1、非迷向 Heisenberg 群上的一类带权插值不等式第 22 卷第 3 期纺织高校基础科学 Vo1.22,No.32009 年 9 月 BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIESSept.2009文章编号:1006-8341(2009)03-0308-03非迷向 Heisenberg 群上的一类带权插值不等式王彦林,赵宁波(西安工程大学理学院,陕西西安 710048)摘要:在一类非迷向 Heisenberg 群上研究一阶插值不等式,通过在一类非迷向Heisenberg 群上建立一类 Hardy 型不等式.结合非迷向 Heisenberg 群上的广义 P
2、icone 型恒等式,最终得到了非迷向Heisenberg 群上一类插值不等式.关键词:非迷向 Heisenberg 群;Hardy 型不等式;一阶插值不等式中图分类号:0175.2 文献标识码:A0 引言1984 年,文献1给出了 R 上的一阶带权插值不等式IIl7J cIllpIDlj 二 JlIJ,1986 年,文献2给出了更一般的带权插值不等式l“lcD“I,其中 r,P,0,q,b,卢R,0,m0 为整数,满足适当的条件.它包括了 CaffarelliKohnNirenberg 不等式.2000 年,文献3给出了分层幂零李群上一类带权的插值不等式lIxflln)CIIfI 订“iIx
3、ftt 黝 ,其中 1Pq,1 后,i,kN,且一A居一.该类不等式有着非常重要的意义,本文通过建立一类 Hardy 型不等式,在非迷向Heisenberg 群上给出一类带权的插值不等式.把 Caffarelli,Kohn,Nirenberg 的不等式推广到非迷向Heisenberg 群 .1 预备知识记=(“,Y“Y,t)=(,t),=(一,Y 一,Y,t)=(,Y,t)是非迷向 Heisenberg群(o)上的任意两点 .(口)是在集合 R 上赋予了如下的群运算法则.=(+,Y+Y,t+t+2 口(xy xy)所得的 Lie 群 .记亭为 f 的逆元,容易验证:(一,一 Y,一 t).(n
4、)上有如下定义的拟度量收稿日期:2009-01-09通讯作者:王彦林(1980 一),男,甘肃省武威市人,西安工程大学助教,主要从事偏微分方程及其应用研究.Email:wan-gyanlin1980163.corn第 3 期非迷向 Heisenberg 群上的一类带权插值不等式II)口 (+),i)+tao),则非迷向 Heisenberg 群(a)任意两点与之间的距离为P(,)垒 I_.1 日,()=a( 一)+(Yy)+(tt+2a(xyxy)/4.(a)上有如下的一族伸缩(,),t)=(A,A),At),VA0.易知拟度量 1.1(.)关于上述伸缩是一次齐次的,即 I()I()=AII
5、州.),VfE( 口).(n)的齐次维数为 Q=2n+2.在这种距离定义下 ,中心在,半径为的开球定义为()垒叩月(a):d(,叼)R.为方便起见,下文中记中心在原点的开球为.非迷向 Heisenberg 群(a)的 Lie 代数由下面的 2 个向量场张成Xf=旦cqxi+2ay 去,一 2axi 盖,1,n,0.其中 X,满足()=AB(),()=A8().引理 1(非迷向 Heisenberg 群上的广义 Picone 型恒等式)设0,0 为可微函数,令L(u,v)=A()iVuI+(p1)I 詈 Vt,PpI 詈 VlVu?(詈 V-4,(u,t,)=A(x)IVI 一 VH(uP/vp
6、)?A(x)IVlV,则有(U,)=R(M,) 0.进一步 L(u,)=Oa.e.,当且仅当 V(u/v)=0,a.e.力,也就是说,在的每一个连通分支上存在常数 k,使得 U=kv 成立.令 So 表示 C.(力)在范数 Jl“IIt.=(IuI+lVI)“下的闭包 .引理 2 设对某个 A0,C(力),g(g 定义在力上)满足一Agvp ,且在内0,其中一 A,=一V 日,(A()IVIP-V),则 Vso), 有 A()lV“IAJ 力 gIl?证明详见文献6.定理 1(非迷向 Heisenberg 群上的 Hardy 不等式)取 P1,R 满足 1/p+(一 1)/Q0,则 VHc(
7、力), 有 Ip 卢_.uI K 一(p/(Q+(一 1)P)一Ip 卢 lVHIl,其中卢QQ/p 一(Q一 1)(3一P).证明取 A(x)=,口=P 一Q, 则v:一!._一(Q+( 一) 一 vp,IvI:!._一( 口+(一 1)一 lvHPI.注意到一=一 V(A()lVIV)=一V(p 摩 (一(Q+(卢一 1)p)/p)l(Q+(卢一 1)p)/pl 一 2p.慵 H-1IVIVHP)=(Q+(一 1)p)/p)一 V 日(p-(Q-一 lVHPlVHI)=(Q+(卢一 1)p)/p)一( 一(QQ/p 一)p-(Q-Q/p-IVxPI 一口一(p 一 2)p-(Q-Q/p卢(
8、II/p)AHp+p-(e 仰 一 lVnPI 一).(1)将已知结果 IVHPI-alzl,=(Q 一 1)口 II/p.代人式(1), 得一As,p=一 V 日(A()lV 口 I 一 V 口)=(Q+(p 一 1)p)/p)一( 一(Q Q/p 一)p-(Q-Q/p-18 口 lzI/一 aP(p 一 2)(Q 一 1)p-(Q-Q/p-卢 +1lI+3(Q 一 1)p一口仰一P-(Q-II/)=(Q+(卢一 1)p)/p)一( 一(QQ/p 一卢)p-(Q-Q/p-fl 口 lzl/一(Q I)(p 一 2)p-(Q-Q/p口lI/+(Q 一 1)p 一口仰/p一 P-(Q-Q/p芦口
9、 l:I/)=(Q+(J81)p)/p)(Q 1)(3 一 P)一(QQ/p 一卢)p(Q-Q/p口 lI/=310 纺织高校基础科学第 22 卷(Q+(一 1)p)/p)_1(nII/)p卢1vp_.利用引理 2 的结果,得到K(),I(),tl()IIVHu?推论 1 取 P=2,R,且满足 10+(一 1)/Q0,VMEC0(),有II(2/(Q+(卢一 1)2)llV 日 Mll推论 2 取 P=2,=O,且满足 lip+(|lB 一 1)/Q0,VuEC0.(力),有IInlL2(2/(Q 一 2)I1VH1/,II.2 一阶带权插值不等式与水平向量场 X,有关的 Sobolev 空
10、间记作 Sa(n)=ll():置 u();=1,2,n.取实参数 P,q,r,a 满足P,q1,r0,0b1,10+(一 1)/Q,1/q+O/Q,1/r+T/Q0,=btr+(1 一 b)f1.定理 2V11,C.(),=I-F,存在一个常数 C,使不等式I?IIu1,CllI 鲁 IVllIIIl:.成立的一个充分条件为 1/r+T/Q=6(1/p+(一 1)/Q)+(16)(1/p+O/Q),且一=1,满足当b0,1/t,+(一 1)/Q=1/r+T/Q 时.其中=II/p.注意到当 b=0 时,显然成立,所以只考虑b0的情况.证明令 s 为 1/s=b/p+(1 一 b)/q,总有1/
11、s+T/Q=6(1/+(一 1)/Q)+(16)(1/q+O/Q),(2)把 1/p+(一 1)/Q=1/q+e/Q 代人式(2),简单计算可得 1/s+T/Q=1/q+e/Q.所以由Htflder 不等式JnIIlui 上II:f(“hII 卜“(h)Il)I I)?(上 lI6,q/(O-b)/,).=(厶 Il,)(lI 掌 Il)(Il,)(lIluI).得到IllICIl1uIIq.(3)式(3)右端第一项应用定理 1 得到 fIl 暑_telll 鲁 lVII,有 IllIellI 鲁lVIbllII“I 埘 1-.定理 2 证毕.f 下转第 335 页 1第 3 期一类比率依赖捕
12、食模型的局部分歧及稳定性 3353KOW,RYNK.Nonconstantpositivesteady-statesofapredator-preysysteminhomogeneousenvironmentJ.JMathAnalAppl,2007,327:539-549.4wuJH,WEIGS.CoexistencestatesforcooperativemodelwithdiffusionJ.ComputMathAppl,2002,43:1277.1290.5SMOI,I,ERJ.ShockwavesandreactiondiffusionequationsM.NewYork:Spring
13、erVerlag,1999.6叶其孝,李正元 .反应扩散方程引论M.北京:科学出版社,1990.Thelocalbifurcationsolutionsandthestabilityofthepredator-preymodelthratio-dependentfunctionalresponseZHAShuling(DepartmentofMathematicsandInformationSciences,WeinanTeacherCollege,Weinan,Shaanxi714000,China)Abstract:Thelocalbifurcationofsemi?-trivialsol
14、utionsandthestabilityofthepredator?-preymodelwithratio-de?-pendentfunctionalresponsearediscussedbyspectralanalysisandmethodsofbifurcationtheory.Whenthegrowthratesbistreatedasbifurcationparameter,thebifurcationfromsemitrivialsolutionsisconsidered.Moreover,thestabilityofthesolutionsisdetermined.Keywor
15、ds:eigenvalue;bifurcation;stability编辑,校对:黄燕萍,】,(上接第 310 页)参考文献:1CAFFARELLIL,KOHNR,NIRENBERGL.FirstorderinterpolationinequalitieswithweightsJ.OmpositioMath,1984,53:259-275.23456LIUC.S.InterpolationinequalitieswithweightsJ.ComninPDE,1986,11(4):15151538.LUG.Polynomials,higherorderSobolevextentiontheore
16、msandinterpolationinequalitiesonweightedFoUand-steinspacesonsatifiedgroupsJ.ActaMathSinica:EnglishSeries,2000,16:405444.TIERREZCEG.MaximumandcomparisonprincipleforconvexfunctionsontheHeisenberggroupJ.ComninPDE,2004,29(9):1305-1334.HANY,NIUP.Apiconetypeidentityandsturmiancomparisontheoremofsecondorde
17、rsemiLinearpartialdifferentialequafionsonthehomogeneousgroupJ.AetaMathApplSinica,2004,27:691-701.NIUP,ZHANGH,WANGY.HardytypeandRellichtypeinequalitiesontheHeisenberggroupJ.ProcAmerMathSoe,2001.129:36233630.Firstorderweightedinterpolationinequalitiesonnon-isotropicHeisenberggroup?-WANGYanlin.ZHAONg.b
18、o(SchoolofScience,XianPolytechnicUniversity,Xian710048,China)Abstract:First.orderinterpolationinequalitieswereresearchedonnon-isotropicHeisenberggroup.HardyinequalitieswerebuiltonnonisotropicHeisenberggroup.UsingthegeneralizedPiconetypeidetifiesonnonisotropicHeisenberggroup,thenewfirstorderinterpolationinequalitieswereobtainedonnonisotropicHeisenberggroup.Keywords:nonisotropicHeisenberggroup;Hardyinequalities;firstorderinterpolationinequalities编辑,校对:黄燕萍
