1、拉普拉斯方程的解分离变量法一 拉普拉斯方程的适用条件1 空间处处 ，自由电荷只分布在某些介质（如导体）表面上，0将这些表面视为区域边界，可以用拉普拉斯方程。2 在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的势为已知。 若所求区域为单一均匀介质，则介质中电势为真空中电势 。0 若所求区域为分区均匀介质，则不同介质交界面上有束缚面电荷。则区域 V 中电势可表示为两部分的和 0不满足 ，但 使 满足，仍可用拉普拉斯方程求解。022但注意，边值关系还要用 而不能用 。SS二 拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式1 直角坐标 0222zyx令 )()(,(ZYXzyx00022 Zdz
2、yYd一般令 221221 kkkkZFEzZDeCyYBAxXyykxxcossin)(2211若考虑了某些边界条件（有限边界）均与某些正整数有关，它,21们均可取 1，2，通解还要求取和后才行。若 与 无关， ),(yxz022YkdyXx2k特解 0kDCyYBeAxXxkxcossin)(若 ，与 无关。 z, BAxdx022 柱坐标 1)(122 zrr仅讨论 与 无关。,z令 )(),(gfr0)()(1222rfdrf解： cossin21ag有两个线性无关解 和 。)(f r单值性要求 ， 只能取整数，令 （正整数）)0n通解： 1 )cossi()cossin(),(n n
3、nn DCrBArr 若 ， ， 。)0r rBAl3球坐标nmmnnPRbaRcos)()(),( 1dci缔合勒让德函数（连带勒让德函数）)(cosmnP 若 不依赖于 ，即 具有轴对称性通解 nnPRbaR)(cos)(),(1为勒让德函数， cosn 0)s3(2)(s2P 若 与 均无关，即 具有球对称性，则通解为：,Rba)(三解题步骤1 选择坐标系和电势参考点坐标系选择主要根据区域中分界面形状参考点主要根据电荷分布是有限还是无限2 分析对称性，分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解3 根据具体条件确定常数（1） 外边界条件： 电荷分布有限 0边界条件和边值关系是相对的。导体边界
4、可视为外边界， 给定，或给定总电荷 Q，或给定S （接地 ）0S电荷分布无限，一般在均匀场中， zeE0（直角坐标或柱坐标）zrE00cos（2） 内部边值关系：介质分界面上表面无自由电荷。SSSn2121 四应用实例（习题课）1 两无限大平行导体板，相距为 ，两板间电势差为 Vl(与 无关)，一板接地，求两板间的电势 和zyx, E解：（1）边界为平面，故应选直角坐标系下板接地 ，为参考点01S（2）定性分析：由于在 处， 常数，可考虑 与 无关。lzVyx,（3） 列出方程并给出解：在 区域，l（4） 方程的解：0)(022 dz BAz（5）定常数： Bz lVAlVl)(6) 结果：
5、显然满足 和边界条件0zl02常数，均匀场lEeldEzz x yOV lzxy z2 一对接地半无限大平板，相距为 ，左端有一极板b电势为 V（常数） ，求两平行板之间的电势解：（1）边界为平面，选直角坐标系上、下两平板接地，为参考点同样若 或0y0,xxb（2） 轴平行于两平板，且 与 无关，可z Vby,z设 与 无关。),(z),(22xyxkyDCYBeAXxkcossin)()( ),( yBeAyxkxkx（3）确定常数 A，B，C，D，k （A ，B 不能全为零，否则 与 x 无关） 。0,0y ),321(sin nbknbb 与 n 有关，上面解可写为),()si)(),
6、yCeyxnkxkxn通解 1,n 0Ax)(si),( nnxnn CByebCybn1n3半径 a，带有均匀电荷分布 的无限长圆柱导体，求导体柱外空间的电势和电场。解：电荷分布在无限远，电势零点应选在有限区域，为简单可选在导体面 r = a 处（即 ） 。)0(ar选柱坐标系：对称性分析： 导体为圆柱，柱上电荷均匀分布，一定与 无关。 柱外无电荷，电力线从面上发出后，不会终止到面上，只能终止到无穷远，且在导体面上电场只沿 方向，可认为 与 zrexyz o r无关， )(rCdrdr0)(102rCdDln21 zrr eeeBE当 r = a 时， 则 不选择零点也不影响求场。0)(aCllnllnrB常数 C 的确定： aBdrar 0001 0l)(0 若选 则 )(ar arrln0rln0（ ）aln00电场 ： Eredr0在表面上 rE)()( ，由此或定出 ？1sin0byCVxnC两边同乘 并从 0 b 积分：ymsin 10010 sinisisinnbbnb dymdydyV （正交归一性）xbbmnsi22/ii0 10 /sinnmnb bCdymV04cos2si20VyydbCm5,31/in4),(mbxmeyVx（m = 奇数）（m = 偶数）令 ,2102nm byxebymVyx bxn0)(si4),(0 /)12(
