1、【2013 年中考攻略】专题 8：几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例 1. （2012 山东济南 3 分）如图，MON=9
2、0，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为【 】A B C 5 D215142【答案】A。【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】如图，取 AB 的中点 E，连接 OE、DE、OD，ODOE+DE，当 O、D、E 三 点共线时，点 D 到点 O 的距离最大，此时，AB=2，BC=1，OE=AE= AB=1。12DE= ，2AOD 的最大值为： 。故选 A。1例 2.（2012
3、湖北鄂州 3 分）在锐角三角形 ABC 中，BC= ，ABC=45，BD 平分ABC，M、 N 分别是24BD、BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是 。【答案】4。【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，在 BA 上截取 BE=BN，连接 EM。ABC 的平分线交 AC 于点 D，EBM=NBM。在AME 与AMN 中，BE=BN ，EBM=NBM，BM=BM，BMEBMN（SAS） 。ME=MN。CM+MN=CM+MECE。又CM+MN 有最小值，当 CE 是点 C 到直线 AB 的距离时，CE
4、取最小值。BC= ，ABC=45，CE 的最小值为 sin450=4。4242CM+MN 的最小值是 4。例 3.（2011 四川凉山 5 分）如图，圆柱底面半径为 ，高为 ，点 A、B 分别是圆柱两底面圆cm9c周上的点，且 A、B 在同一母线上，用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B，求棉线最短为 。cm【答案】 。15【考点】圆柱的展开，勾股定理，平行四边形的性质。【分析】如图，圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线，第一条斜线与底面圆周长、 高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周长为 ，13 4cm高为 ，根据勾股定理，得斜线长为 ，根据平行四边形的性cm5c质，棉线最短为 。15例
5、 4. （2012 四川眉山 3 分）在ABC 中，AB5，AC3，AD 是 BC 边上的中线，则 AD 的取值范围是 【答案】1AD4。【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。【分析】延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 CE根据 SAS 证明ABDECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 CE。BD=CD，ADB=EDC，AD=DE，ABDECD（SAS） 。CE=AB。在ACE 中，CEACAECEAC，即 22AD8。1AD4。练习题：1. （2011 湖北荆门 3 分）如图，长方体的底面边长分别为 2 和 4 ，高为
6、5 .若一只蚂蚁从 P 点cmc开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm2.（2011 四川广安 3 分）如图，圆柱的底面周长为 6cm，AC 是底面圆的直径，高 BC=6cm，点 P 是母线 BC上一点，且 PC= BC一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最短距离是【 】2A、 B、5cm C、 D、7cm6(4)353.（2011 广西贵港 2 分）如图所示，在边长为 2 的正三角形 ABC 中，E、F、G 分别为 AB、AC、BC 的中点，点 P 为线段 EF 上一个动点，连接 BP、G
7、P，则BPG 的周长的最小值是 _ 二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例 1. （2012 山东莱芜 4 分）在ABC 中，ABAC5，BC6若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值是 【答案】 。245【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当 BPAC 时，BP 取得最小值。设 AP=x，则由 ABAC5 得 CP=5x，又BC6，在 RtAB P和 RtCBP中应用勾股定理，得。222BPABPC值 ，即 ，解得 。 225x6x7=5 ，即 BP 的最小值是 。2764P5= 4例 2.（2012 浙江台州 4 分）如图，菱形
8、ABCD 中，AB=2，A=120，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD上的任 意一点，则 PK+QK 的最小值为【 】A 1 B C 2 D 133【答案】B。【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】分两步分析：（1）若点 P，Q 固定，此时点 K 的位置：如图，作点 P 关于 BD 的对称点 P1，连接 P1Q，交 BD 于点 K1。由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得P1K1 = P K1，P 1K=PK。由三角形两边之和大于第三边的性质，得 P1KQKP 1Q= P1K1Q
9、K 1= P K1Q K 1。此时的 K1就是使 PK+QK 最小的位置。（2）点 P，Q 变动，根据菱形的性质，点 P 关于 BD 的对称点 P1在 AB 上，即不论点 P 在 BC 上任一点，点 P1总在 AB 上。因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当 P1QAB 时 P1Q 最短。过点 A 作 AQ1DC 于点 Q1。 A=120，DA Q 1=30。又AD=AB=2，P 1Q=AQ1=ADcos300= 。32综上所述，PK+QK 的最小值为 。故选 B。例 3.（2012 江苏连云港 12 分）已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，
10、问题 1：如图 1，P 为 AB 边上的一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ，DC 的长能否相等，为什么？问题 2：如图 2，若 P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题 3：若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DEPD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题 4：如图 3，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 A
11、EnPA(n 为常数)，以 PE、PB 为边作平行四边形 PBQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由【答案】解：问题 1：对角线 PQ 与 DC 不可能相等。理由如下： 四边形 PCQD 是平行四边形，若对角线 PQ、DC 相等，则四边形 PCQD 是矩形，DPC90。AD1，AB2，BC3，DC2 。2设 PBx，则 AP2x，在 RtDPC 中，PD 2PC 2DC 2，即 x23 2(2x) 21 28，化简得 x22x30，(2)241380，方程无解。不存在 PBx，使DPC90。对角线 PQ 与 DC 不可能相等。问题 2：存
12、在。理由如下：如图 2，在平行四边形 PCQD 中，设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G，则 G 是 DC 的中点。过点 Q 作 QHBC，交 BC 的延长线于 H。ADBC，ADCDCH，即ADPPDGDCQQCH。PDCQ，PDCDCQ。ADPQCH。又PDCQ，RtADPRtHCQ（AAS） 。ADHC。AD1，BC3，BH4，当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 4。问题 3：存在。理由如下：如图 3，设 PQ 与 DC 相交于点 G，PECQ，PDDE， 。DP1=CQ2G 是 DC 上一定点。作 QHBC，交 BC 的延长线于 H，同理可证ADPQCH，RtADPRtHCQ。
13、。ADP1=CHQ2AD1，CH2。BHBGCH325。当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 5。问题 4：如图 3，设 PQ 与 AB 相交于点 G，PEBQ，AEnPA， 。PAG1=BQn+G 是 DC 上一定点。作 QHPE，交 CB 的延长线于 H，过点 C 作 CKCD，交 QH 的延长线于 K。ADBC，ABBC，DQHC，DAPPAGQBHQBG90PAGQBG，QBHPAD。ADPBHQ， ，ADP1=BHQn+AD1，BHn1。CHBHBC3n1n4。过点 D 作 DMBC 于 M，则四边形 ABND 是矩形。BMAD1，DMAB2。CMBCBM312DM。DCM45。K
14、CH45。CKCHcos45 (n4)，2当 PQCD 时，PQ 的长最小，最小值为 (n4)。2【考点】反证法，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】问题 1：四边形 PCQD 是平行四边形，若对角线 PQ、DC 相等，则四边形 PCQD 是矩形，然后利用矩形的性质，设 PBx，可得方程 x23 2(2x) 218，由判别式0，可知此方程无实数根，即对角线 PQ，DC 的长不可能相等。问题 2：在平行四边形 PCQD 中，设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G，可得 G 是 DC 的
15、中点，过点 Q 作QHBC，交 BC 的延长线于 H，易证得 RtADPRtHCQ，即可求得 BH4，则可得当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 4。问题 3：设 PQ 与 DC 相交于点 G，PECQ，PDDE，可得 ，易证得 RtADPRtDP1=CQ2HCQ，继而求得 BH 的长，即可求得答案。问题 4：作 QHPE，交 CB 的延长线于 H，过点 C 作 CKCD，交 QH 的延长线于 K，易证得与ADPBHQ，又由DCB45，可得CKH 是等腰直角三角形，继而可求得 CK 的ADP1=BHQn+值，即可求得答案。例 4.（2012 四川广元 3 分） 如图，点 A 的坐标为（-1，
16、0） ，点 B 在直线 上运动，当线段 AB 最短yx时，点 B 的坐标为【 】A.（0，0） B.（ ， ） C.（ ， ） D.（ ， ）2122例 5.（2012 四川乐山 3 分）如图，在ABC 中，C=90，AC=BC=4，D 是 AB 的中点，点 E、F 分别在AC、BC 边上运动（点 E 不与点 A、C 重合） ，且保持 AE=CF，连接 DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：DFE 是等腰直角三角形；四边形 CEDF 不可能为正方形；四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化；点 C 到线段 EF 的最大距离为 其中正确结论的个数是【 】A1 个 B2
17、个 C3 个 D4 个【答案】B。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】连接 CD（如图 1） 。ABC 是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB。AE=CF，ADECDF（SAS） 。ED=DF，CDF=EDA。ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90。DFE 是等腰直角三角形。故此结论正确。当 E、F 分别为 AC、BC 中点时，由三角形中位线定理，DE 平行且等于 BC。12四边形 CEDF 是平行四边形。又E、F 分别为 AC、BC 中点，AC=BC，四边形 CEDF 是菱形。又C=90，四边形 CEDF 是正方形。故
18、此结论错误。如图 2，分别过点 D，作 DMAC，DNBC，于点 M，N，由，知四边形 CMDN 是正方形，DM=DN。由，知DFE 是等腰直角三角形，DE=DF。RtADERtCDF（HL） 。由割补法可知四边形 CEDF 的面积等于正方形 CMDN 面积。四边形 CEDF 的面积不随点 E 位置的改变而发生变化。故此结论错误。由，DEF 是等腰直角三角形，DE= EF。2当 DF 与 BC 垂直，即 DF 最小时， EF 取最小值 2 。此时点 C 到线段 EF 的最大距离为 。2故此结论正确。故正确的有 2 个：。故选 B。例 6.（2012 四川成都 4 分）如图，长方形纸片 ABCD
19、 中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图，在线段 AD 上任意取一点 E，沿 EB，EC 剪下一个三角形纸片 EBC(余下部分不再使用)；第二步：如图，沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分，并在线段 GH 上任意取一点 M，线段BC 上任意取一点 N，沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分；第三步：如图，将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180，使线段 GB 与 GE 重合，将 MN 右侧纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180，使线段 HC 与 HE 重合，拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的四边形纸片(注：裁剪和拼图过程均无缝
20、且不重叠)则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 cm，最大值为 cm【答案】20；12+ 。413【考点】图形的剪拼，矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理。【分析】画出第三步剪拼之后的四边形 M1N1N2M2的示意图，如答图 1 所示。图中，N 1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理） 。又M 1M2N 1N2，四边形 M1N1N2M2是一个平行四边形，其周长为 2N1N2+2M1N1=2BC+2MN。BC=6 为定值，四边形的周长取决于 MN 的大小。如答图 2 所示，是剪拼之前的完整示意图。过
21、G、H 点作 BC 边的平行线，分别交 AB、CD 于 P 点、Q 点，则四边形 PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形 ABCD 的一半。M 是线段 PQ 上的任意一点，N 是线段 BC 上的任意一点，根据垂线段最短，得到 MN 的最小值为 PQ 与 BC 平行线之间的距离，即 MN最小值为 4；而 MN 的最大值等于矩形对角线的长度，即 。22PBC4613四边形 M1N1N2M2的周长=2BC+2MN=12+2MN，四边形 M1N1N2M2周长的最小值为 12+24=20；最大值为 12+2 =12+ 。4例 7. （2012 四川乐山 3 分）如图，在ABC 中，C=90，AC=BC=4，
22、D 是 AB 的中点，点 E、F 分别在AC、BC 边上运动（点 E 不与点 A、C 重合） ，且保持 AE=CF，连接 DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：DFE 是等腰直角三角形；四边形 CEDF 不可能为正方形；四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化；点 C 到线段 EF 的最大距离为 其中正确结论的个数是【 】A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】B。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】连接 CD（如图 1） 。ABC 是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB。AE=CF，ADECDF（S
23、AS） 。ED=DF，CDF=EDA。ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90。DFE 是等腰直角三角形。故此结论正确。当 E、F 分别为 AC、BC 中点时，由三角形中位线定理，DE 平行且等于 BC。12四边形 CEDF 是平行四边形。又E、F 分别为 AC、BC 中点，AC=BC，四边形 CEDF 是菱形。又C=90，四边形 CEDF 是正方形。故此结论错误。如图 2，分别过点 D，作 DMAC，DNBC，于点 M，N，由，知四边形 CMDN 是正方形，DM=DN。由，知DFE 是等腰直角三角形，DE=DF。RtADERtCDF（HL） 。由割补法可知四边形 CEDF 的面积等
24、于正方形 CMDN 面积。四边形 CEDF 的面积不随点 E 位置的改变而发生变化。故此结论错误。由，DEF 是等腰直角三角形，DE= EF。2当 DF 与 BC 垂直，即 DF 最小时， EF 取最小值 2 。此 时点 C 到线段 EF 的最大距离为 。2故此结论正确。故正确的有 2 个：。故选 B。例 8. （2012 浙江宁波 3 分）如图，ABC 中，BAC=60，ABC=45，AB=2 ，D 是线段 BC 上的一2个动点，以 AD 为直径画O 分别交 AB，AC 于 E，F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为 【答案】 。3【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角
25、形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由垂线段的性质可知，当 AD 为ABC 的边 BC 上的高时，直径 AD 最短，此时线段EF=2EH=20EsinEOH=20Esin60，当半径 OE 最短时，EF 最短。如图，连接 OE，OF，过 O 点作OHEF，垂足为 H。 在 RtADB 中，ABC=45，AB=2 ，2AD=BD=2，即此时圆的直径为 2。由圆周角定理可知EOH= EOF=BAC=60，12在 RtEOH 中，EH=OEsinEOH=1 。3=2由垂径定理可知 EF=2EH= 。3例 9. （2012 四川自贡 12 分）如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，B
26、AD=120，AEF 为正三角形，点E、F 分别在菱形的边 BCCD 上滑动，且 E、F 不与 BCD 重合（1）证明不论 E、F 在 BCCD 上如何滑动，总有 BE=CF；（2）当点 E、F 在 BCCD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值【答案】解：（1）证明：如图，连接 AC四边形 ABCD 为菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，FAC+EAC=60，BAE=FAC。BAD=120，ABF=60。ABC 和ACD 为等边三角形。ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。在ABE 和ACF 中，
27、BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA） 。BE=CF。（2）四边形 AECF 的面积不变，CEF 的面积发生变化。理由如下：由（1）得ABEACF，则 SABE =SACF 。S 四边形 AECF=SAEC +SACF =SAEC +SABE =SABC ，是定值。作 AHBC 于 H 点，则 BH=2，。2AECFB1SABCH432值边由“垂线段最短”可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短故AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，又 SCEF =S 四边形 AECFS AEF
28、，则此时CEF 的面积就会最大S CEF =S 四边形 AECFS AEF 。2143233CEF 的面积的最大值是 。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】（1）先求证 AB=AC，进而求证ABC、ACD 为等边三角形，得ACF =60，AC=AB，从而求证ABEACF，即可求得 BE=CF。（2）由ABEACF 可得 SABE =SACF ，故根据 S 四边形 AECF=SAEC +SACF =SAEC +SAB E=SABC 即可得四边形 AECF 的面积是定值。当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最
29、短AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，根据 SCEF =S 四边形 AECFS AEF ，则CEF的面积就会最大。例 10.（2012 浙江义乌 10 分）在锐角ABC 中，AB=4，BC=5，ACB=45，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A 1BC1（1）如图 1，当点 C1在线段 CA 的延长线上时，求CC 1A1的度数；（2）如图 2，连接 AA1，CC 1若ABA 1的面积为 4，求CBC 1的面积；（3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点
30、 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值【答案】解：（1）由旋转的性质可得：A 1C1B=ACB=45，BC=BC 1，CC 1B=C 1CB=45。CC 1A1=CC 1B+A 1C1B=45+45=90。（2）由旋转的性质可得：ABCA 1BC1，BA=BA 1，BC=BC 1，ABC=A 1BC1。 ，ABC+ABC 1=A 1BC1+ABC 1。ABA 1=CBC 1。1BACABA 1CBC 1。 。12ABCS465S ABA1 =4，S CBC1 = 。254（3）过点 B 作 BDAC，D 为垂足，ABC 为锐角三角形，点 D 在线段 AC 上。在 RtBC
31、D 中，BD=BCsin45= 。52如图 1，当 P 在 AC 上运动至垂足点 D，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 上时，EP 1最小。最小值为：EP 1=BP1BE=BDBE= 2。52如图 2，当 P 在 AC 上运动至点 C，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 的延长线上时，EP 1最大。最大值为：EP 1=BC+BE=5+2=7。【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】 （1）由旋转的性质可得：A 1C1B=ACB=45，BC=BC 1，又由等腰三角形的性质，即可求得CC 1
32、A1的度数。（2）由旋转的性质可得：ABCA 1BC1，易证得ABA 1CBC 1，利用相似三 角形的面积比等于相似比的平方，即可求得 CBC 1的面积。（3）由当 P 在 AC 上运动至垂足点 D，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 上时，EP1最小；当 P 在 AC 上运动至点 C，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1在线段 AB 的延长线上时，EP1最大，即可求得线段 EP1长度的最大值与最小值。例 11. （2012 福建南平 14 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，连接 AD、DE，且1=B=C（1）由题设条件，请写出
33、三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一： ；结论二： ；结论三： （2）若B=45，BC=2，当点 D 在 BC 上运动时（点 D 不与 B、C 重合） ，求 CE 的最大值；若ADE 是等腰三角形，求此时 BD 的长（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）【答案】解：（1）AB=AC；AED=ADC；ADEACD。（2）B=C，B=45，ACB 为等腰直角三角形。 。2ACB21=C，DAE=CAD，ADEACD。AD：AC=AE：AD， 。2ADEC 2AD当 AD 最小时，AE 最
34、小，此时 ADBC，AD= BC=1。1AE 的最小值为 。CE 的最大值= 。212当 AD=AE 时，1=AED=45，DAE=90。点 D 与 B 重合，不合题意舍去。当 EA=ED 时，如图 1，EAD=1=45。AD 平分BAC，AD 垂直平分 BC。BD=1。当 DA=DE 时，如图 2，ADEACD，DA：AC=DE：DC。DC=CA= 。BD=BCDC=2 。2综上所述，当ADE 是等腰三角形时，BD 的长的长为 1或 2 。【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。【分析】 （1）由B=C，根据等腰三角形的性质可得 AB=AC；由1=C，AED
35、=EDC+C 得到AED=ADC；又由DAE=CAD，根据相似三角形的判定可得到ADEACD。（2）由B=C，B=45可得ACB 为等腰直角三角形，则 ，由2ACB21=C，DAE=CAD，根据相似三角形的判定可得ADEACD，则有 AD：AC=AE：AD，即，当 ADBC，AD 最小，此时 AE 最小，从而由 CE=ACAE 得到 CE 的最大值。2ADEC 2AD分当 AD=AE， ，EA=ED，DA=DE 三种情况讨论即可。练习题：1. （2011 浙江衢州 3 分）如图，OP 平分MON，PAON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动点，若PA=2，则 PQ 的最小值为【 】A、
36、1 B、2 C、3 D、42.（2011 四川南充 8 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AD=AB=CD=2，C=60，M 是 BC 的中点（1）求证：MDC 是等边三角形；（2）将MDC 绕点 M 旋转，当 MD（即 MD）与 AB 交于一点 E，MC（即 MC）同时与 AD 交于一点 F 时，点 E，F 和点 A 构成AEF试探究AEF 的周长是否存在最小值如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF 周长的最小值3.（2011 浙江台州 4 分）如图，O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切O 于点 Q，则 PQ 的最
37、小值为【 】A 13 B 5 C3 D24.（2011 河南省 3 分）如图，在四边形 ABCD 中，A=90，AD=4，连接 BD，BDCD，ADB=C若 P是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为 5.（2011 云南昆明 12 分）如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10cm，AC：BC=4：3，点 P 从点 A 出发沿AB 方向向点 B 运动，速度为 1cm/s，同时点 Q 从点 B 出发沿 BCA 方向向点 A 运动，速度为 2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动（1）求 AC、BC 的长；（2）设点 P 的运动时间为 x（秒） ，PBQ 的面积为
38、y（cm 2） ，当PBQ 存在时，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）当点 Q 在 CA 上运动，使 PQAB 时，以点 B、P、Q 为定点的三角形与ABC 是否相似，请说明理由；（4）当 x=5 秒时，在直线 PQ 上是否存在一点 M，使BCM 得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由三、应用轴对称的性质求最值：典型例题：例 1. （2012 山东青岛 3 分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距
39、离为 cm【答案】15。【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 A 竖直剖开）后侧面是一个长18 宽 12 的矩形，作点 A 关于杯上沿 MN 的对称点 B，连接 BC 交 MN 于点P，连接 BM，过点 C 作 AB 的垂线交剖开线 MA 于点 D。由轴对称的性质和三角形三边关系知 APPC 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且 AP=BP。由已知和矩形的性质，得 DC=9，BD=12。在 RtBCD 中，由勾股定理得 。22BCD915APPC=BPPC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15cm。例 2. （2012 甘
40、肃兰州 4 分）如图，四边形 ABCD 中，BAD120，BD90，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 周 长最小时，则AMNANM 的度数为【 】A130 B120 C110 D100【答案】B。【考点】轴对称（最短路线问题） ，三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。【分析】根据要使AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出 A 关于 BC和 ED 的对称点 A，A，即可得出AAMAHAA60，进而得出AMNANM2(AAMA)即可得出答案：如图，作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A，A，连接 AA，交 BC 于 M，交 CD 于 N，
41、则 AA即为AMN 的周长最小值。作 DA 延长线 AH。BAD120，HAA60。AAMAHAA60。MAAMAA，NADA，且MAAMAAAMN，NADA ANM，AMNANMMAAMAANADA2(AAMA)260120。故选 B。例 3. （2012 福建莆田 4 分）点 A、均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示若 P 是 x 轴上使得 的值最大的点，Q 是 y 轴上使得 QA 十 QB 的值最小的点，PB则 OPQ【答案】5。【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】连接 A
42、B 并延长交 x 轴于点 P，作 A 点关于 y 轴的对称点 A连接 AB 交 y 轴于点 Q，求出点 Q与 y 轴的交点坐标即可得出结论：连接 AB 并延长交 x 轴于点 P，由三角形的三边关系可知，点 P 即为 x 轴上使得|PAPB|的值最大的点。点 B 是正方形 ADPC 的中点，P（3，0）即 OP=3。作 A 点关于 y 轴的对称点 A连接 AB 交 y 轴于点 Q，则 AB 即为 QA+QB 的最小值。A（-1，2），B（2，1），设过 AB 的直线为：y=kx+b，则 ，解得 。Q（0， ），即 OQ= 。2kb 11k355353OPOQ=3 =5。53例 4. （2012
43、四川攀枝花 4 分）如图，正方形 ABCD 中，AB=4，E 是 BC 的中点，点 P 是对角线 AC 上一动点，则 PE+PB 的最小值为 【答案】 。25【考点】轴对称（最短路线问题） ，正方形的性质，勾股定理。【分析】连接 DE，交 BD 于点 P，连接 BD。点 B 与点 D 关于 AC 对称，DE 的长即为 PE+PB 的最小值。AB=4，E 是 BC 的中点，CE=2。在 RtCDE 中， 。22=C+E45例 5. （2012 广西贵港 2 分）如图，MN 为O 的直径，A、B 是 O 上的两点，过 A 作 ACMN 于点 C，过 B 作 BDMN 于点 D，P 为 DC 上的任
44、意一点，若 MN20，AC8，BD6，则 PAPB 的最小值是 。【答案】14 。2【考点】轴对称（最短路线问题） ，勾股定理，垂径定理。【分析】MN20，O 的半径10。连接 OA、OB，在 RtOBD 中，OB10，BD6，OD 8。OB2 BD2 102 62同理，在 RtAOC 中，OA10，AC8，OC 6。OA2 AC2 102 82CD8614。作点 B 关于 MN 的对称点 B，连接 AB，则 AB即为 PAPB 的最小值，BDBD6，过点B作 AC 的垂线，交 AC 的延长线于点 E。在 RtABE 中，AEACCE8614，BECD14，AB 14 。AE2 B E2 14
45、2 142 2例 6. （2012 湖北十堰 6 分）阅读材料：例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值22x(3)值解： ，如图，建立平面直角坐标系，点2214 (x0)1(x3)P（x，0）是 x 轴上一点，则 可以看成点 P 与点 A（0，1）的距离， 可以看2() 2(x3)成点 P 与点 B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和，它的最小值就是PAPB 的最小值设点 A 关于 x 轴的对称点为 A，则 PA=PA，因此，求 PAPB 的最小值，只需求 PAPB 的最小值，而点 A、B 间的直线段距离最短，所以 PAPB 的最小值为线段 AB 的长度为此，构造直角三角形ACB，因为 AC=3，CB=3，所以 AB=3 ，即原式的最小值为 3 。22根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点 A（1，1） 、点22(x1)(x)9B 的距离之和 （填写点 B 的坐标）（2）代数式 的最小值为 224937【答案】解：（1） （2，3） 。（2）10。【考点】坐标与图形性质，
