1、42 导数在实际问题中的应用教学目的：1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1.极大值： 一般地，设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)f(x 0)，就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值 =f(x0)，x 0 是极大值点2.极小值：一般地，设函数 f(x)在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的
2、所有的点，都有 f(x)f(x 0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值 =f(x0)，x 0 是极小值点3.极大值与极小值统称为极值 4. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法:若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极0)(f0x)(xf 0x)(f值点， 是极值，并且如果 在 两侧满足“ 左正右负”，则 是)(0xf )(f的极大值点， 是极大值；如果 在 两侧满足“ 左负右正”，则f )(0xf )(xf0是 的极小值点， 是极小值0x)(5. 求可导函数 f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数 f(x) (2)求方程 f(x)=0
3、的根(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么 f(x)在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间 上连续的函数 在 上必有最大ba, )(xfba,值与最小值在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值 (,)(f函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间)(xfba,)(xf上有最大值与最小
4、值的充分条件而非必要条件( 4)函数在其定义区间上的ba,最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:求 在 内的极值； 将 的各极值)(xf,ab)(xf与 、 比较得出函数 在 上的最值)(afbf ,二、讲解范例：例 1 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起( 如图 )，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 cm，602xh得箱子容积)(322xxV6023()xx60令 0，解得 x=0（舍去） ，x=40， 23()
5、xVx并求得 V(40)=16 000_x_x_60_60xx由题意可知，当 x 过小（接近 0）或过大（接近 60）时，箱子容积很小，因此，16 000 是最大值答：当 x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3解法二：设箱高为 xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积 （后面同解法一，略）xV2)60()30(由题意可知，当 x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处事实上，可导函数 、260)(32xhxV在各自的定义域中都只有一个极值点，从图xxV2)60()象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例 2
6、 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面积S=2Rh+2R2由 V=R2h，得 ，则VS(R)= 2R + 2R2= +2R22R令 +4R=0()s解得，R= ，从而 h= = = =232V223()V343V即 h=2R因为 S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时，它的高与底面半径应怎样选x60-2x60-2x 60-2xx60-2x6060取，才能使所用材料最省？提示：S=2 + h=R2RS2V(R)= R = 232
7、1)(1RS)=0 ) 26Sh222例 3 在经济学中，生产 x 单位产品的成本称为成本函数同，记为 C(x)，出售 x单位产品的收益称为收益函数，记为 R(x)，R(x)C(x)称为利润函数，记为 P(x)。（1） 、如果 C(x) ，那么生产多少单位产品时，10503.126xx边际 最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)xC（2） 、如果 C(x)=50x10000，产品的单价 P1000.01x，那么怎样定价，可使利润最大？变式：已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q，价格 p 与产量 q 的函数关系式为 求产量 q 为何值时，利润 L
8、最大？p8125分析：利润 L 等于收入 R 减去成本 C，而收入 R 等于产量乘价格由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式，再用导数求最大利润解：收入 ，21258pq利润 221(04)08LRCq(10)q124q令 ，即 ，求得唯一的极值点0104q答：产量为 84 时，利润 L 最大三、课堂练习：1.函数 y=2x33x 212x +5 在0，3上的最小值是_.2.函数 f(x)=sin2xx 在 , 上的最大值为_；最小值为_.23.将正数 a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成_和_.4.使内接椭圆 =1 的矩形面积最大，矩形的长为_，宽为_.2byx5.在半径为
9、 R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 _时，它的面积最大答案：1. 15 2. 3. 4. a b 5. R22a223四、小结 ：解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 五、课后作业：1.有一边长分别为 8 与 5 的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？解：（1）正方形边长为 x,则 V=（82x)(52x )x=2(2x313x 2+20x)(0 时，l 0.234344h= 时， l 取最小值，此时 b= 4SS32
