1、课时训练 6 生活中的优化问题举例1.某公司生 产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元,已知总收益 R 与年产量 x 个单位产品的关系是 R(x)=则总利润最大时 ,每年生产的单位产品数是( )A.100 B.150 C.200 D.300解析:依题意可得:总利润为 P=P=来源:令 P =0,当 0x400 时,得 x=300 时总利润最大为 25 000 元;当 x400 时,P0; 当 R0;当0),贷款的利率为 4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去 .若存款利率为 xx(0,0.048) ,则存款利率为 时,银行可获得最大收益.( ) A
2、.0.012 B.0.024 C.0.032 D.0.036解析:由题意,存款量 g(x)=kx(k0),银行应支付的利息 h(x)=xg(x)=kx2,x(0,0.048).设银行可获得的收益为 y,则 y=0.048kx-kx2.于是 y=0.048k-2kx,令 y=0,解得 x=0.024,依题意知 y 在x=0.024 处取得最大值.故当存款利率为 0.024 时,银行可获得最大收 益.答案:B6.设底面为正三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为( )A. B. C. D.2解析:设底面边长为 x,则底面面积为 x2,设高为 h,则 x2h=V,于是 h=,这时直
3、棱柱的表面积S(x)=x22+3xh=x2+.S(x)=x-,令 S(x)=0 得 x=,故当 x=时表面积最小.来源:答案:C7.周长为 20 cm 的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是 . 解析:设矩形的一边长为 x cm,则另一边长为(10-x) cm,则 V=x2(10-x)(00,V(x)单调递增;当 x时,V(x)0),则矩形的面积 S=2x(4-x2)(00; 当0;当 2x3 时,g(x)0,g(x)在0,2上是增函数,在(2,3 上是减函数,当 x=2 时,g(x)取最大值,即将 2 百万元用于技术改造,该公司收益最大 .10.两县城 A 和 B 相距 20
4、km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一点 C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响度为对城 A 与对城 B 的影响度之和.记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对城A 和城 B 的总影响度为 y.统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数为 k.当垃圾处理厂建在的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.(1 )将 y 表示成 x 的函数;(2)讨论(1)中函数的单调性
5、,并判断上是否存在一点,使建在此处的垃圾处 理厂对城 A 和城 B的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由.解:(1)根据题意ACB=90 ,AC=x km,BC= km,且建在 C 处的垃圾处理厂对 城 A 的影响度为,对城 B 的影响度为,因此,总影响度 y=(0x20).又因为垃圾处理厂建在的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065,则有=0.065,解得 k=9,所以 y=(0x20).(2)因为 y=-,由 y=0 解得 x=4,或 x=-4(舍去), 易知 4(0,20).y,y随 x 的变化情况如下表:x (0,4) 4 (4,20)来源:y - 0 +y 单调递减 单调递增由表可知,函数在(0,4)内单调递减,在( 4,20)内单调递增,y 最小值 =.此时 x=4,故在上存在 C点,使得建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总 影响度最小,该点与城 A 的距离 x=4 km.
