1、3.2.3 空间的角的计算一、基础过关1 若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 150，则直线 l 与平面 所成的角等于_2 若两个平面 ， 的法向量分别是 n(1,0,1)，( 1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_3 已知 A ，P， ，平面 的一个法向量 n ，则直PA ( 32，12，2) (0， 12， 2)线 PA 与平面 所成的角为_ 4 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 AB BB1，则 AB1 与 C1B 所成角的大小为2_5 如图，在正四面体 ABCD 中，点 E 为 BC 中点，点 F 为 AD 中点，则异面直线 AE 与CF 所成角的余弦值为
2、_ 6 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N，P 分别是棱 CC1，BC，A 1B1 上的点，若B 1MN90，则PMN 的大小是_二、能力提升7 二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB4，AC6，BD 8，CD2 ，则该二面角的大小为17_8 设 ABCD、ABEF 都是边长为 1 的正方形，FA平面 ABCD，则异面直线 AC 与 BF 所成的角为_9 正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 A1D1、A 1C1 的中点求异面直线 AE 与 CF所成角的余弦值10如图，已知点 P 在正方
3、体 ABCDABC D的对角线 BD上，PDA 60.(1)求 DP 与 CC所成角的大小；(2)求 DP 与平面 AADD 所成角的大小11如图，四棱锥 FABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线 AC2，BD .CF 与平面2ABCD 垂直，CF2.求二面角 BAFD 的大小三、探究与拓展12如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，EFAB，EF FB ，AB2EF，BFC90，BFFC ， H 为 BC 的中点(1)求证：FH 平面 EDB；(2)求证：AC平面 EDB；(3)求二面角 BDEC 的大小答案160 260 360 490 5 690 760 86
4、0 239解 不妨设正方体棱长为 2，分别取 DA、DC、DD 1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F (1,1,2)，由 (1,0,2)， (1，1,2) ，AE CF 得| | ，| | .AE 5 CF 6 1 043.AE CF 又 | | |cos ， AE CF AE CF AE CF cos ， ，30 AE CF cos ， ，异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 .AE CF 3010 301010解 (1)如图，以 D 为原点， DA 为单位长建立空间直角坐标系 Dxyz.则 (1,
5、0,0)， (0,0,1)DA CC 连结 BD，B D.在平面 BBD D 中，延长 DP 交 BD于 H.设 (m ，m,1) (m 0)，DH 由已知 ， 60，DH DA 由 | | |cos ， ，DA DH DA DH DH DA 可得 2m .2m2 1解得 m ，所以 .22 DH ( 22，22，1)因为 cos ， DH CC ，22 0 22 0 1112 22所以 ， 45 ，即 DP 与 CC所成的角为 45.DH CC (2)平面 AADD 的一个法向量是 (0,1,0)DC 因为 cos ， DH DC ，22 0 22 1 1012 12所以 ， 60.DH D
6、C 可得 DP 与平面 AADD 所成的角为 30.11解 过点 A 作 AE平面 ABCD.以 A 为坐标原点， 、 、 方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标BD AC AE 系(如图) 于是 B ，D ，( 22，1，0) ( 22，1，0)F(0,2,2)设平面 ABF 的法向量 n1(x，y ，z) ，则由Error!得Error!令 z1，得Error!所以 n1( ，1,1)2同理，可求得平面 ADF 的法向量 n2( ，1,1)由 n1n20 知，2平面 ABF 与平面 ADF 垂直，所以二面角 BAFD 的大小等于 .212(1)证明 四边形 ABCD 为
7、正方形，ABBC.又 EFAB，EFBC.又 EFFB，EF平面 BFC.EFFH ，ABFH.又 BFFC，H 为 BC 的中点，FHBC.FH平面 ABC.以 H 为坐标原点， 为 x 轴正方向， 为 z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐HB HF 标系设 BH1，则 A(1，2,0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1，2,0) ，E(0，1,1) ，F(0,0,1)设 AC 与 BD 的交点为 G，连结 GE，GH，则 G(0，1,0)， (0,0,1)又 (0,0,1)，GE HF .HF GE 又 GE平面 EDB，HF平面 EDB，FH平面 EBD.(2)证明 ( 2,
8、2,0)， (0,0,1)， 0，AC GE AC GE ACGE.又 ACBD，EG BD G，AC 平面 EDB.(3)解 (1，1,1)， ( 2，2,0)设平面 BDE 的法向量为 n1(1，y 1，z 1)，BE BD 则 n11y 1z 10， n122y 10，BE BD y 11，z 10，即 n1(1，1,0) (0，2,0)， (1，1,1)CD CE 设平面 CDE 的法向量为 n2(1 ，y 2，z 2)，则 n2 0，y 20，n 2 0，CD CE 1y 2z 20，z 21，故 n2(1,0 ， 1)cosn 1，n 2 ，n1n2|n1|n2| 122 12n 1，n 260，即二面角 BDEC 的大小为 60.
