1、陈老师物理 13277994433 QQ:12202822332010 年全国中学生物理竞赛复赛试卷（第二十七届）本卷共九题，满分 160 分计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤只写出最后结果的不能得分有数字计算的题答案中必须明确写出数值和单位填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程一、 （ 15 分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图） 若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小设重力加速度 g = 9 . 80 m/ s2 , 1 试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求出每个摆的摆长）
2、，要求满足： ( a ）每个摆的摆长不小于 0 . 450m ，不大于 1.00m ; ( b ）初始时将所有摆球由平衡点沿 x 轴正方向移动相同的一个小位移 xo ( xo 0 ）的粒子作角速度为 、半径为 R 的匀速圆周运动 .一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为 d ( d R ) ，在导线上通有随时间变化的电流 I, t= 0 时刻，粒子速度的方向与导线平行，离导线的距离为 d+ R .若粒子做圆周运动的向心力等于电流 i ,的磁场对粒子的作用力，试求出电流 i 随时间的变化规律不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响长直导线电流产生的磁感应强度表示式中的比例系数 k 已
3、知陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233五、 （20 分）如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为+Q 和-Q (Q 0) ，半径分别为 R 和 R/2，小球面与大球面内切于 C点，两球面球心 O 和 O的连线 MN 沿竖直方在 MN 与两球面的交点B、0 和 C 处各开有足够小的孔因小孔损失的电荷量忽略不计，有一质量为 m，带电荷为 q(q0 的质点自 MN 线上离 B 点距离为 R 的 A 点竖直上抛。设静电力常量为 k，重力加度为 g. 1要使质点从 A 点上抛后能够到达 B 点，所需的最小初动能为多少？ 2要使质点从 A 点上抛后能够到达 O 点，在不
4、同条件下所需的最小初动能各为多少？六、 （ 20 分）由单位长度电阻为 r 的导线组成如图所示的正方形网络系列n=1 时，正方形网络边长为 L,n= 2 时，小正方形网络的边长为 L/3；n=3 时，最小正方形网络的边长为L/9当 n=1、2、3 时，各网络上 A、B 两点间的电阻分别为多少？陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233七、 （15 分）地球上的能量从源头上说来自太阳辐射到达地面的太阳辐射（假定不计大气对太阳辐射的吸收）一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收被吸收的部分最终转换成为地球热辐射（红外波段的电磁波） 热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温
5、室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能量平衡。作为一个简单的理想模型，假定地球表面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃一玻尔兹曼定律：单位面积的辐射功率 J 与表面的热力学温度 T 的四次方成正比，即 J=T4 ,其中 是一个常量已知太阳表面温度 Ts=5.78103 K ，太阳半径 Rs=6.69105 km ,地球到太阳的平均距离d=1.50108 km 假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为 =0.38 . 1如果地球表面对太阳辐射的平均反射率 =0.30 ，试问考虑了温室气体对热辐射的反射作用后，地球表面的温度是多少？ 2如果地球表面一部
6、分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为 1=0.85 ，其余部分的反射率处 2=0.25 间冰雪被盖面占总面积多少时地球表面温度为 273K .八、 （20 分）正午时太阳的入射光与水平面的夹角 =45 0 有一座房子朝南的墙上有一个直径 W =10cm 的圆窗，窗口中心距地面的高度为 H 试设计一套采光装置，使得正午时刻太阳光能进人窗口，并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、且光强是进人采光装置前 2 倍的平行光可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜，两个凹透镜；平面镜的反射率为 80 % ，透镜的透射率为 70 % ，忽略透镜表面对光的反射要求从这些器件中选用最少的器件组成采光装
7、置试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光路图，并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件.陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233九、 （ 16 分）已知粒子 1 和粒子 2 的静止质量都是 m 0 ，粒子 1 静止，粒子 2 以速度v0与粒子 1 发生弹性碰撞1.若碰撞是斜碰，考虑相对论效试论证：碰后两粒子速度方向的夹角是锐角、直角还是钝角若不考虑相对论效应结果又如何？2.若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰后两粒子的速度.陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233解答一、参考解答：1以 表示第 i 个单摆的摆长，由条件（b）可知每
8、个摆的周期必须是 40s 的整数分之il一，即（N i 为正整数） （1）ii i402lTg(1)式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.由(1)可得，各单摆的摆长（2）i2i40glN依题意， ，由此可得i0.45m1.l（3 ）i2020.45gg即（4 ）i209N因此，第 i 个摆的摆长为（5）i24(19i)gl(,10)i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10li/m 0.993 0.901 0.821 0.751 0.690 0.635 0.588 0.545 0.507 0.4722 0s评分标准：本题 15 分第 1 小问 11 分 （2）式 4 分，
9、（4）式 4 分，10 个摆长共 3 分第 2 小问 4 分二、参考解答：设该恒星中心到恒星行星系统质心的距离为 ，根据题意有d陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233（1）2Ld将有关数据代入（1）式，得 又根据质心的定义有AU1053（2 ）Mrm式中 为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律有r（3）22GdrT由（2） 、 （3 ）两式得（4 ）2341mM若考生用 表示行星到恒星 行星系统质心的距离，从而把(2)式写为 ，把(3)式写为r Mdrm，则同样可得到(4)式，这也是正确的. 利用（1）式，可得22MmGdT（5）32
10、21LmGT（5 ）式就是行星质量 所满足的方程可以把(5)试改写成下面的形式（6）33221MLTm因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得（7）3S22(AU)1y4G注意到 ，由（6）和（7）式并代入有关数据得SM(8)3102S8.61mM由（8）式可知 S1由近似计算可得（9 ） 3S10mM陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233由于 小于 1/1000，可近似使用开普勒第三定律，即 mM（10）3322(1AU)yrT代入有关数据得（11）5r评分标准：本题 20 分（1 ）式 2 分， （2 ）式 3 分， （3）式 4 分， （5 ）式 3 分， （
11、9 ）式 4 分， （11）式 4 分三、参考解答：解法一一倾角为 的直角三角形薄片(如图 1 所示)紧贴于半径为 的圆柱面，圆柱面的轴线与直角R三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环根据题意有（1）1tan2R可得， （2）5si 5cos设在所考察的时刻，螺旋环绕其转轴的角速度为 ，则环上每一质量为 的小质元绕im转轴转动线速度的大小都相同，用 u 表示，（3）uR该小质元对转轴的角动量 2iiiLm整个螺旋环对转轴的角动量（4 ）22iiR小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成在螺旋环的角
12、速度为 时，设小球相对螺旋环的速度为 ，则小球在水平面内作圆周运动的速v度为（5 ）cosRPv沿竖直方向的速度图 1hm vu陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233（6）sinv对由小球和螺旋环组成的系绕，外力对转轴的力矩为 0，系统对转轴的角动量守恒，故有（7 ）0mRLPv由（4） 、 （5 ） 、 （7 ）三式得（8 ） cos=在小球沿螺旋环运动的过程中，系统的机械能守恒，有（9）22i11mghmuPv由（3） 、 （5 ） 、 （6 ） 、 （9）四式得（10）2222sin=RRcos解（8） 、 （10）二式，并利用（2 ）式得（11 ）13gh（12
13、 ）v=0由（6） 、 （12）以及（2）式得（13）23vgh或有（ 14）21（14 ）式表明，小球在竖直方向的运动是匀加速直线运动，其加速度（15）3ag若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为 ，则有t（16 ）21h=由（11 ）和（ 16）式得（17）3gtR（17 ）式表明，螺旋环的运动是匀加速转动，其角加速度陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233（18）3gR小球对螺旋环的作用力有：小球对螺旋环的正压力 ，在图 11N所示的薄片平面内，方向垂直于薄片的斜边；螺旋环迫使小球在水平面内作圆周运动的向心力 的反作用力 向心力 在水平面内，2N22方向指向转轴
14、 C，如图 2 所示 、 两力中只有 对螺旋环的11转轴有力矩，由角动量定理有（19）1sinRtL由（4） 、 （18）式并注意到 得t（20）153sinmgN而（21）22RPv由以上有关各式得（22 ）23hNmg小球对螺旋环的作用力（23 ）22145hR评分标准：本题 22 分（1 ） 、 （2 ）式共 3 分， （7）式 1 分， （9）式 1 分，求得（11）式给 6 分， （20）式 5 分，（22 ）式 4 分， （23）式 2 分解法二一倾角为 的直角三角形薄片(如图 1 所示)紧贴于半径为 的圆柱面，圆柱面的轴线与直角R三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄
15、片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环根据题意有（1）tan2R可得CRm 2N图 2图 1hm vu陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233， （2）5sin5cos螺旋环绕其对称轴无摩擦地转动时，环上每点线速度的大小等于直角三角形薄片在光滑水平地面上向左移动的速度小球沿螺旋环的运动可视为在竖直方向的直线运动和在水平面内的圆周运动的合成在考察圆周运动的速率时可以把圆周运动看做沿水平方向的直线运动，结果小球的运动等价于小球沿直角三角形斜边的运动小球自静止开始沿螺旋环运动到在竖直方向离初始位置的距离为 的位置时，设小球相对薄片斜边的速度为 ，沿薄片斜边的加h
16、 v速度为 薄片相对地面向左移动的速度为 ，向左移动的加速度为 就是螺旋环上每au0au一质元绕转轴转动的线速度，若此时螺旋环转动的角速度为 ，则有（3）R而 就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的切向加速度，若此时螺旋环转动的角加速度为 ，0a 则有（4）0a小球位于斜面上的受力情况如图 2 所示：重力 ，方mg向竖直向下，斜面的支持力 ，方向与斜面垂直，以N薄片为参考系时的惯性力 ，方向水平向右，其大小f（5）0fma由牛顿定律有（6）cossingNf（7）ima（8）0s解（5） 、 （6 ） 、 （7 ） 、 （8）四式得（9）2insa=g（10 ）co1iNm（11 ）02+sn利用（
17、2）式可得（12 ）53a=g陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233（13）53N=mg（14）01a由（4）式和（14 ）式，可得螺旋环的角加速度（15 ）gR若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为 ，则此时螺旋环的角速度t（16）t因小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成，而小球沿竖直方向的加速度（17 ）sina故有（18 ）21h=t由（15 ） 、 （16 ） 、 （17） 、 （18） 、以及（2 ）式得（19 ）3gR小球在水平面内作圆周运动的向心力由螺旋环提供，向心力位于水平面内，方向指向转轴，故向心力与图 2 中的
18、纸面垂直，亦即与 垂直向心力的大小N（20）21mRPv式中 是小球相对地面的速度在水平面内的分量.若 为小球相对地面的加速度在水平面内Av aA的分量，则有（21）atPv令 为 在水平面内的分量，有aA（22 ）00cosP-由以上有关各式得（23 ）123hNmgR小球作用于螺旋环的力的大小（24 ）201陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233由（13 ） 、 （23 ）和（ 24）式得（25）20453mghNR评分标准：本题 22 分（1 ） 、 （2 ）式共 3 分， （9）或（12 ）式 1 分， （10）或（13 ）式 5 分， （11 ）或（14）式
19、1 分， （19）式 6 分， （23）式 4 分， （25）式 2 分四、参考解答：以 v 表示粒子的速率，以 B 表示电流 i 产生磁场的磁感应强度，根据题意粒子作圆周运动的向心力为粒子受到的磁场洛仑兹力，因此有（1）2qmRv而（2）由（1） 、 （2 ）两式得（3）Bq如图建立坐标系，则粒子在时刻 的位置t， （4 ）()cosxR()sinytRt取电流的正方向与 y 轴的正向一致，设时刻 t 长直导线上的电流为 ，它产生的磁场在()it粒子所在处磁感应强度大小为 （5）()itBkdx方向垂直圆周所在的平面.由（4） 、 （5 ）式，可得（6 ）()(cos)mitRtq评分标准：
20、本题 12 分（3 ）式 4 分， （4 ）式 2 分， （5）式 4 分， （6 ）式 2 分五、参考解答：1质点在 应作减速运动（参看图 1） 设质点在 A 点的最小AB初动能为 ，则根据能量守恒，可得质点刚好能到达 B 点的条件为k0E（1）k03/225/qQqQmgREdRqtO xyiOCABRRQM 2qN图 1陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233由此可得（2 ）k073qQEmgR2 质点在 的运动有三种可能情况：BOi质点在 作加速运动（参看图 1） ，对应条件为（3）249kqgR此时只要质点能过 B 点，也必然能到达 O 点，因此质点能到达 O
21、点所需的最小初动能由（2 ）式给出，即（4 ）k073qQEmg若（3）式中取等号，则最小初动能应比（4 ）式给出的 略大一点k0Eii质点在 作减速运动（参看图 1） ，对应条件为BO（5）24kqgR此时质点刚好能到达 O 点的条件为（6）k0()/ 5/2kqQQqmER由此可得（7）k012qEgRiii质点在 之间存在一平衡点 D（参看图 2） ，在 质BOBD点作减速运动，在 质点作加速运动，对应条件为D（8）2249kqQkmgR设 D 到 O 点的距离为 ，则x（9 ）2(/)kx即（10）2kqQRxmg根据能量守恒，质点刚好能到达 D 点的条件为（11）k0()/225/k
22、qQqQxERROCABRRQM 2qDxN图 2陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233由（10 ） 、 （11 ）两式可得质点能到达 D 点的最小初动能为（12）k059221kqQEmgRg只要质点能过 D 点也必然能到达 O 点，所以，质点能到达 O 点的最小初动能也就是（12 ）式（严格讲应比（12）式给出的 略大一点 ）k0评分标准：本题 20 分第 1 小问 5 分求得（2 ）式给 5 分第 2 小问 15 分算出第 i 种情况下的初动能给 2 分；算出第 ii 种情况下的初动能给 5 分；算出第 iii 种情况下的初动能给 8 分，其中（10 ）式占 3
23、分六、参考解答：时，A、B 间等效电路如图 1 所示， 1nA、 B 间的电阻1(2)RrL（1）时， A、B 间等效电路如图 2 所示，A、B 间的电阻2n（2 ）2143RrLR由（1） 、 （2 ）两式得(3)56r时， A、B 间等效电路如图 3 所示，3nA、 B 间的电阻3 211294RrLR （4 ） 由（3） 、 （4 ）式得（5 ）379RrL评分标准：本题 20 分A B13R2rL2rL23r123r图 2rL rLrL rLA B图 139rLA B图 3223R39rL219r21923R39rL2139rL陈老师物理 13277994433 QQ:12202822
24、33（1 ）式 4 分， （3 ）式 6 分， （5）式 10 分七、参考解答：根据题意，太阳辐射的总功率 太阳辐射各向同性地向外传播设24SSPRT地球半径为 ，可以认为地球所在处的太阳辐射是均匀的，故地球接收太阳辐射的总功率为 Er（1）24SI ETrd地球表面反射太阳辐射的总功率为 设地球表面的温度为 ，则地球的热辐射总功率为 IPET（2 ）24EEr考虑到温室气体向地球表面释放的热辐射，则输入地球表面的总功率为 当达到热IEP平衡时，输入的能量与输出的能量相等，有（3）IEIEPP由以上各式得（4 ）1/41/2SES2RTd代入数值，有（5）E287K2当地球表面一部分被冰雪覆盖
25、后，以 表示地球表面对太阳辐射的平均反射率，根据题意这时地球表面的平均温度为 利用（4）式，可求得E273T（6）0.设冰雪覆盖的地表面积与总面积之比为 x，则（7 ）12()由（6） 、 （7）两式并代入数据得（8）%30x评分标准：本题 15 分第 1 小问 11 分 （1）式 3 分， （2）式 1 分， （3）式 4 分， （4）式 2 分， （5 ）式 1 分第 2 小问 4 分 （6 ）式 2 分， （8）式 2 分陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233八、参考解答：方案一：采光装置由平面镜 M 和两个凸透镜 L1、L 2 组成透镜组置于平面镜M 后面，装置
26、中各元件的相对方位及光路图如图 1 所示L1、L 2 的直径分别用 D1、D 2 表示，其焦距的大小分别为 f1 、f 2两透镜的距离（1）d直径与焦距应满足关系（2）12fD设射入透镜 L1 的光强为 ，透过透镜 L1 的光强为 ，考虑到透镜 L1 对光的吸收有10I 1I（3）0.7I从透镜 L1 透出的光通量等于进入 L2 的光通量，对应的光强与透镜的直径平方成反比，进入L2 的光强用 表示，即20I 2201IDf故有（4）2120fI透过 L2 的光强 ，考虑到（ 3）式，得220.7I（5）2120.49fII由于进入透镜 L1 的光强 是平面镜 M 的反射光的光强， 反射光是入射
27、光的 ，设射入装10 80%置的太阳光光强为 ，则I100.8II代入（5）式有WH2f1f1L南452.5图12M陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233（6）2120.39fII按题设要求 20I代入（6）式得 2100.39fII从而可求得两透镜的焦距比为（7 ）12.6fL2 的直径应等于圆形窗户的直径 W，即 ，由（ 2）式得0cmD（8 ）112.6f由图可知，平面镜 M 参与有效反光的部分为一椭圆，其半短轴长度为（9）1/.3cbD半长轴长度为（10）1(2sin.5)2.ma根据装置图的结构，可知透镜组的光轴离地应与平面镜 M 的中心等高，高度为 H评分标
28、准：本题 20 分作图 8 分（含元件及其相对方位，光路） ，求得（7 ） 、 （8）两式共 10 分， （9 ） 、 （10 ）式共 2 分方案二：采光装置由平面镜 M 和两个凸透镜 L1、L 2 组成，透镜组置于平面镜 M 前面，装置中各元件的相对方位及光路图如图 2 所示 对透镜的参数要求与方案一相同 但反射镜 M 的半短轴、半长轴的长度分别为2/5.0cmbD和2LHf1南452.5图 2M W陈老师物理 13277994433 QQ:12202822332(sin.5)13.cmaD评分标准：参照方案一方案三、采光装置由平面镜 M 和一个凸透镜 L1、一个凹透镜 L2 组成，透镜组置
29、于平面镜 M 后面（也可在 M 前面） ，装置中各元件的相对方位及光路图如图 3 所示有关参数与方案一相同，但两透镜的距离 12df如果平面镜放在透镜组之前，平面镜的尺寸和方案一相同；如果平面镜放在透镜组之后，平面镜的尺寸和方案二相同评分标准：参照方案一九、参考解答：1假设碰撞后球 1 和球 2 的速度方向之间的夹角为 （见图） ，则由能量守恒和动量守恒可得（1） 2220010mccm20122cosvvv（2 ）其中 ， ， 0201/cv121/cv221/cv由（1） 、 （2 ）式得（3）210（4）220112(/)cos v由（3） 、 （4 ）式得（5 ）22220112cos
30、 0()()ccvv（6 ）m0v1v2v0m00 2LHf11南452.5图3WM陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233即为锐角在非相对论情况下，根据能量守恒和动量守恒可得（7）20210021vvm（8）012102cosm对斜碰， 的方向与 的方向不同，要同时满足（1）和（ 2）式，则两者方向的夹角1v2（9）即为直角2根据能量守恒和动量守恒可得（10）22220000 11mccmcvvv（11）0002221ccc令， ，0201/cv121/cv221/cv则有， ，200/211/21/代入（10） 、 （11）式得（12 ）210（13 ）122解（12 ） 、 （13 ）两式得（14）102或（15 ）0121即， （16 ）1v20v（或 ， ，不合题意）陈老师物理 13277994433 QQ:1220282233评分标准：本题 16 分第 1 小问 10 分 （1） 、 （2）式各 2 分， （6 ）式 4 分， （9 ）式 2 分第 2 小问 6 分 （10 ） 、 （11）式各 1 分， （16）式 4 分版权所有：高考资源网()
