1、高考数学串讲（四） 应用问题一，基础知识1，概率与统计（1）等可能性事件的概率（古典概型） 。试验由 个基本事件组成，所有结果等可能出现，如果某个事件 A 包含的结果有 个，n m那么事件 A 的概率为 。()mPn（2）互斥事件的概率： ；()ABP对立事件的概率： 。()1（3）相互独立事件的概率：若 与 互相独立，则 ；()()ABP如果在一次试验中某事件发生的概率是 ，则在 次独立重复试验中这个事件pn恰好发生 次的概率为： 。k()(1)kknPC（4）离散型随机变量的分布列与期望：设离散型随机变量 的分布列为： （ ）()iixp,2n则 的期望 。12nExp其中 ； 。0i12
2、，求函数最值的常用方法（1）一次函数：根据函数的单调性求解；运用线性规划的方法求解。（2）二次函数：运用配方法求解；运用数形结合求解。（3）其它函数：配方法：如， 求函数 的最小值。,xR设 21()fxx配成 。22()1f求导法，运用函数的单调性求解。判别式法：如，求 的最大值和最小值。231xy不等式法：（i） ，则 ；（ii） 。0,ab2abcos1,inx换无法：当 时，求函数 的最小值。4x2()cosinfx数形结合法。二，跟踪训练1， （05 江西）A，B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时 A 赢得 B 一张卡片，否则 B 赢得 A 一张
3、卡片，规定掷硬币的次数达 9 次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止。设 表示游戏终止时掷硬币的次数。（I）求 的取值范围；（II）求 的数学期望 。E2， （05 广东）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为 s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过 n 次，以 表示取球结束时已取到白球的次数.（）求 的分布列；（）求 的数学期望3， （05 湖南）某城市有甲，乙，丙 3 个旅游景点，一位客人游览这 3 个景点的概率分别为04，05，06，且客人是否游览哪个景点互
4、不影响，设 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。（I）求 的分布列及数学期望；（II）记“函数 在区间 上单调递增 ”为事件 A，求事件 A 的概2()31fx2,)率。4， （05 重庆）在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖。某顾客从此 10 张券中任抽 2 张，求：（I）该顾客中奖的概率；（II）该顾客获得的奖品总价值 （元）的概率分布和期望 。E5， （04 广东）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了
5、一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.( 假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平面上)。6， （04 辽宁）甲方是一农场，乙方是一工厂。由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入。在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润 （元）与年产量 （吨）满足函数关系 。xt 20xt若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 元（以下称 为赔付价格） ，ss（I）将乙方的年利润 （元）表示为年产量 （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的t年产量；（II）甲方每年受乙
6、方生产影响的经济损失金额 （元） 。在乙方按照获得最大20.yt利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？s三，简明提示1， 解：（I）设正面出现的次数为 m，反面出现的次数为 n，则 ，可得：915|m.,75:;9,7,2,7 ;6,6505的 所 有 可 能 取 值 为所 以时或当 时或当时或当 nnm（II） ;4)21()7(13)()( 755 CPP.3256495716;9E2，解：(I) 的可能取值为：0,1,2,n 的分布列为 0 1 2 n-1 np ts)(t32)(ts 1)(ntsts)(II) 的数学希望为(1)nnt
7、stsntststsE )()(1.)(2)(10 13 (2)11132 )()()(.)()( nnntttttt(1)(2)得。nnntstststE)()(1)(13，解（I）分别记“客人游览甲景点” ， “客人游览乙景点” ， “客人游览丙景点”为事件， 。由已知 ， 相互独立， 。1A23,1A23,123()0.4,().5,()0.6PAPA客人游览的景点数的可能取什为 0，1，2，3，相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为 3，2，1，0，所以 的可能取值为 1，3。1232123()()()()(PAPAPA123)()PA= ， 。则20.45.6024(1)0.24.
8、76P。317.8E（II）由 ，得 ，从而 。23()(1)0.763AP4，解：（） ，即该顾客中奖的概率为 .24512106CIP 32（） 的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.15)60( ,152)0(,2,1,3)(203062 13106CPCP且故 有分布列：从而期望 .1650125205130 E5，解：如图， yxoABCP以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设 A、B 、C 分别是西、东、北观测点，则 A（1020，0） ，B（1020，0） ，C（0，1020）设 P（x,y）为巨响为生点，由 A、C 同时听到巨
9、响声，得|PA|=|PB|，故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上，PO 的方程为 y=x，因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB| |PA|=3404=1360由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 上，122byax依题意得 a=680, c=1020，0 10 20 50 60P13405681222yxacb故 双 曲 线 方 程 为用 y=x 代入上式，得 ，|PB|PA|,1068),568,(,0 POPy故即答：巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 处.m106，解（I）乙方的实际年利润为= 。当 时， 取得最大值。20ts221()ts2()ts（II）设甲方净收入为 元，则 ，将 代入得v20.tt210，得 ，234100vs352518(8) ss令 得 。当 时， ；当 时， 。所以 时， 取得最大值。vs0v20sv
