1、第 1 页（共 32 页）圆锥曲线、导数 2018 年全国高考数学分类真题（含答案）一选择题（共 7 小题）1双曲线 y2=1 的焦点坐标是（ ）A （ ，0 ） ， （ ，0） B （ 2，0） ， （2，0） C （0， ） ， （0， ）D （0，2） ， （0，2）2已知双曲线 =1（a0 ，b 0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1 C =1 D =13设 F1，F 2 是双曲线 C： =1（a0b 0）的左，右焦点， O
2、是坐标原点过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若 |PF1|= |OP|，则 C 的离心率为（ ）A B2 C D4已知 F1，F 2 是椭圆 C： =1（ab0）的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 的直线上，PF 1F2 为等腰三角形，F 1F2P=120，则 C 的离心率为（ ）A B C D5双曲线 =1（a0 ，b 0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）Ay= xBy= xCy= x Dy= x6已知双曲线 C： y2=1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C第 2 页（共 32 页）的两条渐近线的交点分别为 M，N若O
3、MN 为直角三角形，则|MN|=（ ）A B3 C2 D47设函数 f（x）=x 3+（a 1）x 2+ax若 f（x ）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）Ay= 2x By=x Cy=2x Dy=x二填空题（共 6 小题）8在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 =1（a0，b 0）的右焦点F（c， 0）到一条渐近线的距离为 c，则其离心率的值为 9已知椭圆 M： + =1（ab0） ，双曲线 N： =1若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 10已知点 P（
4、0，1） ，椭圆 +y2=m（m1）上两点 A，B 满足 =2 ，则当m= 时，点 B 横坐标的绝对值最大11已知点 M（ 1，1）和抛物线 C：y 2=4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C交于 A，B 两点若AMB=90，则 k=12曲线 y=（ax+1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为2，则 a= 13曲线 y=2ln（x +1）在点（0，0）处的切线方程为 三解答题（共 13 小题）14设函数 f（x ）=ax 2（ 4a+1）x+4a+3e x（）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 x 轴平行，求 a；（）若 f（x）在 x=2 处取得极小值，求 a
5、的取值范围第 3 页（共 32 页）15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（ ） ，焦点F1（ ，0） ，F 2（ ，0） ，圆 O 的直径为 F1F2（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点若OAB 的面积为 ，求直线 l 的方程16如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y 2=4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上（）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；（
6、）若 P 是半椭圆 x2+ =1（x0）上的动点，求PAB 面积的取值范围17设椭圆 + =1（ab 0）的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆的离心率为 ，点 A 的坐标为（b ，0） ，且|FB|AB|=6 第 4 页（共 32 页）（）求椭圆的方程；（）设直线 l：y=kx（k0）与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q若 = sinAOQ （O 为原点） ，求 k 的值18已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： + =1 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M（1， m） （m0） （1）证明：k ；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 +
7、 + = 证明：| |，| |，| |成等差数列，并求该数列的公差19设抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k 0）的直线 l 与 C 交于A，B 两点，|AB|=8（1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程20设椭圆 C： +y2=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点M 的坐标为（2，0） （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；（2）设 O 为坐标原点，证明： OMA=OMB 21记 f（x ） ，g （x）分别为函数 f（x ） ，g （x ）的导函数若存在 x0R，满足f（x 0）
8、=g（x 0）且 f（x 0）=g（x 0） ，则称 x0 为函数 f（x）与 g（x）的一个“S 点”（1）证明：函数 f（x）=x 与 g（x）=x 2+2x2 不存在“S 点”；（2）若函数 f（x）=ax 21 与 g（x ）=lnx 存在“S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数 f（x）=x 2+a，g（x ）= 对任意 a0 ，判断是否存在b0 ，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点”，并说明理由22已知函数 f（x ）= lnx（）若 f（x）在 x=x1，x 2（x 1x 2）处导数相等，证明： f（x 1）+f （x 2）8 8ln2；第 5 页（共
9、 32 页）（）若 a34ln2，证明：对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯一公共点23已知函数 f（x ）=a x，g（x）=log ax，其中 a1（）求函数 h（x）=f（ x） xlna 的单调区间；（）若曲线 y=f（x）在点（x 1，f（x 1） ）处的切线与曲线 y=g（x ）在点（x 2，g （x 2） ）处的切线平行，证明 x1+g（x 2）= ；（）证明当 ae 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x ）的切线24已知函数 f（x ）=（2+x+ax 2）ln （1+x）2x（1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（
10、x）0；当 x0 时，f（x）0；（2）若 x=0 是 f（x）的极大值点，求 a25已知函数 f（x ）=e xax2（1）若 a=1，证明：当 x0 时，f（x ）1；（2）若 f（x）在（0，+ ）只有一个零点，求 a26已知函数 f（x ）= x+alnx（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x 2，证明： a2第 6 页（共 32 页）圆锥曲线、导数 2018 年全国高考数学分类真题（含答案）参考答案与试题解析一选择题（共 7 小题）1双曲线 y2=1 的焦点坐标是（ ）A （ ，0 ） ， （ ，0） B （ 2，0） ， （2，0） C （0， ）
11、 ， （0， ）D （0，2） ， （0，2）【解答】解：双曲线方程可得双曲线的焦点在 x 轴上，且 a2=3，b 2=1，由此可得 c= =2，该双曲线的焦点坐标为（2，0）故选：B2已知双曲线 =1（a0 ，b 0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1 C =1 D =1【解答】解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线y= ，即 bxay=0，F（c，0） ，ACCD，BD CD ，FE CD，ACDB 是梯形，F 是 A
12、B 的中点，EF= =3，EF= =b，所以 b=3，双曲线 =1（a0，b 0）的离心率为 2，可得 ，第 7 页（共 32 页）可得： ，解得 a= 则双曲线的方程为： =1故选：C3设 F1，F 2 是双曲线 C： =1（a0b 0）的左，右焦点， O 是坐标原点过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若 |PF1|= |OP|，则 C 的离心率为（ ）A B2 C D【解答】解：双曲线 C： =1（a0b 0）的一条渐近线方程为 y= x，点 F2 到渐近线的距离 d= =b，即|PF 2|=b，|OP|= = =a，cos PF 2O= ，|PF 1|= |OP|，|PF
13、1|= a，在三角形 F1PF2 中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|COSPF 2O，第 8 页（共 32 页）6a 2=b2+4c22b2c =4c23b2=4c23（c 2a2） ，即 3a2=c2，即 a=c，e= = ，故选：C4已知 F1，F 2 是椭圆 C： =1（ab0）的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 的直线上，PF 1F2 为等腰三角形，F 1F2P=120，则 C 的离心率为（ ）A B C D【解答】解：由题意可知：A（ a，0） ，F 1（c，0） ，F 2（c，0） ，直线 AP 的方程为：
14、 y= （x+a） ，由F 1F2P=120，|PF 2|=|F1F2|=2c，则 P（2c ， c） ，代入直线 AP： c= （2c+a） ，整理得：a=4c，题意的离心率 e= = 故选：D第 9 页（共 32 页）5双曲线 =1（a0 ，b 0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）Ay= xBy= xCy= x Dy= x【解答】解：双曲线的离心率为 e= = ，则 = = = = = ，即双曲线的渐近线方程为 y= x= x，故选：A6已知双曲线 C： y2=1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C的两条渐近线的交点分别为 M，N若OMN 为直角三角形，则|MN
15、|=（ ）A B3 C2 D4【解答】解：双曲线 C： y2=1 的渐近线方程为：y= ，渐近线的夹角为：60，不妨设过 F（2 ，0）的直线为： y= ，则： 解得 M（ ， ） ，解得：N（ ） ，则|MN|= =3故选：B7设函数 f（x）=x 3+（a 1）x 2+ax若 f（x ）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）Ay= 2x By=x Cy=2x Dy=x第 10 页（共 32 页）【解答】解：函数 f（x） =x3+（a 1）x 2+ax，若 f（ x）为奇函数，可得 a=1，所以函数 f（x）=x 3+x，可得 f（x）=3x 2+1，曲线 y=f
16、（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x故选：D二填空题（共 6 小题）8在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 =1（a0，b 0）的右焦点F（c， 0）到一条渐近线的距离为 c，则其离心率的值为 2 【解答】解：双曲线 =1（a0，b0）的右焦点 F（c，0）到一条渐近线 y= x 的距离为 c，可得： =b= ，可得 ，即 c=2a，所以双曲线的离心率为：e= 故答案为：29已知椭圆 M： + =1（ab0） ，双曲线 N： =1若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆
17、M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 2 【解答】解：椭圆 M： + =1（ab0） ，双曲线 N： =1若双曲线N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，第 11 页（共 32 页）可得椭圆的焦点坐标（c，0） ，正六边形的一个顶点（ ， ） ，可得：，可得 ，可得 e48e2+4=0，e（0，1） ，解得 e= 同时，双曲线的渐近线的斜率为 ，即 ，可得： ，即 ，可得双曲线的离心率为 e= =2故答案为： ；210已知点 P（0，1） ，椭圆 +y2=m（m1）上两点 A，B 满足 =2 ，则当m= 5 时，点 B 横坐标的绝对值最大【解答】
18、解：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 P（ 0，1） ， =2 ，可得x 1=2x2，1y 1=2（y 21） ，即有 x1=2x2，y 1+2y2=3，又 x12+4y12=4m，即为 x22+y12=m，x22+4y22=4m， 得（y 12y2） （y 1+2y2）=3m，可得 y12y2=m，解得 y1= ，y 2= ，则 m=x22+（ ） 2，即有 x22=m（ ） 2= = ，即有 m=5 时， x22 有最大值 16，第 12 页（共 32 页）即点 B 横坐标的绝对值最大故答案为：511已知点 M（ 1，1）和抛物线 C：y 2=4x，过 C 的焦点且斜
19、率为 k 的直线与 C交于 A，B 两点若AMB=90，则 k=2 【解答】解：抛物线 C：y 2=4x 的焦点 F（1，0） ，过 A，B 两点的直线方程为 y=k（x 1） ，联立 可得，k 2x22（2+k 2）x+k 2=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x2= ，x 1x2=1，y 1+y2=k（x 1+x22）= ，y 1y2=k2（x 11） （x 21）=k 2x1x2（x 1+x2）+1= 4，M（ 1，1） ， =（ x1+1，y 11） ， =（x 2+1，y 21） ，AMB=90=0， =0（x 1+1） （x 2+1）+（y 11）
20、（y 21）=0，整理可得，x 1x2+（x 1+x2）+y 1y2（y 1+y2）+2=0 ，1+2 + 4 +2=0，即 k24k+4=0，k=2故答案为：212曲线 y=（ax+1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为2，则 a= 3 第 13 页（共 32 页）【解答】解：曲线 y=（ax+1）e x，可得 y=aex+（ax+1）e x，曲线 y=（ax+1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为2，可得：a+1=2，解得 a=3故答案为：313曲线 y=2ln（x +1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x 【解答】解：y=2ln （x+1） ，y= ，当 x=0 时，y=2
21、，曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x故答案为：y=2x三解答题（共 13 小题）14设函数 f（x ）=ax 2（ 4a+1）x+4a+3e x（）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 x 轴平行，求 a；（）若 f（x）在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围【解答】解：（）函数 f（x ）=ax 2（4a +1）x+4a +3ex 的导数为f（x ）=ax 2（2a+1）x+2e x由题意可得曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线斜率为 0，可得（a2a 1+2）e=0，解得 a=1；（）f（x ）的导数为 f（x）= ax2（2
22、a+1）x +2ex=（x2） （ax 1）e x，若 a=0 则 x2 时，f （x）0，f（x）递增；x 2，f（x）0，f （x）递减x=2 处 f（x ）取得极大值，不符题意；若 a0，且 a= ，则 f（x）= （x 2） 2ex0，f （x ）递增，无极值；若 a ，则 2，f （x ）在（ ，2）递减；在（2，+） ， （， ）递增，第 14 页（共 32 页）可得 f（ x）在 x=2 处取得极小值；若 0a ，则 2，f（x ）在（2， ）递减；在（ ，+） ， （，2）递增，可得 f（ x）在 x=2 处取得极大值，不符题意；若 a0，则 2，f （x ）在（ ，2）递增；
23、在（2，+） ， （， ）递减，可得 f（ x）在 x=2 处取得极大值，不符题意综上可得，a 的范围是（ ，+） 15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（ ） ，焦点F1（ ，0） ，F 2（ ，0） ，圆 O 的直径为 F1F2（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点若OAB 的面积为 ，求直线 l 的方程【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为 ，焦点 F1（ ，0） ，F 2（ ，0） ， ，又 a2+b2=c2=3，解得
24、a=2，b=1椭圆 C 的方程为： ，圆 O 的方程为： x2+y2=3第 15 页（共 32 页）（2）可知直线 l 与圆 O 相切，也与椭圆 C，且切点在第一象限，可设直线 l 的方程为 y=kx+m， （k0，m0） 由圆心（0，0）到直线 l 的距离等于圆半径 ，可得 由 ，可得（4k 2+1）x 2+8kmx+4m24=0，= （8km） 24（4k 2+1） （4m 24）=0 ，可得 m2=4k2+1，3k 2+3=4k2+1，结合 k0，m0，解得 k= ，m=3将 k= ，m=3 代入 可得 ，解得 x= ， y=1，故点 P 的坐标为（ 设 A（x 1，y 1） ，B（x
25、2，y 2） ，由 k 联立直线与椭圆方程得（4k 2+1）x 2+8kmx+4m24=0，|x2x1|= = ，O 到直线 l 的距离 d= ，|AB|= |x2x1|= ，OAB 的面积为 S= = ，解得 k= ， （正值舍去） ，m=3 y= 为所求第 16 页（共 32 页）16如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y 2=4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上（）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；（）若 P 是半椭圆 x2+ =1（x0）上的动点，求PAB 面积的取值范围【解答】解：（）证明：可设 P（m，n
26、） ，A （ ，y 1） ，B（ ，y 2） ，AB 中点为 M 的坐标为（ ， ） ，抛物线 C：y 2=4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上，可得（ ） 2=4 ，（ ） 2=4 ，化简可得 y1，y 2 为关于 y 的方程 y22ny+8mn2=0 的两根，可得 y1+y2=2n，y 1y2=8mn2，可得 n= ，则 PM 垂直于 y 轴；第 17 页（共 32 页）（）若 P 是半椭圆 x2+ =1（x0）上的动点，可得 m2+ =1，1m 0，2n 2，由（）可得 y1+y2=2n，y 1y2=8mn2，由 PM 垂直于 y 轴，可得 PAB 面积为
27、 S= |PM|y1y2|= （ m）= （4n 216m+2n2） m= （ n24m） ，可令 t= = ，可得 m= 时， t 取得最大值 ；m=1 时， t 取得最小值 2，即 2t ，则 S= t3 在 2t 递增，可得 S6 ， ，PAB 面积的取值范围为6 ， 17设椭圆 + =1（ab 0）的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆的离心第 18 页（共 32 页）率为 ，点 A 的坐标为（b ，0） ，且|FB|AB|=6 （）求椭圆的方程；（）设直线 l：y=kx（k0）与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q若 = sinAOQ （O 为原点） ，求 k
28、的值【解答】解：（）设椭圆 + =1（ab0）的焦距为 2c，由椭圆的离心率为 e= ， = ；又 a2=b2+c2，2a=3b，由|FB|=a，|AB|= b，且|FB|AB|=6 ；可得 ab=6，从而解得 a=3，b=2，椭圆的方程为 + =1；（）设点 P 的坐标为（x 1，y 1） ，点 Q 的坐标为（x 2，y 2） ，由已知y1y 20；|PQ|sin AOQ=y 1y2；又|AQ |= ，且OAB= ，|AQ |= y，由 = sinAOQ ，可得 5y1=9y2；由方程组 ，消去 x，可得 y1= ，直线 AB 的方程为 x+y2=0；第 19 页（共 32 页）由方程组 ，
29、消去 x，可得 y2= ；由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=3 ，两边平方，整理得 56k250k+11=0，解得 k= 或 k= ；k 的值为 或 18已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： + =1 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M（1， m） （m0） （1）证明：k ；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 + + = 证明：| |，| |，| |成等差数列，并求该数列的公差【解答】解：（1）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，线段 AB 的中点为 M（1，m） ，x 1+x2=2，y 1+y2=2m将 A，B 代入椭圆 C： + =
30、1 中，可得，两式相减可得，3（x 1+x2） （x 1x2）+4（y 1+y2） （y 1y2）=0，即 6（x 1x2）+8m（y 1y2）=0，k= = =点 M（ 1，m）在椭圆内，即 ，解得 0m第 20 页（共 32 页） （2）证明：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，P（x 3，y 3） ，可得 x1+x2=2， + + = ，F（1，0） ，x 11+x21+x31=0，y 1+y2+y3=0，x 3=1，m0，可得 P 在第一象限，故 ，m= ，k=1由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex 1=2 x1，|FB|=2 x2，|FP|=2 x3= 则|FA|+
31、|FB|=4 ，|FA|+|FB|=2|FP|，联立 ，可得|x 1x2|=所以该数列的公差 d 满足 2d= |x1x2|= ，该数列的公差为 19设抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k 0）的直线 l 与 C 交于A，B 两点，|AB|=8（1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程【解答】解：（1）方法一：抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F（1，0） ，当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；设直线 AB 的方程为：y=k（x1） ，设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，则 ，整理得：k 2x22（k 2+
32、2）x+k 2=0，则 x1+x2= ，x 1x2=1，由|AB|=x 1+x2+p= +2=8，解得：k 2=1，则 k=1，直线 l 的方程 y=x1；第 21 页（共 32 页）方法二：抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F（1，0） ，设直线 AB 的倾斜角为 ，由抛物线的弦长公式|AB|= = =8，解得：sin 2= ，= ，则直线的斜率 k=1，直线 l 的方程 y=x1；（2）过 A，B 分别向准线 x=1 作垂线，垂足分别为 A1，B 1，设 AB 的中点为D，过 D 作 DD1准线 l，垂足为 D，则|DD 1|= （|AA 1|+|BB1|）由抛物线的定义可知：|AA 1
33、|=|AF|，|BB 1|=|BF|，则 r=|DD1|=4，以 AB 为直径的圆与 x=1 相切，且该圆的圆心为 AB 的中点 D，由（1）可知：x 1+x2=6，y 1+y2=x1+x22=4，则 D（3，2） ，过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程（x3） 2+（y 2） 2=16 20设椭圆 C： +y2=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点M 的坐标为（2，0） （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；（2）设 O 为坐标原点，证明： OMA=OMB 第 22 页（共 32 页）【解答】解：（1）c= =1，F（1，0） ，l
34、与 x 轴垂直，x=1，由 ，解得 或 ，A（1. ） ，或（1， ） ，直线 AM 的方程为 y= x+ ，y= x ，证明：（2）当 l 与 x 轴重合时， OMA=OMB=0，当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，OMA=OMB，当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y=k（x 1） ，k 0，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1 ，x 2 ，直线 MA，MB 的斜率之和为 kMA，k MB 之和为 kMA+kMB= + ，由 y1=kx1k，y 2=kx2k 得 kMA+kMB= ，将 y=k（x 1）代入 +y2=1 可得（2k
35、 2+1）x 24k2x+2k22=0，x 1+x2= ，x 1x2= ，2kx 1x23k（ x1+x2）+4k= （4k 24k12k2+8k2+4k）=0从而 kMA+kMB=0，故 MA，MB 的倾斜角互补，OMA=OMB，综上OMA=OMB21记 f（x ） ，g （x）分别为函数 f（x ） ，g （x ）的导函数若存在 x0R，满足第 23 页（共 32 页）f（x 0）=g（x 0）且 f（x 0）=g（x 0） ，则称 x0 为函数 f（x）与 g（x）的一个“S 点”（1）证明：函数 f（x）=x 与 g（x）=x 2+2x2 不存在“S 点”；（2）若函数 f（x）=ax
36、 21 与 g（x ）=lnx 存在“S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数 f（x）=x 2+a，g（x ）= 对任意 a0 ，判断是否存在b0 ，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点”，并说明理由【解答】解：（1）证明：f（x ）=1，g（x）=2x+2，则由定义得 ，得方程无解，则 f（x ）=x 与 g（x）=x 2+2x2 不存在“S点”；（2）f（x）=2ax ，g（x）= ，x 0，由 f（x）=g（x）得 =2ax，得 x= ，f（ ）= =g（ ）= lna2，得 a= ；（3）f（x）= 2x，g（x）= ， （x0） ，由 f（x 0）=g（x
37、0） ，得 b = 0，得 0x 01，由 f（x 0）=g（x 0） ，得x 02+a= = ，得 a=x02 ，令 h（x）=x 2 a= ， （a0，0x1） ，设 m（x ）= x3+3x2+axa， （a0，0x 1） ，则 m（0）=a0，m（1）=20，得 m（0）m（1）0，又 m（x ）的图象在（ 0， 1）上连续不断，则 m（x ）在（ 0，1）上有零点，则 h（x）在（0，1）上有零点，则 f（x）与 g（x）在区间（ 0，+）内存在“S”点第 24 页（共 32 页）22已知函数 f（x ）= lnx（）若 f（x）在 x=x1，x 2（x 1x 2）处导数相等，证明：
38、 f（x 1）+f （x 2）8 8ln2；（）若 a34ln2，证明：对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯一公共点【解答】证明：（）函数 f（x ）= lnx，x0，f（x ）= ，f（ x）在 x=x1，x 2（x 1x 2）处导数相等， = ，x 1x 2， + = ，由基本不等式得： = ，x 1x 2，x 1x2256 ，由题意得 f（x 1）+f （x 2）= = ln（x 1x2） ，设 g（ x）= ，则 ，列表讨论：x （ 0，16） 16 （16，+）g（x） 0 +g（x） 24ln2 g （x）在256，+）上单调递增，g （x 1x2）g（25
39、6 ）=8 8ln2，f（ x1）+f（ x2）8 8ln2（）令 m=e（|a|+k ） ，n=（ ） 2+1，第 25 页（共 32 页）则 f（m）kma|a |+kka0，f（n）kn an（ k）n（ k）0，存在 x0（ m，n） ，使 f（x 0）=kx 0+a，对于任意的 aR 及 k（0，+） ，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有公共点，由 f（x）=kx+a，得 k= ，设 h（x）= ，则 h（x ）= = ，其中 g（x ）= lnx，由（1）知 g（ x）g （16） ，又 a3 4ln2，g （x ） 1+ag（16） 1+a=3+4ln2+a0，h（x ）
40、0，即函数 h（x ）在（0，+）上单调递减，方程 f（x ）kxa=0 至多有一个实根，综上，a3 4ln2 时，对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯一公共点23已知函数 f（x ）=a x，g（x）=log ax，其中 a1（）求函数 h（x）=f（ x） xlna 的单调区间；（）若曲线 y=f（x）在点（x 1，f（x 1） ）处的切线与曲线 y=g（x ）在点（x 2，g （x 2） ）处的切线平行，证明 x1+g（x 2）= ；（）证明当 ae 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x ）的切线【解答】 （）解：由已知，h（x
41、）=a xxlna，有 h（x）=a xlnalna，令 h（x ）=0，解得 x=0由 a1，可知当 x 变化时， h（x） ，h（x）的变化情况如下表：x 0 第 26 页（共 32 页）（ ，0）（ 0，+）h（x） 0 +h（x） 极小值 函数 h（x）的单调减区间为（ ，0 ） ，单调递增区间为（0，+） ；（）证明：由 f（x ）=a xlna，可得曲线 y=f（x）在点（x 1，f （x 1） ）处的切线的斜率为 lna由 g（x）= ，可得曲线 y=g（x）在点（x 2，g（x 2） ）处的切线的斜率为这两条切线平行，故有 ，即 ，两边取以 a 为底数的对数，得 logax2+
42、x1+2logalna=0，x 1+g（x 2）= ；（）证明：曲线 y=f（x）在点（ ）处的切线 l1：，曲线 y=g（x ）在点（x 2，log ax2）处的切线 l2： 要证明当 a 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x ）的切线，也是曲线y=g（x ）的切线，只需证明当 a 时，存在 x1（，+） ，x 2（0，+）使得 l1 与 l2 重合，即只需证明当 a 时，方程组由得 ，代入得：，因此，只需证明当 a 时，关于 x1 的方程存在实数解第 27 页（共 32 页）设函数 u（x）= ，既要证明当 a 时，函数y=u（x）存在零点u（x）=1（lna） 2xax，可知 x
43、（，0）时，u（ x）0；x（0，+）时，u（x）单调递减，又 u（0）=10，u = 0，故存在唯一的 x0，且 x00，使得 u（x 0）=0，即 由此可得，u（x）在（ ，x 0）上单调递增，在（x 0，+）上单调递减，u（x）在 x=x0 处取得极大值 u（x 0） ，故 lnlna1 =下面证明存在实数 t，使得 u（t）0，由（）可得 ax1+xlna，当 时，有u（x） = 存在实数 t，使得 u（t）0因此，当 a 时，存在 x1（，+） ，使得 u（x 1）=0当 a 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x ）的切线，也是曲线 y=g（x ）的切线24已知函数 f（x
44、）=（2+x+ax 2）ln （1+x）2x（1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0；（2）若 x=0 是 f（x）的极大值点，求 a【解答】 （1）证明：当 a=0 时，f （x）=（2+x ）ln（1+x ） 2x， （x1） 第 28 页（共 32 页）， ，可得 x（1， 0）时，f（x）0 ，x（0，+）时，f（x）0f（x）在（ 1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）f（0）=0，f（ x）= （2+x）ln （1 +x）2x 在（1，+）上单调递增，又 f（0）=0当1x0 时，f（x） 0；当 x0 时，f（x ） 0（2）解：由 f（x）=
45、（2+x+ax 2）ln （1+x）2x，得f（x ）=（1+2ax）ln（1+x）+ 2= ，令 h（x）=ax 2x+（1+2ax ） （1+x）ln （x+1） ，h（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln （x+1） 当 a0，x0 时，h （x ）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x ）0，f（ x）在（0，+）上单调递增，故 x=0 不是 f（x）的极大值点，不符合题意当 a0 时，h（x）=8a+4aln（x+1 ）+ ，显然 h（x）单调递减，令 h（0）=0，解得 a= 当1x0 时，h（x）0，当 x0 时，h （x）0，h（x ）在（1，0）上单调递增，
46、在（0，+）上单调递减，h（x ）h （0）=0 ，h（x）单调递减，又 h（0）=0 ，当1x0 时，h（x）0，即 f（x ）0，当 x0 时，h（x）0，即 f（x）0，第 29 页（共 32 页）f（ x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，x=0 是 f（x）的极大值点，符合题意；若 a0，则 h（0）=1 +6a0，h （e 1）=（2a 1） （1e ）0，h （x）=0 在（0，+）上有唯一一个零点，设为 x0，当 0xx 0 时，h（x）0，h （x）单调递增，h（x ）h （0）=0 ，即 f（x）0，f（ x）在（0，x 0）上单调递增，不符合题意；若 a ，则 h（0）=1 +6a0，h （ 1）=（ 12a）e 20，h （x
