1、八年级数学最短距离问题最短距离；对称；平移；展开初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短” （以下简称“两点之间，线段最短” ）这一公理为原则引申出来的。初中数学题目中带有限制条件的最短路线问题，即最短路线问题，它的解决方法归根到底是想方设法运用“两点之间，线段最短”这一公理来解决，常用方法是对称和展开。1、 利用“对称”解决最短路线问题。对称有一个重要的性质，即“对应点连线段被对称轴垂直平分” ，简单地说就是“对称轴垂直平分这条对应点连线段” 。而垂直平分线有一条重要的性质，即“垂直平分线上的点到两端点的距离相等” 。所以，我们研究 A 点到直线 l 的距离问题，就
2、转化成了 A点到直线 l 的距离问题，而这个转化是等价的。例 1.（饮马问题）将军在 B 处放马，晚上回营，需要将马赶到河 CD 去饮水一次，再回到营地 A，已知 A 到河岸的距离 AE=2 公里，B 到河岸的距离 BF=3 公里，EF=12 公里，求将军最短需要走多远。分析：本题要求的是将军行走的最短距离，而我们知道两点之间线段最短，所以我们要把本题中的问题转化成两点之间线段最短，从而求得答案。如果我们设饮水地点是 P，所求的距离就是 AP+BP 两线段长度之和，为了应用 “两点之间，线段最短”这一公理，我们利用对称的方法将 A 点对称到河对岸的 A点，这样 AP+BP=AP+BP，我们连接
3、 AB，与 CD 的交点 P 即为饮水地点，如图利用勾股定理求出结果：AB 2=AG2+BG2，AB=13 公里。2、 利用“平移”解决最短路线问题例 2.A，B 两个村子，中间隔了一条小河（如下图） ，现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸。请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使 A，B 两个村子之间的路程最短。分析：因为河垂直于河岸，所以最短路程必然是折线。分别是 A 点到河岸+ 桥长+河岸到 B点。因为桥长是垂直于桥且长度固定，等于河宽，所以我们可以作 A 点垂直于河岸的垂线，量出 AC=EF，如图。就相当于先过河（AC 长） ，再求 C 点到 B 点的最短距离，即线段 CB。解，如上
4、图，过 A 点作河岸的垂线，取 AC 为河宽，连接 CB 交河下岸与 E，再做 EF 垂直于河岸，则 AF+EF+EB 即为最短距离。3、 利用展开图求最短距离问题如果最短距离问题出现在立体图形中，如圆柱，圆锥，棱柱等。我们左丘的最短路线应该是展开图这一平面图中两点之间的线段长度。例 3. 工人师傅要给一个圆柱体的制品镶嵌金线，如下图，如果金线的起点固定在 A 点，绕一周后终点为 B 点，如果 AB 长为 10cm，底面周长为 12cm，问最短用多少金线。分析：很明显这是一条曲线，如果我们从母线 AB 处剪开圆柱的侧面，展开成平面图如下图：那么我们会发现连接 AB，即为此最短的金线长度，根据勾股定理可得 AB为 。拓展：如果绕两圈，绕 n 圈所需的金线长度，该如何求？例 4：如图，一个长方体中，一只蚂蚁想要从 A 点爬到 D 点吃一块糖，一只AB=BC=12cm，CD=5cm，求最短距离。分析：A D 不在同一个平面，所以爬过去是一条折线，我们的思路依然是展开成一个平面。此处的展开我们要注意有三种展开情况，分别是前面与顶面，前面与右面，左面与顶面。这三种情况均能将 A D 分配到一个平面上。下面我们要就这三种情况分别计算 A 到 D 的直线距离。
