做加速运动D.不论 大小如何，粮袋从 到 端一直做匀加速运动，且加速度 agsin 答案 A解析 若传送带较短，粮袋在传送带上可能一直做匀加速运动，到达 B 端时的速度小于 v；若传送带较长，tan ，则粮袋
19、先做匀加速运动，当速度与传送带的速度相同后，做匀速运 动，到达 B 端时速度与 v 相同；若 tan ，则粮袋先做加速度为 g(sin cos )的匀加速运动，当速度与传送带相同后做加速度为 g(sin cos )的匀加速运动，到达 B 端时的速度大于v，选项 A 正确；粮袋开始时速度小于传送带的速度，相 对传送带的运动方向是沿传送带向上，所以受到沿传送带向下的滑动摩擦力，大小 为 mgcos ，根据牛顿第二定律得加速度 ag(sin cos )，选项 B 错误；若 tan ，粮袋从 A 到 B 可能是一直做mgsin mgcos m匀加速运动，也可能先匀加速运 动，当速度与 传送带的速度相同
20、后，做匀速运动，选项 C、D均错误.6.如图 6 所示，倾角为 37的传送带始终保持以 v5 m/s 的速率顺时针匀速转动，AB 两端距离 d15.25 m.现将一物块 (可视为质点)无初速度从 A 端放上传送带，物块与传送带间的动摩擦因数 0.5，取 g10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8，求物块到达 B 端时的速度大小和物块从 A 端运动到 B 端所用的时间.图 6答案 9 m/s 2.5 s解析 设物块由静止运动到传送带速度 v5 m/s 的过程，其加速度为 a1，运动时间为 t1，位移为 x1，由牛顿 第二定律和运动学规律有mgsin mgcos ma 1va 1t1
21、x1 a1t1212代入数据解得 a110 m/s 2，t10.5 s， x11.25 m由于 x11.25 mmgcos 37，物块将继续向下做匀加速运动.设物块此后运动的加速度为 a2，运 动时间为 t2，位移为 x2，到 B 端的速度为 vB，由牛顿第二定律和运动学规律，有mgsin mgcos ma 2x2dx 1vt 2 a2t2212vB va 2t2代入数据解得 a22 m/s 2，t22 s， vB9 m/s物块从 A 端运动到 B 端所用时间为 t，有 tt 1t 22.5 s7.(2018青海西宁调研)图 7 甲为一转动的传送带 AB，传送带以恒定的速率 v 逆时针转动.在
22、传送 带 的 左 侧 边 缘 的 B 点 有 一 滑 块 ， 若 让 滑 块 以 初 速 度 v1 3 m/s 冲 上 传 送 带 ， 滑 块 运 动的 vt 图象如图乙中 a 所示，若让滑块以初速度 v26 m/s 冲上传送带，滑块运动的 vt图象如图乙中 b 所示.g 取 10 m/s2，试求：图 7(1)传送带的长度 l 和传送带与物块之间的动摩擦因数 ；(2)滑块以初速度 v13 m/s 冲上传送带时，滑块返回 B 点的时间.答案 (1)32 m 0.05 (2)12.5 s解析 (1)根据 vt 图象，滑块以初速度 v26 m/s 冲上传送带时，在 t8 s 时刻，到达 A 点，所以
23、传送带的长度 l (62)8 m32 m12根据图线 a 或者图线 b，滑块 的加速度大小为 a 0.5 m/s 2vt根据牛顿第二定律得 mgma解得传送带与滑块之间的动摩擦因数 0.05(2)滑块在 06 s 和 6t s 内的位移大小相等，方向相反63 m (t6t10)2 m12 12滑块返回 B 点的时间 t12.5 s.8.如 图 8 所 示 ， 质 量 M 1 kg 的 木 板 A 静 止 在 水 平 地 面 上 ， 在 木 板 的 左 端 放 置 一 个 质 量m 1 kg 的铁块 B(大小可忽略)，铁块与木块间的动摩擦因数 10.3，木板长 L1 m，用F5 N 的水平恒力作
24、用在铁块上， g 取 10 m/s2.图 8(1)若水平地面光滑，计算说明铁块与木板间是否会发生相对滑动；(2)若木板与水平地面间的动摩擦因数 20.1，求铁块运动到木板右端所用的时间.答案 见解析解析 (1)A、B 之间的最大静摩擦力为Ffm1mg0.3110 N3 N假设 A、B 之间 不发生相对滑动则对 A、B 整体：F(Mm)a对 B：FfABma解得：F fAB2.5 N因 FfABFfm，故 A、B 之间不发生相对滑动(2)A、B 之间发生相对滑动，则对 B：F 1mgma B对 A：1mg 2(Mm)gMa A据题意：x Bx AL ；xA aAt2；xB aBt212 12解得：t s.2
