1、4 万有引力理论的成就,一、计算天体的质量 1.地球质量的计算： (1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地 球对物体的万有引力。 (2)关系式：mg=_。 (3)结果：M=_，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质 量。,2.太阳质量的计算： (1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动 时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。 (2)关系式： =_。 (3)结论：M=_，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就 可以计算出太阳的质量。 (4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离 r，可计算行星的质量M，公式是M=_。,【想一想】知道行星绕太阳运动
2、的周期T和轨道半 径r能计算出行星的质量吗？ 提示：不能，由 可见公式无法推导m， 行星绕太阳运动的周期T和半径r与行星质量无关。,二、发现未知天体 1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生_和法国年轻的天文学 家_根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星 外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的_在勒维耶预言 的位置附近发现了这颗行星海王星。 2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了 _、阋神星等几个较大的天体。,亚当斯,勒维耶,伽勒,冥王星,【判一判】(1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现 的。( ) (2)海王星的发现确立了万有引力定律的地位
3、。( ) (3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。( ) 提示：(1)。人们依据万有引力定律计算的轨道发现的是海王星等，不是天王星。 (2)。海王星的发现有力证实了万有引力定律的正确性。 (3)。计算出海王星轨道的是亚当斯和勒维耶。,一、天体质量和密度的计算 思考探究： 观察下面图片，请思考：,(1)如果知道自己的重力，你能求出地球的质量吗？如果能，还需要知道哪些物理量？ (2)如何能测得地球的密度呢？,提示：(1)能，若知道自己的重力，就能结合自己的质量确定该处地 球的重力加速度g，再结合地球的半径和万有引力常量G，就能依据 mg= 计算地球的质量。 (2)求出地球的质量，再结合地球
4、的半径，依据 可计 算地球的密度。,【归纳总结】 1.天体质量的计算：,2.天体密度的计算： (1)一般思路：若天体半径为R，则天体的密度 将质量代入 可求得密度。 (2)特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r可认为等于 天体半径R，依据 ， R=r，可得：,【典例示范】(2015赣州高一检测)“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道。观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为(弧度)，如图所示。已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( ),【解题探究】 (1)根据月球的卫星计算月球质量的思路是：_充当向心力。 (2)为了计算月球的质
5、量，应该确定“嫦娥三号”的_和 _。,卫星受到的万有引力,轨道半径,角速度,【正确解答】选A。根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的 轨道半径r= ，根据转过的角度和时间，可得= ，由于月球对 “嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可 得 =m2r，由以上三式可得M= 。,【过关训练】 1.(拓展延伸)在【典例示范】中，若月球表面的重力加速度为g，根据月球的重力加速度g和【典例示范】中的已知条件计算月球的密度。,【解析】若月球半径为R，则月球对其表面物体的万有引力等于物体的重力，mg= 月球的密度=由以上两式以及M= 可得：答案：,2.(多选)(2015孝感高一检测)科
6、学家在研究地月组成的系统时，从地球向月球发射激光，测得激光往返时间为t。若还已知万有引力常量G，月球绕地球旋转(可看成匀速圆周运动)的周期T，光速c(地球到月球的距离远大于它们的半径)。则由以上物理量可以求出( ) A.月球到地球的距离 B.地球的质量 C.月球受地球的引力 D.月球的质量,【解析】选A、B。根据激光往返时间为t和激光的速度可求出月球 到地球的距离，A正确；又因知道月球绕地球旋转的周期T，根据 可求出地球的质量M= ，B正确；根据题中数据 只能计算中心天体的质量，D不对；因不知月球的质量，无法计算月 球受地球的引力，C也不对。,3.(多选)由下列哪一组物理量可以计算地球的质量(
7、 ) A.月球的轨道半径和月球的公转周期 B.月球的半径和月球的自转周期 C.卫星的质量和卫星的周期 D.卫星离地面的高度、卫星的周期和地球的半径,【解析】选A、D。只要知道天体的一颗卫星或行星的周期和轨道半 径，利用公式 就可以计算出中心天体的质量，故选 项A、D正确。,【补偿训练】(2015扬州高一检测)一艘宇宙飞船贴近一行星表面飞行，测得它做匀速圆周运动的周期为T，设万有引力常量为G，则此行星的平均密度为( ),【解析】选B。宇宙飞船贴着行星表面飞行，则 所以， 行星的密度 故选项B正 确，选项A、C、D错误。,【误区警示】求解天体质量的注意事项 (1)计算天体质量的方法： 不仅适用于计
8、算地球 和太阳的质量，也适用于其他星体。 (2)注意R、r的区分。R指中心天体的球体半径，r指行星或卫星的轨 道半径。若行星或卫星绕近中心天体轨道运行，则有R=r。,二、天体运动的分析与计算 思考探究： 2014年3月31日“长征二号丙”运载卫星发射“实践十一号06星”成功；2014年8月9日，“长征四号丙”发射“遥感卫星二十号”成功。若两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，请思考：,(1)卫星定轨高度越高，速度越大还是越小？ (2)如何比较两颗卫星的周期大小和角速度大小？ 提示：(1)根据 分析可得：卫星离地面越高，速度越 小。 (2)根据 分析卫星的周期大小，根据 =m2r 分析卫星的角速度大小
9、。,【归纳总结】 1.解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速 圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以 研究天体时可建立基本关系式： =ma，式中a是向心加速度。,2.常用的关系式： (1) 万有引力全部用来提供行星或卫星 做圆周运动的向心力。 (2)mg= 即gR2=GM，物体在天体表面时受到的引力等于物体的 重力。该公式通常被称为黄金代换式。,3.四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。 (1)由 r越大，天体的v越小。 (2)由 r越大，天体的越小。 (3)由 r越大，天体的T越大。 (4)由 r越大，天体的
10、an越小。 以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。,【典例示范】(多选)据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是行星的连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度的大小和该层至行星中心的距离R，以下判断中正确的是( ) A.若v与R成正比，则环是连续物 B.若v与R成反比，则环是连续物 C.若v2与R成反比，则环是卫星群 D.若v2与R成正比，则环是卫星群,【解题探究】 (1)若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转的角速度之间有什么关系？ 提示：若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转的角速度相同。 (2)若环是行星的卫星群，则v与R之间存在什么样的关系？ 提示：若环是行星的卫星群
11、，则由,【正确解答】选A、C。若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转 的角速度相同，故v与R成正比，A对，B错。若环是行星的卫星群，则 由 即v2与R成反比，C对，D错。,【过关训练】 1.(多选)(2015潍坊高一检测)我国自主研制的“嫦娥三号”，携带“玉兔”月球车已于2013年12月2日1时30分在西昌卫星发射中心发射升空，落月点有一个富有诗意的名字“广寒宫”。落月前的一段时间内，“嫦娥三号”绕月球表面做匀速圆周运动。若已知月球质量为M，月球半径为R，引力常量为G，对于绕月球表面做圆周运动的卫星，以下说法正确的是( ),A.线速度大小为 B.线速度大小为 C.周期为 D.周期为,【解析】
12、选B、D。“嫦娥三号”绕月球表面做匀速圆周运动，可认为 轨道半径等于月球半径R，月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦 娥三号”做圆周运动的向心力，由 A错 误，B正确；由 C错误，D正确。,2.(2015郑州高一检测)如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( ) A.太阳对各小行星的引力相同 B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值,【解析】选C。各小行星距太阳远近不同，质量各异，由F引
13、= 知，太阳对小行星的引力不同，A错；地球绕太阳的轨道半径小于小 行星绕太阳的轨道半径，由 显然轨道半 径r越大，绕太阳周期T也越大，地球绕太阳周期T地=1年，所以小行 星绕太阳周期大于1年，B错；由 可见，内侧小 行星向心加速度大于外侧小行星向心加速度，选项C正确；由小行星轨道半径r小大于地球绕太阳轨道半径 r地，v地v小，选项D错。,3.“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行，标志着我国探月工程的第一阶段已经完成。设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h，已知月球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则卫星绕月球运动的向心加速度为多少？线速度为
14、多少？,【解析】卫星做匀速圆周运动，设卫星质量为m， 由万有引力提供向心力知答案：,【补偿训练】我国古代神话传说中：地上的“凡人”过一年，天上的 “神仙”过一天。如果把看到一次日出就当作“一天”，某卫星的运 行半径为月球绕地球运行半径的 ，则该卫星上的宇航员24h内在 太空中度过的“天”数约为(已知月球的运行周期为27天)( ) A.1 B.8 C.16 D.24,【解析】选B。根据天体运动的公式 解得卫 星运行的周期为3h，故24h内看到8次日出，B项正确。,【规律方法】天体运动问题解决技巧 (1)比较围绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的v、T、an等物理量的大小时，可考虑口诀“越
15、远越慢”(v、T)、“越远越小”(an)。,(2)涉及绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的计算问题 时，若已知量或待求量中涉及重力加速度g，则应考虑黄金代换式 gR2=GM(mg= )的应用。 (3)若已知量或待求量中涉及v或或T，则应考虑从中选择相应公式应用。,【拓展例题】考查内容：天体运动中的临界问题 【典例示范】一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( ),【正确解答】选D。物体随天体一起自转，当万有引力全部提供向心 力时，物体对天体的压力恰好为零，则选项D正确。,双星模型 1.建模背景：宇
16、宙中两颗靠得很近的天体构成一个“双星系统”，两颗天体以它们连线上的一点为圆心，做匀速圆周运动，两天体与圆心始终在同一条直线上。,2.模型特点： (1)运动特点：两颗子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的周期T是相等的，角速度也是相等的，又根据v=r，可得它们的线速度与轨道半径成正比。,(2)动力学特点：两颗子星间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力，若两子星的质量分别为M1和M2，轨道半径分别为r1、r2，相距L，角速度为，由万有引力定律和牛顿第二定律得： 对M1： =M12r1 对M2： =M22r2 L=r1+r2,【案例体验】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上
17、某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的质量之和。,【解析】设两星质量分别为M1、M2，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O点的距离分别为l1、l2。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得： 对M1： 所以 所以,而R=l1+l2，所以，两星的质量之和：答案：,【补偿训练】(多选)冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，质量之比约为71，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知卡戎绕O点运动的( ) A.角速度大小约为冥王星的7倍 B.向心力大小约为冥王星的 C.轨道半径约为冥王星的7倍 D.周期大小与冥王星周期相同,【解析】选C、D。由题图可知，冥王星与卡戎绕O点转动时每转一圈 所用的时间相同，故D对，A错；冥王星与卡戎绕O点转动时万有引力 提供向心力，即 =M冥2r冥=m卡2r卡，故 B错，C对。,
