1、中考数学真题汇编:二次函数一、选择题1. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h（m）与飞行时间 t（s）满足函数表达式ht 224t1则下列说法中正确的是（ ） A. 点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度相同 B. 点火后 24s 火箭落于地面C. 点火后 10s 的升空高度为 139m D. 火箭升空的最大高度为 145m【答案】D 2. 关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ） A . 图像与 轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在 轴的右侧 C. 当 时， 的值随 值的增大而减小 D. 的最小值为 -3【答案】D3. 如图,函数 和 ( 是常数, 且 )在同一平面直角坐标系的图象
2、可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 4.二次函数 的图像如图所示，下列结论正确是( )A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C 5. 给出下列函数：y=3x+2；y= ；y=2x 2；y=3x，上述函数中符合条作“当 x1 时，函数值 y随自变量 x 增大而增大 “的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线 y=x2+ax+b 与 x 轴两个交点间的距离为 2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线 x=1，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛物线过点（ ） A. （-3 ，-6） B. （ -3，0 ）
3、 C. （-3，-5） D. （-3 ，-1）【答案】B 7. 如图，若二次函数 y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴为 x=1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、点B（1，0），则 二次函数的最大值为 a+b+c；ab+c0 ；b 24ac 0；当 y0 时，1 x 3，其中正确的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 8. 若抛物线 与 轴两个交点间的距离为 2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线 ，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 9.如图是二次函数
4、（ ， ， 是常数， ）图象的一部分，与 轴的交点 在点 和 之间，对称轴是 .对于下列说法： ； ； ； （ 为实数）；当 时， ，其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 10.如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点 P若点 P 的横坐标为-1，则一次函数 y=（ a-b）x+b 的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】D 11.四位同学在研究函数 （b，c 是常数）时，甲发现当 时，函数有最小值；乙发现 是方程 的一个根；丙发现函数的最小值为 3；丁发现当 时， 已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A. 甲 B.
5、 乙 C. 丙 D. 丁【答案】B 12.如图所示, DEF 中,DEF=90,D=30,DF=16,B 是斜边 DF 上一动点,过 B 作 ABDF 于 B,交边 DE(或边EF)于点 A,设 BD=x,ABD 的面积为 y,则 y 与 x 之间的函数图象大致为（ ）A. （ B. C. D. （ 【答案】B 二、填空题 13.已知二次函数 ，当 x0 时，y 随 x 的增大而_（填“增大” 或“减小”） 【答案】增大 14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加_m。【答案】4 -4 三、解答题 15. 如图，抛物线 （a 0）过点 E（10
6、，0），矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上（点 A 在点 B的左边），点 C ， D 在抛物线上设 A（t ， 0），当 t=2 时，AD=4 （1 ）求抛物线的函数表达式 （2 ）当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？ （3 ）保持 t=2 时的矩形 ABCD 不动，向右平移抛物线当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 G ， H ， 且直线 GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离 【答案】（1）设抛物线的函数表达式为 y=ax（x-10）当 t=2 时，AD=4点 D 的坐标是（2，4）4=a2（2-10），解得 a= 抛物线的函数表达式为 （2 ）由
7、抛物线的对称性得 BE=OA=tAB=10-2t当 x=t 时，AD= 矩形 ABCD 的周长=2（AB+AD）= 0当 t=1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值是多少 （3 ）如图，当 t=2 时，点 A，B，C ，D 的坐标分别为（2，0），（8 ，0），（8 ，4），（2，4 ）矩形 ABCD 对角线的交点 P 的坐标为（5，2 ）当平移后的抛物线过点 A 时，点 H 的坐标为（4 ，4），此时 GH 不能将矩形面积平分。当平移后的抛物线过点 C 时，点 G 的坐标为（6 ，0），此时 GH 也不能将矩形面积平分。当 G，H 中有一点落在线段 AD 或 BC 上时，直线 GH
8、不可能将矩形面积平分。当点 G，H 分别落在线段 AB，DC 上时，直线 GH 过点 P，必平分矩形 ABCD 的面积。AB CD线段 OD 平移后得到线段 GH线段 OD 的中点 Q 平移后的对应点是 P在OBD 中，PQ 是中位线PQ= OB=4所以，抛物线向右平移的距离是 4 个单位。 16. 学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图 1），顺次输入点 P1 ， P2 ， P3 的坐标，机器人能根据图 2，绘制图形。若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式。请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式。P 1（4，0 ），P 2（0 ，0），P 3（6
9、，6）。P 1（0，0 ），P 2（4 ，0），P 3（6，6）。 【答案】P 1（4，0），P 2（0，0 ），4-0=4 0 ，绘制线段 P1P2 ， P1P2=4.P 1（0，0 ），P 2（4 ，0），P 3（6，6），0-0=0，绘制抛物线，设 y=ax（x-4 ），把点（ 6，6）坐标代入得 a= ， ，即 。 17.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 y（单位：m ）与飞行时间 x（单位：s ）之间具有函数关系 y=5x 2+20x，请根据要求解答下列问题：（1 ）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，
10、飞行时间是多少？ （2 ）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3 ）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【答案】（1）解：当 y=15 时，15= 5x2+20x，解得，x 1=1，x 2=3，答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是 1s 或 3s（2 ）解：当 y=0 时，05x 2+20x，解得，x 3=0，x 2=4，4 0=4，在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是 4s（3 ）解：y=5x 2+20x=5（x2） 2+20，当 x=2 时，y 取得最大值，此时， y=20，答：在飞行过程中，小球飞行高度第 2s 时最大，最大高度
11、是 20m 18.在平面直角坐标系中，点 ，点 .已知抛物线 （ 是常数），定点为 . （1 ）当抛物线经过点 时，求定点 的坐标； （2 ）若点 在 轴下方，当 时，求抛物线的解析式； （3 ）无论 取何值，该抛物线都经过定点 .当 时，求抛物线的解析式. 【答案】（1）解：抛物线 经过点 ， ，解得 .抛物线的解析式为 . ，顶点 的坐标为 .（2 ）解：如图 1， 抛物线 的顶点 的坐标为 .由点 在 轴正半轴上，点 在 轴下方， ，知点 在第四象限.过点 作 轴于点 ，则 .可知 ，即 ，解得 ， .当 时，点 不在第四象限，舍去. .抛物线解析式为 .（3 ）解： 如图 2： 由 可
12、知，当 时，无论 取何值， 都等于 4.得点 的坐标为 .过点 作 ，交射线 于点 ，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，则 . ， ， . . ， . . ， .可得点 的坐标为 或 .当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 .点 在直线 上， .解得 ， .当 时，点 与点 重合，不符合题意， .当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 .点 在直线 上， .解得 （舍）， . .综上， 或 .故抛物线解析式为 或 . 19.如图，已知二次函数 的图象经过点 ，与 轴分别交于点 ，点 .点 是直线 上方的抛物线上一动点.（1 ）求二次函数 的表达式； （2 ）连接 ， ，并把
13、沿 轴翻折，得到四边形 .若四边形 为菱形，请求出此时点 的坐标； （3 ）当点 运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时 点的坐标和四边形 的最大面积. 【答案】（1）解：将点 B 和点 C 的坐标代入 ,得 ，解得 ， 该二次函数的表达式为 （2 ）解：若四边形 POPC 是菱形，则点 P 在线段 CO 的垂直平分线上；如图，连接 PP，则 PECO ，垂足为 E， C（0，3 ）， E（0 ， ）, 点 P 的纵坐标等于 ,解得 ， （不合题意，舍去）， 点 P 的坐标为（ ， ）（3 ）解：过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，设 P（m， ），
14、设直线 BC 的表达式为 ，则 , 解得 .直线 BC 的表达式为 Q 点的坐标为（m， ）， .当 ，解得 ， AO=1，AB=4， S 四边形 ABPC =SABC +SCPQ +S BPQ= = 当 时，四边形 ABPC 的面积最大此时 P 点的坐标为 ，四边形 ABPC 的面积的最大值为 20.如图 1，四边形 是矩形，点 的坐标为 ，点 的坐标为 .点 从点 出发，沿 以每秒 1 个单位长度的速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿 以每秒 2 个单位长度的速度向点 运动，当点 与点 重合时运动停止.设运动时间为 秒.（1 ）当 时，线段 的中点坐标为_； （2 ）当 与 相似时，求
15、的值； （3 ）当 时，抛物线 经过 、 两点，与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，如图 2 所示.问该抛物线上是否存在点 ，使 ，若存在，求出所有满足条件的 点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（ ，2）（2 ）解：如图 1，四边形 OABC 是矩形，B=PAQ=90当CBQ 与PAQ 相似时，存在两种情况：当PAQ QBC 时， ， ，4t2-15t+9=0，（t-3 ）（t- ）=0，t1=3（舍）， t2= ，当PAQ CBQ 时， ， ，t2-9t+9=0，t= ，0t6 ， 7，x= 不符合题意，舍去，综上所述，当CBQ 与PAQ 相似时，t 的值是 或 （3 ）解：当 t=
16、1 时，P （1，0 ），Q（3，2），把 P（1，0 ），Q（3，2）代入抛物线 y=x2+bx+c 中得：，解得： ，抛物线：y=x 2-3x+2=（x- ） 2- ，顶点 k（ ，- ），Q（3，2），M（0 ，2），MQx 轴，作抛物线对称轴，交 MQ 于 E，KM=KQ，KEMQ，MKE=QKE= MKQ，如图 2，MQD= MKQ=QKE，设 DQ 交 y 轴于 H，HMQ=QEK=90，KEQQMH， ， ，MH=2，H（0，4 ），易得 HQ 的解析式为： y=- x+4，则 ，x2-3x+2=- x+4，解得：x 1=3（舍），x 2=- ，D（- ， ）；同理，在 M 的下
17、方， y 轴上存在点 H，如图 3，使HQM= MKQ=QKE，由对称性得：H（0，0），易得 OQ 的解析式：y= x，则 ，x2-3x+2= x，解得：x 1=3（舍），x 2= ，D（ ， ）；综上所述，点 D 的坐标为：D（- ， ）或（ ， ） 21.平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴有两个交点.（1 ）当 时，求二次函数的图象与 轴交点的坐标； （2 ）过点 作直线 轴，二次函数的图象的顶点 在直线 与 轴之间( 不包含点 在直线 上)，求 的范围； （3 ）在(2) 的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线 相交于点 ，求 的面积最大时 的值. 【答案】（1）解：当 m=-
18、2 时，y=x 2+4x+2 当 y=0 时，则 x2+4x+2=0解之：x 1= ，x 2= （2 ）解： =（x-m） 2+2m+2顶点坐标为（m，2m+2）此抛物线的开口向上，且与 x 轴有两个交点，二次函数图像的顶点在直线 l 与 x 轴之间（不包括点 A 在直线 l 上） 解之：m-1， m-3即-3m-1（3 ）解：根据(2)的条件可知-3m-1 根据题意可知点 B（m，m-1 ）,A（m，2m+2 ）AB=2m+2-m+1=m+3S ABO= m= 时，ABO 的面积最大。 22.如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，交 轴于点 .过点 作 轴，交抛物线于点 .（1 ）求抛物线
19、的解析式； （2 ）若直线 与线段 、 分别交于 、 两点，过 点作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，求矩形 的最大面积； （3 ）若直线 将四边形 分成左、右两个部分，面积分别为 、 ，且 ，求 的值. 【答案】（1）解：根据题意得： 9a-3b-3=0a+b-3=0解之：a=1，b=2抛物线的解析式为 y-=x2+2x-3（2 ）解：解：x=0 时，y=-3点 C 的坐标为（0 ，-3 ）CDX 轴，点 D（-2，-3）A（-3,0），B（1,0）y AD=-3x-9，y BD=x-1直线 与线段 、 分别交于 、 两点 矩形的最大面积为 3（3 ）解：AB=1-（-3）=4 ，CD=0-（
20、-2 ）=2,OC=3CDx 轴S 四边形 ABCD= S 1=4，S 2=5若直线 y=kx+1 经过点 D 时，点 D（-2，-3）-2k+1=-3解之：k=2y=2x+1当 y=0 时，x= 点 M 的坐标为 设直线 y=kx+1 与 CD、AO 分别交于点 N、S 解之：k= 23.如图，在平面直角坐标系中，圆心为 P（x，y ）的动圆经过点 A（1，2 ）且与 x 轴相切于点 B（1 ）当 x=2 时，求 P 的半径； （2 ）求 y 关于 x 的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图中画出此函数的图象； （3 ）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），
21、给（2 ）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到_的距离等于到_的距离的所有点的集合 （4 ）当P 的半径为 1 时，若P 与以上（2 ）中所得函数图象相交于点 C、D，其中交点 D（m，n）在点 C 的右侧，请利用图，求 cosAPD 的大小 【答案】（1）解：由 x=2，得到 P（2，y ），连接 AP，PB，圆 P 与 x 轴相切，PBx 轴，即 PB=y，由 AP=PB，得到 =y，解得：y= ，则圆 P 的半径为 （2 ）解：同（1），由 AP=PB，得到（x1 ） 2+（y 2） 2=y2 ， 整理得：y= （x1） 2+1，即图象为开口向上的抛物线，画出函数图象，如图所示；（3 ）点 A；x 轴（4 ）解：连接 CD，连接 AP 并延长，交 x 轴于点 F，设 PE=a，则有 EF=a+1，ED= ，D 坐标为（1+ ，a+1），代入抛物线解析式得：a+1= （1 a 2）+1，解得：a=2+ 或 a=2 （舍去），即 PE=2+ ，在 Rt PED 中， PE= 2，PD=1，则 cosAPD= = 2
