1、3.2 微积分基本定理教学目的 使学生了解积分上限函数的概念，理解微积分基本定理，掌握牛顿莱布尼兹公式与积分上限函数的求导方法重点与难点 重点是微积分基本定理与牛顿莱布尼兹公式，难点是微积分基本定理的证明来源:教学过程前面介绍了积分的概念，从理论上讲，总可通过和式的极限来确定积分的值，但实际运算 起来是很繁琐的，有时甚至无法计算。本节通过揭示积分与导数的关系，将引出计算积分的一个简便而可行的计算公式牛顿莱布尼兹公式.为了解决这个问题，我们先来介绍积分上限函数的概念及其性质一、积分上限函数及其导数 积分上限函数的概念设函数 )(xfy在 ,ba上连续， x为 ,ba上的一点，不难得知， )(xf
2、在部分区间 ,a上的积分 d存在，这里， 既表示积分的上限又表示积分变量，为明确起见，把积分变量改用另一字母 t表示，从而该积分可表为 xadtf)(.显然，对于 ,ba上的任一取值 x，积分 xatf)(都有唯一确定的值与之对应，因此，xadtf)(在区间 ,上确定了一个以积分上限 为自变量的函 数，称之为积分上限函数，通常记为 ，即 )(xadtf)( )bx 积分上限函数的性质积分上限函数具有如下的重要性质定理 1（微积分基本定理）如果函数 )(xfy在 ,ba上连续， 则积分上限的函数)(xadt来源:来源:在 ,ba上可导，且 xf)()(xf)ba证明 当 ),(b时，若自变量在
3、处取得增量 且 ),(bax，函数)(x相应的增量为 )(x(xdtf)(f)(（积分中值定理）其中， 介于 x与 之间。于是， )(x0lim)(li0fxxf当 a或 b时，同理可证得： af， )b 证毕这个定理的重要意义在于：肯定了 连续函数的原函数必存在；初步揭示了积 分与导数的关系, 从 而预示有可能通过原函数来求得积分；给出了积分上限函数的导数公式 xadtf)()(xf,并由复合函数的求导法则可推得 )(xatfd)(xf例 1 求极限 xtx02coslim.解：易知该极限为 型未定式，故由洛必达法则得来源:xdtx02cosli 1cosli02xxdt20coslimxx
4、1例 2 求下列函数的导数： )(xtdecos12 )(xdt2sin解： )(xxtcos12 )(co2sxex xesi2co；因为 xdt2in02inxdtdt20indt02n20sinxdt所以， )(xxdt20sin20sinxdt)2(six)(sin24x4sin24.例 3 设 )(xf是 )0，内 的正值连续函数，证明函数 )(xFxdtf0)(在 0内是单调增加的.证 因为 )(xF200)()()(xxdtftftf200)(xxdtftff 20)(xdtf当 0x时，在 ,上， ， )(tf，且 0，故知)(F，从而推得 )(xF在 )内是单调增加的.二、牛
5、顿莱布尼兹公式定理 2 如果函数 )(是连续函数 )(xf在 ,ba的一个原函数，那么bad)(F证 因为 )(xf在 ,上连续，所以， xadtf为 )(xf的一个原函数，又)(xF是 的原函数，因此， )(xC当 a时， )(aF，又 0)(atf得 )(aF当 bx时，有 )()(b即 bdtf整理即得adxf)(aF证毕注： 上式叫牛顿莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式. 在运用该公式时， )(bF通常记为 bax或ba)(； 该公式对于 a时也适用；公式表明：一个连续函数在某一区间上的积分等于它的任何一个原函数在该区 间上的增量.这就为积分的计算提供了一个简便而有效的方法.例 4 求
6、 102dx.解：因为C32所以， 102dx103例 5 求 1243.解：因为， dxx1324dx132 Cxarctn3所以， 0124013arctn4由上可知，利用牛顿莱布尼兹公式求积分一般分两步完成，运算熟练后，可合并表示.例 6 求 02cosdx.解： 020)cos1(dx0sin21x2例 7 求 22,max.解：因为，210,2x所以， 22,maxd0210d21x023110213x例 8 设 ),(),(sin)( xxf，求 )(xdtf0)(在 ),内的表达式.解：当 x0时， )(xtd0sin21)cos1(2cos10xtx当 时， t当 x时， )(
7、x0)(dtfxtf)(0sin21dtt0cos21t1所以，xx10)cos(2)(来源:习题 3.21求由参数表示式 tud0sin， tudy0cos所确定的函数 y对 x的导数求下列极限： 2cos10limxdte xdtextcos1)(lim0计算下列各函数的导数： )(xxdt12 )(x234dt4计算下列各积分： 312x212dx 10)(d1 21ex 20sindx d3cos 2i 20)(xf,其中, 12)(xf5设 ,1)02f，求 )(xdtf0)(在 2,的表达式求函数 )(xdtt02)(6的极值设函数 f在 ,ba上连续，在 ),(ba内可导且 0)(xf，试证明： )(xFxadtf)(1在 ),内有 )(xFw。w-w*k&s%5￥w。w-w*k&s%5￥u
