1、7 向量应用举例71 点到直线的距离公式72 向量的应用举例学习目标 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具知识链接1向量可以解决哪些常见的几何问题？答 (1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题2用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？答 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题；(3)把运
2、算结果“翻译”成几何关系预习导引1直线的法向量(1)直线 ykxb 的方向向量为(1，k) ，法向量为(k，1)(2)直线 AxByC0(A 2B 20) 的方向向量为(B，A)，法向量为(A，B) 2点到直线的距离公式设点 M(x0，y 0)为平面上任一定点，则点 M 到直线 AxByC 0( A2B 20)的距离 d.|Ax0 By0 C|A2 B23向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行( 共线)的等价条件：ab(b0)abx 1y2x 2y10.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，abab0x 1x
3、2y 1y20.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式 cos .ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21x2 y2(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a| .x2 y24向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是向量(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减 运算，运动的叠加亦用到向量的合成(3)动量 mv 是数乘向量(4)功即是力 F 与所产生位移 s 的数量积要点一 直线法向量(或方向向量 )的应用例 1 已知ABC 的三顶点 A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点 D、E、F 分别为边BC、CA、AB 的中
4、点(1)求直线 DE、 EF、FD 的方程；(2)求 AB 边上的高线 CH 所在的直线方程解 (1)由已知得点 D(1,1)，E (3，1)，F(2 ，2)设点 M(x，y) 是直线 DE 上任一点，则 ， (x1，y1)， (2，2) ，(2)( x1)(2)( y1)0，即DM DE DM DE xy20 为直线 DE 的方程同理可求，直线 EF、FD 的方程分别为 x5y80，x y0.(2)设点 N(x，y) 是 CH 所在的直线上任一点，则 ， 0， ( x6，y2)，CN AB CN AB CN (4,4)，4(x6)4(y2)0，即 xy40 为所求直线 CH 所在的直线方程A
5、B 规律方法 对于解析几何中的有关直线平行与垂直问题，常常可以转而考虑与直线相关的向量的共线与垂直，这样一来将形的问题转化为相关数的问题，从而容易将问题解决跟踪演练 1 求点 P0(1,2) 到直线 l：2xy100 的距离解 方法一 取直线 l 的一个法向量为 n(2,1)，在直线 l 上任取一点 P(5,0)， 0( 6,2)，PP 点到直线 l 的距离 d 就是 0 在法向量 n 上的射影PP 设 0 与 n 的夹角为 .PP d| 0|cos | 0|PP PP |PP 0n|PP 0|n| 2 .|PP 0n|n| | 12 25 | 5故点 P0 到直线 l 的距离为 2 .5方法
6、二 由点到直线的距离公式得d |Ax0 By0 C|A2 B2 |2 1 12 10|52 .5要点二 向量在平面几何中的应用例 2 如图，已知 RtOAB 中，AOB90，OA3，OB2，M 在 OB 上，且OM1 ，N 在 OA 上，且 ON1，P 为 AM 与 BN 的交点，求MPN.解 设 a， b，且 ， 的夹角为 ，则 b， a，OA OB AM BN OM 12 ON 13又 ba， ab，AM OM OA 12 BN ON OB 13 5，AM BN (12b a)(13a b)| | ，| | ，AM 10 BN 5cos ， 55 10 22又0， ，34又MPN 即为向量
7、 ， 的夹角，AM BN MPN .34规律方法 (1)本题可以选择 ， 作为基向量，这是两个互相垂直的向量，选用这组特殊OA OB 的基向量可以简化运算(2)本题也可以建立平面直角坐标系进行求解把平面几何中求角的问题转化为向量的夹角问题是平面向量的工具性体现之一，转化时一定要注意向量的方向跟踪演练 2 已知ABC 中，BAC 60 ，AB4，AC 3，求 BC 的长解 以 A 为原点建立如图所示平面直角坐标系，则 A(0,0)，B (4cos 60，4sin 60) ，C(3,0)， (3,0)， (2，2 )，AC AB 3 (1 ，2 )，BC AC AB 3| | .BC 1 ( 23
8、)2 13要点三 利用向量解决物理中的问题例 3 在风速为 75( ) km/h 的西风中，飞机以 150 km/h 的航速向西北方向飞行，求6 2没有风时飞机的航速和航向解 设向量 a 表示风速，b 表示无风时飞机的航行速度，c 表示有风时飞机的航行速度，则cab.如图，作向量 a， b， c，则四边形 OACB 为平行四边形OA OB OC 过 C、B 分别作 OA 的垂线，交 AO 的延长线于 D、E 点由已知，| | 75( )， | |150，COD45.OA 6 2 OC 在 Rt COD 中，ODOC cos 4575 ，CD75 .2 2又 EDBCOA75( )，6 2OEO
9、D ED 75 .又 BECD75 .6 2在 Rt OEB 中，OB 150 ，OE2 BE2 2sinBOE ，| |150 ，BOE30.BEOB 12 OB 2故没有风时飞机的航速为 150 km/h，航向为西偏北 30.2规律方法 用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题的基本思路和方法如下：(1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出解释跟踪演练 3 如图，在细绳 O 处用水平力 F2 缓慢拉起所受重力为 G 的物体
10、，绳子与铅垂方向的夹角为 ，绳子所受到的拉力为 F1.(1)求|F 1|，| F2|随角 的变化而变化的情况；(2)当|F 1|2| G|时，求角 的取值范围解 (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F 1| ，|F 2|G|tan .|G|cos 当 从 0趋向于 90时，|F 1|，|F 2|都逐渐变大(2)由(1)，得|F 1| ，|G|cos 由|F 1|2| G|，得 cos .12又因为 0 90，所以 0 60.1已知直线 l1：3x y20 与直线 l2：mxy10 的夹角为 45，则实数 m 的值为_答案 2 或12解析 设直线 l1，l 2 的法向量为 n1
11、，n 2，则 n1(3,1)，n 2(m，1)由题意 cos 45 .|n1n2|n1|n2| |3m 1|10 1 m2 22整理得 2m23m20，解得 m2 或 m .122已知 A(1,2)，B(2,1)，以 AB 为直径的圆的方程是_答案 x 2y 2x 3y0解析 设 P(x，y) 为圆上任一点，则( x1，y 2)， (x2，y1)，AP BP 由 (x1)( x2)(y 2)(y1)0，AP BP 化简得 x2y 2x 3y0.3正方形 OABC 的边长为 1，点 D、E 分别为 AB、BC 的中点，试求 cosDOE 的值解 以 OA，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如
12、图所示，由题意知： ， ，OD (1，12) OE (12，1)故 cosDOE OD OE |OD |OE | .112 12152 52 45即 cosDOE 的值为 .454一艘船从南岸出发，向北岸横渡根据测量，这一天水流速度为 3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西 30，受风力影响，静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以 2 km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向3解 如图，设水的速度为 v1，风的速度为 v2，v 1v 2a.易求得 a 的方向是北偏东 30，a 的大小是 3 km/h.设船的实际航行速度为 v.方向由南向北，大小为 2
13、 km/h，3船本身的速度为 v3，则 av 3v ，即 v3va，数形结合知 v3 的方向是北偏西 60，大小是 3 km/h.1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明2.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题； (2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解； (4)得到答案，回到物理现象中
14、，用已经获取的数值去解释一些物理现象一、基础达标1已知 A，B ，C，D 四点坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4) ，(0,2) ，则此四边形为( )A梯形 B菱形C矩形 D正方形答案 A解析 (3,3)， (2,2)， ，| | |，四边形为梯形AB DC AB DC AB DC 2当两人提起重量为|G| 的旅行包时，夹角为 ，两人用力都为|F| ，若|F| |G|，则 的值为( )A30 B60C90 D120答案 D解析 作 F 1， F 2， G，则 ，当| F1| F2| G|时，OAC 为OA OB OC OC OA OB 正三角形，AOC60，从而AOB 120.3平面上
15、有四个互异点 A、B、C 、D，已知( 2 )( )0，则ABC 的形DB DC DA AB AC 状是( )A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D无法确定答案 B解析 由( 2 )( )0，DB DC DA AB AC 得( )( )( )0，DB DA DC DA AB AC 所以( )( )0.AB AC AB AC 所以| |2| |20，| | |，AB AC AB AC 故ABC 是等腰三角形4已知直线 l1 的方向向量为 a(1,3)，直线 l2 的方向向量为 b(1，k) ，若直线 l2 过点(0,5)，且 l1l 2，则直线 l2 的方程是( )Ax3y50 Bx 3
16、y150Cx 3y50 Dx3y150答案 B解析 l 1l 2，ab，ab13k0，k ，l 2 的方程为 y x5，即 x3y 150.13 13故选 B.5过点 A(2,1)且平行于向量 a(3,1)的直线方程为_答案 x3y50解析 设 P(x，y) 是所求直线上的任一点，( x2，y 1)AP a.(x2)13( y1)0.AP 即所求直线方程为 x3y 50.6已知点 A( 1,2)，B(0，2)，若点 D 在线段 AB 上，且 2| |3| |，则点 D 的坐标为AD BD _答案 ( 25， 25)解析 由题意得 (1,2) (1，4) ，所以 DOD OA AD OA 35A
17、B 35 ( 25， 25).( 25， 25)7如图，点 O 是ABCD 的对角线 AC，BD 的交点，E，F 分别在边 CD，AB 上，且 CEED .AFFB 12求证：点 E，O，F 在同一直线上证明 设 a， b，AB AD 由 E，F 分别为对应边的三等分点，得 a a (ab)FO FA AO 13 12AC 13 12 a b，16 12 (ab) aOE OC CE 12AC 13CD 12 13 a b.16 12所以 .FO OE 又因为 O 为其公共点，所以点 E，O ，F 在同一直线上二、能力提升8已知直线 l1：(m2)x 3 my10 与直线 l2：( m2) x
18、(m2) y30 相互垂直，则实数 m 的值是( )A2 B.12C2 或 D 或 212 12答案 C解析 (m2)(m2)3m(m 2)(m2)(4m2) 0.m2 或 .129在四边形 ABCD 中， (1,2) ， (4,2) ，则四边形的面积为( )AC BD A. B2 5 5C5 D10答案 C解 因为在四边形 ABCD 中， (1,2) ， (4,2) ， 0，AC BD AC BD 所以四边形 ABCD 的对角线互相垂直，又| | ，AC 12 22 5| | 2 ，BD 42 22 5该四边形的面积： | | |12AC BD 2 5.12 5 510已知曲线 C：x ，直
19、线 l：x6.若对于点 A(m,0)，存在 C 上的点 P 和 l 上的4 y2点 Q 使得 0，则 m 的取值范围为_AP AQ 答案 2,3解析 由 0 知 A 是 PQ 的中点，设 P(x，y )，则 Q(2mx ，y)，由题意AP AQ 2x0,2mx6，解得 2m3.11如图所示，已知力 F 与水平方向的夹角为 30(斜向上)，大小为 50 N，一个质量为 8 kg的木块受力 F 的作用在动摩擦因数 0.02 的水平平面上运动了 20 m问力 F 和摩擦力 f所做的功分别为多少？(g10 m/s2)解 设木块的位移为 s，则 WFs | F|s|cos 305020 500 (J)3
20、2 3F 在竖直方向上的分力的大小为| F1| F|sin 3050 25(N)12则 f (mg|F 1|)0.02(8 1025) 1.1(N) 所以 fs| f|s|cos 1801.120(1)22(J) 即 F 与 f 所做的功分别是 500 J 与22 J.312在ABC 中，AB AC， D 为 AB 的中点，E 为ACD 的重心，F 为ABC 的外心，证明：EFCD.证明 建立如图所示的平面直角坐标系设 A(0，b)，B(a,0)，C(a,0)，则 D( ， )，a2 b2( a， )CD 32 b2易知ABC 的外心 F 在 y 轴上，可设为(0，y) 由| | | |，得(
21、yb) 2a 2y 2，AF CF 所以 y ，即 F(0， )b2 a22b b2 a22b由重心坐标公式，得 E( ， )，a6 b2所以 ( ， )EF a6 a22b所以 ( a)( ) ( )0，CD EF 32 a6 b2 a22b所以 ，即 EFCD .CD EF 三、探究与创新13如图，在ABCD 中，点 E、F 分别是 AD、DC 边的中点，BE、BF 分别与 AC 交于R、T 两点求证：ARRTTC.证明 设 a， b， r，AB AD AR 则 ab.由于 ，AC AR AC 所以设 rn(ab)，nR.又 a b，EB AB AE 12 ，故设 m m .ER EB ER EB (a 12b) ，r bm .AR AE ER 12 (a 12b)所以 n(ab) bm ，12 (a 12b)即(nm) a b0.(n m 12 )由于 a 与 b 不共线，故必有Error!解得 mn ， ，13 AR 13AC 同理 ，于是 .TC 13AC RT 13AC ARRTTC.
