1、中考二次函数压轴题分类汇编1极值问题1.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（1，4） ，且与直线 y= x+1 相交于 A、B 两点（如图） ，A 点在 y 轴上，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C（3，0） （1）求二次函数的表达式；（2）点 N 是二次函数图象上一点（点 N 在 AB 上方） ，过 N 作 NPx 轴，垂足为点 P，交 AB 于点 M，求MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，点 N 在何位置时，BM 与 NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的 N 点的坐标分析：（1）首先求得 A、B 的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）设 M 的横坐
2、标是 x，则根据 M 和 N 所在函数的解析式，即可利用 x 表示出 M、N 的坐标，利用 x 表示出 MN 的长，利用二次函数的性质求解；（3）BM 与 NC 互相垂直平分，即四边形 BCMN 是菱形，则 BC=MC，据此即可列方程，求得 x 的值，从而得到 N 的坐标解：（1）由题设可知 A（0，1） ，B（3， ） ，根据题意得： ，解得： ，则二次函数的解析式是：y= x+1；（2）设 N（x， x2 x+1） ，则 M、P 点的坐标分别是（x， x+1） ， （x，0） MN=PNPM= x2 x+1（ x+1）= x2 x= （x+ ） 2+ ，则当 x= 时，MN 的最大值为 ；
3、（3）连接 MN、BN、BM 与 NC 互相垂直平分，即四边形 BCMN 是菱形，由于 BCMN，即 MN=BC，且 BC=MC，即 x2 x= ，且（ x+1） 2+（x+3） 2= ，解得：x=1，故当 N（1，4）时，MN 和 NC 互相垂直平分点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题2.如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 y 轴交于点 C（0，4） ，与 x 轴交于点 A，B，且 B 点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点 P 作 PE
4、AC，交 BC 于 E，连接 CP，求PCE 面积的最大值（3）若点 D 为 OA 的中点，点 M 是线段 AC 上一点，且OMD 为等腰三角形，求 M 点的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出PCE 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）OMD 为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论解答：解：（1）把点 C（0，4） ，B（2，0）分别代入 y= x2+bx+c 中，得 ，解得该抛物线的解析式为 y= x2+x4（2）令 y=0，即 x2+x4=0，解得 x1=4，x 2=2，A（4，0） ，S ABC = ABOC=12
5、设 P 点坐标为（x，0） ，则 PB=2xPEAC，BPE=BAC，BEP=BCA，PBEABC， ，即 ，化简得：S PBE = （2x） 2SPCE =SPCB S PBE = PBOCS PBE = （2x）4 （2x） 2= x2 x+= （x+1） 2+3当 x=1 时，S PCE 的最大值为 3（3）OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当 DM=DO 时，如答图所示DO=DM=DA=2，OAC=AMD=45，ADM=90，M 点的坐标为（2，2） ；（II）当 MD=MO 时，如答图所示过点 M 作 MNOD 于点 N，则点 N 为 OD 的中点，DN=ON=1，AN=A
6、D+DN=3，又AMN 为等腰直角三角形，MN=AN=3，M 点的坐标为（1，3） ；（III）当 OD=OM 时，OAC 为等腰直角三角形，点 O 到 AC 的距离为 4= ，即 AC 上的点与点 O 之间的最小距离为 2，OD=OM 的情况不存在综上所述，点 M 的坐标为（2，2）或（1，3） 点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏 2构成图形的问题1如图
7、，抛物线 y=ax2+bx+c（aO）与 y 轴交于点 C(O，4)，与 x 轴交于点 A 和点 B，其中点 A 的坐标为（-2,0） ，抛物线的对称轴 x=1 与抛物线交于点 D，与直线 BC 交于点 E2-1-c-n-j-y(1)求抛物线的解析式；(2)若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点 F 使四边形 ABFC 的面积为 17，若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于 DE 的一条动直线 Z 与直线 BC 相交于点 P，与抛物线相交于点 Q，若以D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标。考点：二次函数综合题分析：（1）把三
8、点坐标代入函数式，列式求得 a，b，c 的值，即求出解析式；（2）设存在点 K，使得四边形 ABFC 的面积为 17，根据点 K 在抛物线 y=-x2+2x+3 上设点 K 的坐标为：（x，-x 2+2x+3） ，根据 S 四边形 ABKC=SAOC +S 梯形 ONKC+SBNK 得到有关 x 的一元二次方程求出 x 即可.（3）将 x=1 代入抛物线解析式， 求出 y 的值，确定出 D 坐标，将 x=1 代入直线 BC 解析式求出 y 的值，确定出 E 坐标，求出 DE 长，将 x=m 代入抛物线解析式表示出 F 纵坐标，将 x=m 代入直线 BC 解析式表示出 P 纵坐标，两纵坐标相减表
9、示出线段 PQ，由 DE 与 QP 平行，要使四边形 PEDQ 为平行四边形，只需 DE=PQ，列出关于 m 的方程，求出方程的解得到 m 的值，检验即可解：(1)由抛物线经过点 C(O，4)可得 c=4, 对称轴 x= =1，b=-2a， ab2又抛物线过点 A（一 2，O）0=4a-2b+c， 由 解得：a= , b=1 ,c=4 所以抛物线的解析式是 y= x+x+41 21(2)假设存在满足条件的点 F，如图如示，连接 BF、CF、OF过点 F 分别作 FHx 轴于 H , FGy 轴于 G设点 F 的坐标为（t, t2+t+4） ，其中 O4 时，PQ=（一 m+4）一（一 m2+m
10、+4)= m22m,2121由 m22m= ，解得 m=2 ，经检验适合题意，2137此时 P2（2+ ，2 一 ） ，P3（2 一 ，2+ ） 77综上所述，满足条件的点 P 有三个，分别是 P1 (3,1)，P2（2+ ，2 - ） ，7P3（2 ，2 十 ）.7点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题2如图，三角形 ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，点 A、C 分别是一次函数 y= x+3
11、的图象与 y 轴的交点，点 B在二次函数 的图象上，且该二次函数图象上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形（1）试求 b，c 的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点 P 从 A 到 D，同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动，问：当 P 运动到何处时，有 PQAC？当 P 运动到何处时，四边形 PDCQ 的面积最小？此时四边形 PDCQ 的面积是多少？考点： 二次函数综合题3338333分析： （1）根据一次函数解析式求出点 A、点 C 坐标，再由ABC 是等腰三角形可求出点 B 坐标，根据平行四边形的性性质求出点 D 坐标，利用待定系数法可求出 b、c
12、的值，继而得出二次函数表达式（2）设点 P 运动了 t 秒时，PQAC，此时 AP=t，CQ=t，AQ=5t，再由 APQCAO，利用对应边成比例可求出 t 的值，继而确定点 P 的位置；只需使APQ 的面积最大，就能满足四边形 PDCQ 的面积最小，设APQ 底边 AP 上的高为 h，作QHAD 于点 H，由AQHCAO ，利用对应边成比例得出 h 的表达式，继而表示出APQ 的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形 PDCQ 的最小值，也可确定点 P 的位置解答： 解：（1）由 y= x+3，令 x=0，得 y=3，所以点 A（0，3） ；令 y=0，得 x=4，所以点 C（4，
13、0） ，ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形， B 点坐标为（4，0） ，又 四边形 ABCD 是平行四边形，D 点坐标为（8，3） ，将点 B（4，0 ） 、点 D（8，3）代入二次函数 y= x2+bx+c，可得 ，解得： ，故该二次函数解析式为：y= x2 x3（2）设点 P 运动了 t 秒时，PQAC，此时 AP=t，CQ=t，AQ=5t，PQAC， APQCAO， = ，即 = ，解得：t= 即当点 P 运动到距离 A 点 个单位长度处，有 PQACS 四边形 PDCQ+SAPQ=SACD，且 SACD= 83=12，当 APQ 的面积最大时，四边形 PDCQ 的面积最小，当动点
14、P 运动 t 秒时，AP=t ，CQ=t ，AQ=5t ，设APQ 底边 AP 上的高为 h，作 QHAD 于点 H，由AQHCAO 可得： = ，解得：h= （5 t） ，S APQ= t （5t ）= （ t2+5t）= （t ） 2+ ，当 t= 时，S APQ 达到最大值 ，此时 S 四边形 PDCQ=12 = ，故当点 P 运动到距离点 A 个单位处时，四边形 PDCQ 面积最小，最小值为 3翻转问题1已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+ =0 有两个不相等的实数根，k 为正整数（1）求 k 的值；（2）当次方程有一根为零时，直线 y=x+2 与关于 x 的二次函数 y=x2+
15、2x+ 的图象交于 A、B 两点，若 M 是线段AB 上的一个动点，过点 M 作 MNx 轴，交二次函数的图象于点 N，求线段 MN 的最大值及此时点 M 的坐标；（3）将（2）中的二次函数图象 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 x 轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线 y= x+b 与 该新图象恰好有三个公共点，求 b 的值考点： 二次函数综合题.分析： （1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与 0 的关系可以求出 k 的值；（2）利用 m 先表示出 M 与 N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出 MN 的长度，根据二次
16、函数的极值即可求出 MN的最大长度和 M 的坐标；（3）根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出 b 的值即可解答： 解：（1）关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 k12 k 3k 为正整数，k 为 1，2（2）把 x=0 代入方程 得 k=1，此时二次函数为 y=x2+2x，此时直线 y=x+2 与二次函数 y=x2+2x 的交点为 A（ 2，0） ，B（1，3）由题意可设 M（m，m+2 ） ，其中 2m1，则 N（m，m 2+2m） ，MN=m+2（m 2+2m）=m 2m+2= 当 m= 时，MN 的长度最大值为 此时点 M 的坐标为 （3）当 y= x+b 过点 A 时，
17、直线与新图象有 3 个公共点（如图 2 所示） ，把 A（2，0）代入 y= x+b 得 b=1，当 y= x+b 与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有 3 个公共点由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于 x 轴对称，所以其解析式为 y=x22x 有一组解，此时 有两个相等的实数根，则 所以 b= ，综上所述 b=1 或 b= 点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式的应用，还考查了两函数图象的交点问题，难点在于（3）求出直线与抛物线有 3 个交点的情况，根据题意分类讨论，并且作出图形更利于解决问题四平移和取值问题1在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+
18、bx+2 过 B（2，6）， C（2，2）两点（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为 D，求 BCD 的面积；（3）若直线 y= x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC（包括端点 B、 C）部分有两个交点，求 b 的取值范围解：（1）由题意 解得 ，抛物线解析式为 y= x2 x+2（2） y= x2 x+2= （ x1） 2+ 顶点坐标（1， ），直线 BC 为 y= x+4，对称轴与 BC 的交点 H（1，3）， S BDC=S BDH+S DHC= 3+ 1=3（3）由 消去 y 得到 x2 x+42 b=0，当=0 时，直线与抛物线相切，14（42 b）=0， b
19、= ，当直线 y= x+b 经过点 C 时， b=3，当直线 y= x+b 经过点 B 时， b=5，直线 y= x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC（包括端点 B、 C）部分有两个交点， b3 2.如图，抛物线 关于直线 对称，与坐标轴交于 三点，且 ,点 在抛物cbxay21xBA、4AB23、D线上，直线 是一次函数 的图象，点 是坐标原点.l0kO（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）若直线 平分四边形 的面积，求 的值.lOBDCk（3 ）把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线与直线 交于 两点，问在 轴正半轴上lNM、y是否存在一定点 ，使得不
20、论 取何值，直线 与 总是关于 轴 对称？若存在，求出 点坐标；若不存在，PkPMNyP请说明理 由.答案：（1）因为抛物线关于直线 x=1 对称，AB=4，所以 A(-1，0),B(3 ，0),由点 D(2，1.5)在抛物线上，所以 ，所以 3a+3b=1.5,即 a+b=0.5,5.1240cba又 ，即 b=-2a,代入上式解得 a=-0.5,b=1,从而 c=1.5,所以 .12ab 231xy（2 ）由（1 ）知 ，令 x=0,得 c(0,1.5),所以23xy CD/AB,令 kx-2=1.5,得 l 与 CD 的交点 F( )，,7k令 kx-2=0，得 l 与 x 轴的交点 E
21、( )，0,根据 S 四边形 OEFC=S 四边形 EBDF 得： OE+CF=DF+BE,即： ,51),27()3(27kkk解 得（3 ）由（1 ）知 ,2)(31xxy所以把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线的解析式为 21xy假设在 y 轴上存在一点 P(0，t)，t0，使直线 PM 与 PN 关于 y 轴对称，过点 M、N 分别向 y 轴作垂线 MM1、NN 1， 垂足分别为 M1、N 1，因为MPO= NPO, 所以 RtMPM 1Rt NPN 1,所以 ,(1)11P不妨设 M(xM,yM)在点 N(xN,yN)的左侧，因为 P 点在 y 轴正半轴上
22、，则（1）式变为 ,又 yM =k xM-2, yN=k xN-2, NNMtx所以（t+2）(x M +xN)=2k xM xN,(2)把 y=kx-2(k0)代入 中，整理得 x2+2kx-4=0,21y所以 xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入（ 2）得 t=2,符合条件，故在 y 轴上存在一点 P（0,2） ，使直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴对称.考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求
23、法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。五相似图形问题1如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=mx28mx+4m+2（m 0）与 y 轴的交点为 A，与 x 轴的交点分别为B（x 1，0） ，C（x 2，0） ，且 x2x1=4，直线 ADx 轴，在 x 轴上有一动点 E（t ，0）过点 E 作平行于 y 轴的直线 l 与抛物线、直线 AD 的交点分别为 P、Q （1）求抛物线的解析式；（2）当 0t8 时，求
24、APC 面积的最大值；（3）当 t2 时，是否存在点 P，使以 A、P、Q 为顶点的三角形与AOB 相似？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题菁优网版权所有分析： （1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出 B，C 两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式；（2）分 0t6 时和 6t8 时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）分 2t6 时和 t6 时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解解答： 解：（1）由题意知 x1、x 2 是方程 mx28mx+4m+2=0 的两根，x1+x2=8，由解得：B（2，0） 、C（6，0）则 4m1
25、6m+4m+2=0，解得：m= ，该抛物线解析式为：y= ；（2）可求得 A（0，3）设直线 AC 的解析式为：y=kx+b，直线 AC 的解析式为： y= x+3，要构成APC ，显然 t6，分两种情况讨论：当 0t6 时，设直线 l 与 AC 交点为 F，则：F（t， ） ，P（ t， ） ，PF= ，SAPC=SAPF+SCPF= ，此时最大值为： ，当 6t8 时，设直线 l 与 AC 交点为 M，则：M（t， ） ，P（ t， ） ，PM= ，SAPC=SAPFSCPF= ，当 t=8 时，取最大值，最大值为：12，综上可知，当 0t 8 时，APC 面积的最大值为 12；（3）如图
26、，连接 AB，则AOB 中， AOB=90，AO=3，BO=2，Q（t，3） ，P（t ， ） ，当 2t6 时，AQ=t，PQ= ，若：AOB AQP，则： ，即： ，t=0（舍） ，或 t= ，若AOBPQA，则： ，即： ，t=0（舍）或 t=2（舍） ，当 t6 时，AQ=t，PQ = ，若：AOB AQP，则： ，即： ，t=0（舍） ，或 t= ，若AOBPQA，则： ，即： ，t=0（舍）或 t=14，t= 或 t= 或 t=14点评： 本题主要考查了抛物线解析式的求法，以及利用配方法等知识点求最值的问题，还考查了三角形相似的问题，是一道二次函数与几何问题结合紧密的题目，要注意认真总结2如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过平移21yx得到抛物线 ，其对称轴与两段抛物线弧所围成21yx的阴影部分的面积为（ ） A B C D248160yx【解析】依据平移的定义及抛物线的对称性可得：区域 D 的面积 =区域 C 的面积=区域 B 的面积， 阴影面积=区域 A 的面积加上区域 D 的面积=正方形的面积 4AB CDxy0
