1、有关指导 信号分类 周期信号分析-傅里叶级数 非周期信号分析-傅里叶变换 脉冲函数及其性质信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段21 信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。进一步分为：周期信号，非周期信号。质 量 M 弹 簧 刚 度 K t x(t) o x0 质 量 弹 簧 系统 的 力 学 模 型 x(t) 0cos)( tmkAtx非确定性信号（随机信号）：给定条件下取值是不确定的 按取值情况分类：模拟信号，离散信号数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。 信号描述方法时域描述如简谐信号)c
2、os( 000 tx 简 谐 信 号 及 其 三 个 要 素 幅 值 频 率 相 角 频域描述以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。22 周期信号与离散频谱一、 周期信号傅里叶级数的三角函数形式 周期信号时域表达式)21()()2()()(， nnTtxTtxTtxtxT：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终”# 傅里叶级数的三角函数展开式)sincos()( 01 00tnbtnaatxn nn（n=1, 2, 3，） 傅立叶系数： 220 )(1 TT dttxTa 2
3、2 0cos)(2 TTn tdtntxTa 22 0sin)(2 TTn tdtntxTb 式中 -周期； 0-基频, 0=2/T。 三角函数展开式的另一种形式：)cos()(1 00n nntnAatx N次 谐 波 些 不 N次 谐 波 的 相 角 些 不 N次 谐 波 的 频 率 些 不 N次 谐 波 的 幅 值 些 不 信 号 的 均 值 ， 直 流 分 量 些 不 ,3,2,1arctg22nabbaAnnnnnn周期信号可以看作均值与一系列谐波之和-谐波分析法 频谱图 nA n0 2 0 2 周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并
4、画出频谱图解：t x(t) -A A T 非 对 称 周 期 方 波 周 期 方 波 解：信号的基频T 20 傅里叶系数奇 函 数 ： 00 naa 为 偶 数为 奇 数nnnAnnAttnATttntxTbTTTn04cos12dsin4dsin)(220 0220t的 偶 函 数 n次谐波的幅值和相角nAbbaAnnnn422 ， 2 n ),5,3,1( n 最后得傅立叶级数),5,3,1()2cos(4)( 0 ntnnAtxn频谱图 n An A434A54A2 0 3 0 5 0 图图图图 图图图图二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式 欧拉公式tjte tj sincos 或 tj
5、tjtjtjeejteet2sin21cos1j 傅立叶级数的复指数形式),3,2,1,0()( 0 nectxntjnn 复数傅里叶系数的表达式 2200 )(1 TT dttxTacdtetxTjbacTTtjnnnn 220)(12其中a n，b n的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。 一般c n是个复数。因为a n是n的偶函数 ， bn是n的奇函数，因此 #nn aa nn bb 即：实部相等，虚部相反，c n与c -n共轭。 cn的复指数形式njnn ecc 共轭性还可以表示为nn cc ， nn 即：cn与c -n模相等，相角相反。 傅立叶级数复指数也描述信号频率结构
6、。它与三角函数形式的关系对于n022)( 22 nnnnAbac （等于三角函数模的一半）nnn abarctg（与三角函数形式中的相角相等）2nn Ac nnnnn abab arctgarctg 用c n画频谱：双边频谱第一种：幅频谱图:|c n|-，相频谱图: n-0 0210nA 1A2An 2nc211Ac 222Ac 0 02 02 002 0022112n1单 边 频 谱 双 边 频 谱 第二种：实谱频谱图:Rec n-，虚频谱图：Imc n-；也就是a n- 和-bn- .#23 非周期信号与连续频谱分两类：a.准周期信号定义：由没有公共周期（频率）的周期信号组成频谱特性：离散
7、性，非谐波性判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数b.瞬变非周期信号t x(t) t t x(t) x(t) 几种瞬变非周期信号数学描述：傅里叶变换一、 傅里叶变换演变思路：视作周期为无穷大的周期信号式（2.22）借助（2.16）演变成： dedtetxtx tjtj )(21)(x(t)的 傅 里 叶 变 换 X( ) 定义x(t) 的傅里叶变换 X()dtetxX tj )()(X()的傅里叶反变换x (t): deXtx tj )(21)( 傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率 连续变化的无数谐波 deX tj)(21的叠加。称X( )其为函数 x(t)的频谱密
8、度函数 。 对应关系： tjnntj ecedX 0)(21 X()描述了 x(t)的频率结构X()的指数形式 为)()()( jeXX 以频率 f (Hz)为自变量，因为f = w/(2p)，得 dtetxfX tfj 2)()( dfefXtx tfj 2)()( X( f )的指数形式 )()()( fjefXfX 频谱图幅值频谱图和相位频谱图：)(X)(幅 值 频 谱 图 相 位 频 谱 图 实频谱图Re X()和虚频谱图Im()如果X ()是实函数，可用一张X( )图表示。负值理解为幅值为 X()的绝对值，相角为 或 。二、 傅里叶变换的主要性质（一）叠加性)()()()( 2211
9、2211 fXafXatxatxa FT （二）对称性)()( fxtX FT （注意翻转）（三）时移性质020 )()( tfjFT efXttx （幅值不变，相位随 f 改变2ft 0）（四）频移性质)()( 02 0 ffXetx FTftj （注意两边正负号相反）（五）时间尺度改变特性)(1)( afXaatx （六）微分性质)()2()( fXfjdt txd nFTnn （七）卷积性质（1）卷积定义 dtyxtytx )()()()(（2）卷积定理)()()()()()()()(fYfXtytxfYfXtytxFTFT 三、 脉冲函数及其频谱（一） 脉冲函数：x(t) -/2 t
10、t0 A 1/ x(t) t /2 )(t )(0tA定义函数（要通过函数值和面积两方面定义）函数值：000)(ttt脉冲强度（面积）1)( dtt（二）脉冲函数的样质1 脉冲函数的采性（相乘）样质：t t0 )( 0tt t x(t) )(tx(t) )()0( tx )()( 00 tttx 函数值：000)()(0 tttttx 强度：)()()()()( 0000 txdttttxdttttx 结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t)在脉冲发生时刻的函数值2.脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。2 脉冲函数的卷积性质：(a) 利用结论2)()()()()()
11、()(txdttxdtxttx(b) 利用结论2)()()()()()()(00000ttxdttttxdttxtttx结论：平移 t t0 )(0tx(t) )(0tx（三）脉冲函数的频谱1)()()( 2 dtetft ftjFT 均匀幅值谱由此导出的其他3个结果020)( ftjFT ett （利用时移性质） ffFT 1 （利用对称性质）)( 02 0 ffe FTtfj （对上式，再用频移性质）（四）正弦函数和余弦函数的频谱 ）0022 (21)(21212cosffffeeftFTftjftj ）0022 (2)(222sinffjffjeejftFTftjftj f )(ff )(f余 弦 函 数 的 频 谱 正 弦 函 数 的 频 谱 f0 f0 -f0 -f0 -1/2 1/2 1/2 1/2
