1、16-2-4 比例应用题教学目标1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质 1：若 a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性质 2：若 a: b=c：d，则(a - c) ：(b - d)= a：b=c ：d；性质 3：若 a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c
2、：d；(x 为常数)性质 4：若 a: b=c：d，则 ad = bc；( 即外项积等于内项积)正比例：如果 ab=k(k 为常数)，则称 a、b 成正比；反比例：如果 ab=k(k 为常数)，则称 a、b 成反比二、主要比例转化实例 ； ； ；xaybybxayabx2 ； (其中 )；xaybmxayb0m ； ； ；xxyabxyab ， ； ；xaybczdczbd:zcd 的 等于 的 ，则 是 的 ， 是 的 yxyaxba三、按比例分配与和差关系按比例分配例如：将 个物体按照 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自x:ab分配到的物体数量与 的比分别为 和 ，所以甲
3、分配到 个，乙分配到:baaxb个 .bxa已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别 、 ，元素的数量比为 (这里 )，数量差为 ，那么 的元素AB:abxA数量为 ， 的元素数量为 ，所以解题的关键是求出 与 或 的比值axbbxaab四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l” 。题中如果有几个不同的单位“1” ，必须根据具体情况，将不同的单位“1” ，转化成统一的单位“1” ，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“
4、1” 。2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1” 。3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。34. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。5. 赋值解比例问题6.例题精讲模块一、比例转化【例 1】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的 ，乙等于甲、丙两数和的 ，丙1312等于甲、乙两数和的 ，求 .57:甲 乙 丙【解析】 由甲等于乙、丙两数和的 ，得到甲等于三个数和的 ，同样的乙等于甲、丙13+14两数和的 ，同样
5、的丙等于甲、乙两个数和的 ，所以12+5725:44甲 乙 丙【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的 倍也等于丙的 ，那么甲的 、乙的22323倍、丙的一半这三个数的比为多少？2【解析】 甲的一半、乙的 倍、丙的 这三个数的比为 ，所以甲、乙、丙这三个数的比231:为 即 ，化简为 ，那么甲的 、乙的 倍、丙的一1:1:24:323半这三个数的比为 即 ，化简为 .4:38:216:9【巩固】 甲、乙、丙三个数，已知 ， ，求 。:4:3甲 乙 丙 :2:7乙 丙 :甲 乙 丙【解析】 由 可得到 ， ，而 ，:27丙 :2:9丙 :9:4:3丙所以： 4:1739【例 3】 如下
6、图所示，圆 与圆 的面积之和等于圆 面积的 ，且圆 中的阴影部分面积BCA45A4占圆 面积的 ，圆 的阴影部分面积占圆 面积的 ，圆 的阴影部分面积占圆A16BB15C面积的 求圆 、圆 、圆 的面积之比C3CCB A【解析】 设 与 的共同部分的面积为 ， 与 的共同部分的面积为 ，则根据题意有ABxy， ， ，于是得到 ，这条式564Cxy53y56453BC子可化简为 ，所以 .最后得到 .1204ABC:20:1A【巩固】 右图是一个园林的规划图，其中，正方形的 是草地；圆的 是竹林；竹林比4376草地多占地 450 平方米 问：水池占多少平方米? 【解析】 正方形的 是草地，那如果
7、水池占 1 份，草地的面积便是 3 份；圆的 是竹林，水43 76池占 1 份，竹林的面积是 6 份。从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3 份。3 份的面积是 450 平方米，可见 1 份面积是 4503=150（平方米） ，即水池面积是 150 平方米。【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是 ，分为甲、乙、丙三组已知甲、乙、丙三3:2组的人数比是 ，甲组中男、女会员的人数之比是 ，乙组中男、女会员的10:873:1人数之比是 求丙组中男、女会员人数之比53【解析】 以总人数为 1，则甲组男会员人数为 ，女会员为 ，乙10870103组男会员为 ，女会员为 ；丙组男会员为8075335
8、2，女会员为 ；所以，丙组中男、女会员人数3+21219+0之比为 9:5:05【巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的一段时间后，分别剩下 、 的任务没有完成，已知两个工程60%4队的工作效率(建设速度)之比 ，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比 .3:1【解析】 (法一) 甲工程队以 倍乙工程队建设速度，仅完成了 的承包任务，而乙工程队30完成了 ，所以甲工程队承包任务的 等于乙工程队承包任务的60%40，所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的18，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为 45 450%:192(法二)两个工程
9、队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于 ，3:而他们分别完成了各自任务的 和 ，所以两个工程队承包的修建公路长度之40%6比为 340%:169:2【巩固】 (2008 年清华附中考题)甲、乙两个工人上班，甲比乙多走 的路程，而乙比甲15的时间少 ，甲、乙的速度比是 1【解析】 甲走的路程是乙走的路程的 ，甲用的时间是乙用的时间的 ，所以甲的速度是乙6510的速度的 ，即甲、乙的速度比是 6125012:【例 5】 某团体有 名会员，男女会员人数之比是 ，会员分成三组，甲组人数与乙、4:丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为 、 、 ，那么丙12:35:21组有多
10、少名男会员？【解析】 会员总人数 人，男女比例为 ，则可知男、女会员人数分别为 人、 人；1014: 64又已知甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为 人，乙、丙人50数之和为 人，可设丙组人数为 人，则乙组人数为 人，又已知甲组男、女5x50x会员比为 ，则甲组男、女会员人数分别为 人、 人，又已知乙、丙两组男、12:3246女会员比例，则可得： ，解得 即丙组会员人数为524(0)83x18x人，又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为 人8 3【例 6】 (2007 年华杯赛总决赛) 、 、 三项工程的工作量之比为 ，由甲、乙、丙ABC:2三队分别承担三个工程队同时开工，若干
11、天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？6【解析】 根据题意，如果把 工程的工作量看作 ，则 工程的工作量就是 ， 工程的工作A1B2C量就是 3设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为 、 、 .经过 天，则：xyzk213213kxyz 将代入，得 ，4kxy 将代入，得 ， ，237k将 代入，得 代入，得 47xk67yk3z甲、乙、丙三队的工作效率的连比是 46:4:k【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖已知：甲、乙两校获一等奖的人数相等；甲校获一等奖的人数占
12、该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 ；5:6甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的 ；甲校获三等奖的20%人数占该校获奖人数的 ；甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的50%倍那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？4.5【解析】 由、可知甲、乙两校获奖总人数的比为 ，不妨设甲校有 60 人获奖，则乙校6:5有 50 人获奖由知两校获二等奖的共有 人；由知甲校获二等(0)2奖的有 人；由知甲校获一等奖的有 人，那2(4.51).8605%182么乙校获一等奖的也有 12 人，从而所求百分数为 124【例 7】 某校毕业生共有 9 个班，每班人数相等已知一
13、班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多 1；四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多 1那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？【解析】 如下表所示，由知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多 1；由知，四至九班的男生总数比四、五、六班总人数少 1一班男生 比 二、三班女生 多 1人加上 二、三班男生 二、三班男生7一、二、三班男生 比 二、三班总人数 多 1人七、八、九班男生 比 四、五、六班女生 少 1人加上 四、五、六班男生 四、五、六班男生四、五、六、七、八、九班男生比 四、五、六班总人数少 1人因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和，由
14、于每班人数均相等，则女生总数等于四个班的人数之和所以，男、女生人数之比是 5:4模块二、按比例分配与和差关系（一）量倍对应【例 8】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到 个，而甲、乙两班的16人数比为 ，求一共有多少个苹果？13:【解析】 一共有 个苹果.6192【巩固】 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为 ，三人一共藏书 本，求3:4652他们三人各自的藏书数量.【解析】 根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的 、346、 ，所以小新拥有的藏书数量为 本，小志拥有的藏43652123书数量为 本，小刚拥有的藏书数量为 本.452163【巩固】 在抗洪救
15、灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了 80 元已知甲比丙多捐 18 元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是 ，则甲捐 元，乙捐 10:7元，丙捐 元【解析】 由于甲比丙多捐 18 元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多 18 元，那么甲、乙所捐资的和为： (元)，乙、丙所捐资的和为18(0)1608元所以，甲捐了 (元)，乙捐了 (元)，丙捐了6018428042360382(元)3【巩固】 甲、乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的 等于乙班种的棵数的 ，1415且乙班比甲班多种树 棵，甲、乙两个班各种树多少棵 ?24【解析】 甲、乙两班种树棵数之比为： ，甲班种树棵数为： (棵
16、)，1:452496乙班种树棵数为： (棵)520【巩固】 有 个皮球，分给两个班使用，一班分到的 与二班分到的 相等，求两个班120 1312各分到多少皮球？【解析】 根据题意可知一班与二班分到的球数比 ，所以一班分到皮球:2个，二班分到皮球 个31207120748【例 9】 一班和二班的人数之比是 ，如果将一班的 名同学调到二班去，则一班和二班8:的人数比变为 求原来两班的人数4:5【解析】 原来一班的人数为两班总人数的 ，调班后一班的人数是两班人数的8715，调班前后一班人数的比值为 ，所以一班原来的人数为459 4:69人，二班原来的人数为 人.864882【例 10】 幼儿园大班和
17、中班共有 32 名男生，18 名女生已知大班男生数与女生数的比为，中班男生数与女生数的比为 ，那么大班有女生多少名？5:32:1【解析】 由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法假设18 名女生全部是大班，则大班男生数：女生数 ，即男生应有 30 人，实5:30:18际上男生有 32 人，相差 2 个人；又中班男生数：女生数 ，以 3 个中班女2:6生换 3 个大班女生，每换一组可增加 1 个男生，所以需要换 2 组；所以，大班女生有 (名)1829【巩固】 参加植树的同学共有 人，已知六年级与五年级人数的比是 ，六年级比四720 3:2年级多 人，三个年级参加植树的
18、各有多少人?80【解析】 假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有 人，四、五、708六三个年级的人数比为 ，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分配，3:2分别求出三个年级参加植树的人数六年级： 人；80032五年级： 人；四年级： 人【巩固】 圆珠笔和铅笔的价格比是 4：3，20 支圆珠笔和 21 支铅笔共用 715 元问圆珠笔的单价是每支多少元?【解析】 设圆珠笔的价格为 4，那么铅笔的价格为 3，则 20 支圆珠笔和 21 支铅笔的价格为204+213=143，则单位“1”的价格为 71.5143=0.5 元所以圆珠笔的单价是O.54=2(元)【例 11】 甲、乙两只蚂蚁同
19、时从 点出发，沿长方形的边爬去，结果在距 点 厘米的 点AB2C相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的 倍，求这个长方形的周长1.2 乙乙CBA【解析】 两只蚂蚁在距 点 厘米的 点相遇，说明乙比甲一共多走了 (厘米)又知B2C24乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的 倍，相同时间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.1.2：16 ： 5，所以甲爬的路程是 (厘米)，乙爬的路程是 (厘米)，长方46520204形的周长为 (厘米)20【巩固】 甲、乙两车分别从 、 两地同时相向开出，甲车的速度是 千米小时，乙AB50车的速度是 千米小时，当甲车4010驶过 、 距离的 多 千米时与乙车相遇， 、 两地相距 千米A
20、B1350AB【解析】 在相同的时间内，两车行驶的路程比等于两车的速度之比，由于两车的速度之比等于 ，那么 、 距离的 多 千米即是 、 距离的 ，所以50:4:AB1350549千米的距离相当于全程的 ，全程的距离为 (千米)29209【例 12】 甲乙两车分别从 A， B 两地出发，相向而行出发时，甲、乙的速度比是 54，相遇后，甲的速度减少 20，乙的速度增加 20，这样，当甲到达 B 地时，乙离A 地还有 10 千米问：A，B 两地相距多少千米？【解析】 甲、乙原来的速度比是 54相遇后的速度比是：5（1 20）4（1 20）44856相遇时，甲、乙分别走了全程的 5/9 和 4/9设
21、全程 x 千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为 5：6其中相遇后甲行驶了全长的 4/9所以乙行驶了全长的 ，所以乙一共行了全长 ，还剩48569148915没有走415所以 A、B 全长为 450 千米 .【例 13】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用 9 分钟，徒弟加工一个零件用 15 分钟完成任务时，师傅比徒弟多加工 100 个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是 ，工作时间相同，工作量与工作效率成正1:5:39比，所以师傅与徒弟分别完成总量的 和 ，师傅和徒弟一共加工了个零件(涉及到数量差和数量比的题在以下题目中详细讲述).5310
22、(40【巩固】 师徒二人共加工零件 个，师傅加工一个零件用 分钟，徒弟加工一个零件用9分钟完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？15【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是 ，而工作时间相同，则工作量与工作效率1:5:3911成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的 和 ，师傅比徒弟多加工零件53个534010【例 14】 、 、 三个水桶的总容积是 公升，如果 、 两桶装满水， 桶是空的；ABC140ABC若将 桶水的全部和 桶水的 ，或将 桶水的全部和 桶水的 倒入 桶， 桶B513都恰好装满求 、 、 三个水桶容积各是多少公升？ A【解析】 根据题意可知， 桶水的全部加上 桶水的 等于 桶水的
23、全部加上 桶水的 ，5A13所以 桶水的 等于 桶水的 ，那么 桶水的全部等于 桶水的 ， 桶2345AB4265C水为 桶水的 所以 、 、 三个水桶的容积之比B6175BC是 又 、 、 三个水桶的总容积是 公升，所以 桶的容积7:1:A140A是 公升， 桶的容积是 公升， 桶的容积是404806586C公升85【巩固】 加工某种零件，甲 分钟加工 个，乙 分钟加工 个，丙 分钟加工 个现在313.5141三人在同样的时间内一共加工 个零件问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件?60【解析】 根据题意可知，甲、乙、丙的工作效率之比为 ，那么在相同的:28:.时间内，三人完成的工作量之比也是
24、，所以甲加工了28:41个零件，乙加工了 个零件，丙加工283650140 436501028了 个零件。5【巩固】 学而思学校四五六年级共有 615 名学生，已知六年级学生的 ，等于五年级学12生的 ，等于四年级学生的 。这三个年级各有多少名学生学生？2537【解析】 将六年级学生的 ，等于五年级学生的 ，等于四年级学生的 ，看作一个单位，12537那么六年级学生人数等于 2 个单位，五年级学生等于 2.5 个单位，四年级学生等于学生，所以六年级、五年级、四年级学生人数的比为 ，所以六年73 52143： ： ： ：级学生人数为 =180 人，五年级学生人数为 人，16524 56212四年
25、级学生人数为 人.146520【例 15】 一块长方形铁板，宽是长的 从宽边截去 厘米，长边截去 以后，得到一135%块正方形铁板问原来长方形铁板的长是多少厘米?【解析】 如果只将长边截去 ，宽、长之比为 ，所以宽边的长度为35%4:536:1厘米，所以原来铁板的长为 厘米21(6)12420【巩固】 一个正方形的一边减少 ，另一边增加 米，得到一个长方形，这个长方形0的面积与原正方形面积相等原正方形的边长是多少米?【解析】 要保证面积不变，一边减少 ，即是原来的 ，另一边要变成原来的 ，即增加2%4554，所以原正方形的边长为 (米).51418【例 16】 一把小刀售价 元如果小明买了这把
26、小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是3；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为 小明原来有多2: 8:13少钱？【解析】 由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的 ，小明的钱相当527于小明、小强买刀后钱数和的 ，所以小明、小强的钱数的比值为8+132，而小明买刀后小明、小强的钱数之比为 ，所以小明买刀前85:127 :561后的钱数之比为 ，所以小刀的售价等于小明原来钱数的 ，所以小8:64 43明的钱数为 元。也可这样看，小明买刀与未买刀的钱数比为 ，32 28:471小明的钱数为 （元）31【巩固】 (2009 年十三分小升初入学测试题)甲、乙两人原有的钱数之比为 ，
27、后来甲6:5又得到 180 元，乙又得到 30 元，这时甲、乙钱数之比为 ，求原来两人的钱数18:之和为多少？【解析】 两人原有钱数之比为 ，如果甲得到 180 元，乙得到 150 元，那么两人的钱数之6:5比仍为 ，现在甲得到 180 元，乙只得到 30 元，相当于少得到了 120 元，现在两6:5人钱数之比为 ，可以理解为：两人的钱数分别增加 180 元和 150 元之后，钱数18:之比为 ，然后乙的钱数减少 120 元，两人的钱数之比变为 ，所以 120 元: 18:相当于 4 份，1 份为 30 元，后来两人的钱数之和为 元，所以原来30(5)9013两人的总钱数之和为 元901856
28、0【巩固】 甲本月收入的钱数是乙收入的 ，甲本月支出的钱数是乙支出的 ，甲节余 24034元，乙节余 480 元甲本月收入多少元？【解析】 甲、乙本月收入的比是 ，分别节余 240 元和 480 元，支出的钱数之比是 如5:8 :果乙节余 480 元，甲节余 元，那么两人支出的钱数之比也是 ，现40358在甲只节余 240 元，多支出了 60 元，结果支出的钱数之比从 变成了 (即 )，5:86:3:4所以这 60 元就对应 份，那么甲支出了 元，所以甲本月收入为651603元36024【例 17】 (2008 年西城实验考题)一项机械加工作业，用 4 台 型机床，5 天可以完成；用 4A台
29、型机床和 2 台 型机床 3 天可以完成；用 3 台 型机床和 9 台 型机床，2 天ABBC可以完成，若 3 种机床各取一台工作 5 天后，剩下 、 型机床继续工作，还需要_ 天可以完成作业【解析】 由于用 4 台 型机床 5 天可以完成；用 4 台 型机床和 2 台 型机床 3 天可以完成，A所以 2 台 型机床 3 天完成的量等于 4 台 型机床 2 天完成的量，则 、 两种机B AB床每天完成的量的比为 ，即 型机床每天完成的量为 3， 型机床2:3:每天完成的量为 4，该项作业总量为 ，那么 型机床每天完成的量为4560C，3 种机床各取一台工作 5 天后，剩下的工作量为60292，
30、 、 型机床还需继续工作 天3451AC132【例 18】 动物园门票大人 元，小孩 元六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天相01比，大人增加了 ，儿童增加了 ，共增加了 人，但门票收入与前一天6%900相同六一儿童节这天共有多少人入园？【解析】 前一天大人与小孩的人数比为 ，六一那天增加的大人与增加的小孩:(62)5:6人数比为 ， 大人增加的人数为 人，小孩增560:95 521074加的人数为 人，大人的总数为 人，小孩的总217307%人数为 人，总人数为 人3%282085【例 19】 (2008 年武汉市外国语学校小升初数学卷 )某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数14的比是 ，
31、第一天售出苹果的 ，售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是 ；1:220%1:3第二天售出苹果 吨，桃子 吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的81，问原有苹果和桃子各有多少吨？45【解析】 法一：设原来苹果有 吨，则原来桃子有 吨，得： ，解得x2x(120%)84315x所以原有苹果 37 吨，原有桃子 (吨)37x 374法二：原来苹果和桃子的吨数的比是 ，把原来的苹果的吨数看作 1，则原来桃子1:2的吨数为 2，第一天后剩下的苹果是 ，剩下的桃子是 ，所以(0%)532此时剩下的苹果和桃子的重量比是 现在再售出苹果 18 吨，桃子 12 吨，43:8152所剩的苹果与桃子的重量比是
32、 这就相当于第一天后剩下的苹果和桃子的重量:比是 ，先售出桃子 12 吨，苹果 吨，此时剩下的苹果和桃子的重量比8:15 315还是 ，再售出 吨苹果，剩下的苹果和桃子的重量比变为 ，所以:32581 4:15这 相当于 份，最后剩下的桃子有 吨，那么第一天后剩下的桃子584817542有 吨，原有桃子 吨，原有苹果 吨712137237（二）利用不变量统一份数【例 20】 有一个长方体，长和宽的比是 ，宽与高的比是 表面积为 ，求这个2:13:227cm长方体的体积.【解析】 由条件长方体的长、宽、高的比 ，则长方体的所有视面，上面、前面、左面6:3的面积比为 ，这三个面的面积和等于长方体6
33、3:2:182:1表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为 ，前面的237218cm面积为 ，左面的面积为 ，而2172cm306，所以 即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体积为2869363cm【巩固】 有一个长方体，长与宽的比是 ，宽与高的比是 已知这个长方体的全部2:13:2棱长之和是 厘米，求这个长方体的体积20【解析】 由条件宽与高的比为 ，所以这个长方体的长、宽、高的比为 即3: 2:1315，由于长方体的所有棱中，长、宽、高各有 条，所以长方体的长为6:32 4厘米，宽为 厘米，高为1030413201562厘米，所以这个长方形的体积为 立方厘米.162 0450【例 2
34、1】 （2009 年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车 元，中型车 元，小型车 元一天，通过该收费站的大型车和301510中型车数量之比是 ，中型车与小型车之比是 ，小型车的通行费总数比大型:64:车多 元 （ 1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）7这天的收费总数是多少元？【解析】 大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将 中的 与 中的5:64:1统一成 ，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比由 和4,612 02，得到 以 辆大型车、 辆中型:1:310:23大 型 车 :中 型 车 :小 型 车 10车、 辆小型
35、车为一组因为每组中收取小型车的通行费比大型车多(元)，所以这天通过的车辆共有 (组)所以这天通过0079大型车有 (辆)，中型车有 (辆)，小型车有 (辆)1912908327（2）这天收取的总费用为： 元305120【例 22】 枚壹分硬币摞在一起与 枚贰分硬币摞在一起一样高， 枚壹分硬币摞在一起与654枚伍分硬币摞在一起一样高用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且3三个圆柱体一样高，共用了 枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？124【解析】 由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为 ，壹分硬币和伍分硬币的数量比为6:5，所以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为 ，即4:36.5 6
36、:54.，因此壹分硬币的数量为 枚，贰分硬币的数量为12091244809枚，伍分硬币的数量为 枚，这些硬币一共有40 3分，即币值为 元4836583.16【例 23】 (2007 年二中考题)某工地用 种型号的卡车运送土方已知甲、乙、丙三种卡车载3重量之比为 ，速度比为 ，运送土方的路程之比为 ，三种车的10:766:8915:4辆数之比为 工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半5投入，直到 天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了 天完成任务那么，2甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为 ，速度之比为 ，所以154 68
37、9 它们运送 次所需的时间之比为 ，相同时间内它们运送的次数比115476892 为： 在前 天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为24957 0由于三种卡车载重量之比为 ，所以三种卡车的总载重量之比为 107 那么三种卡车在前 天内的工作量之比为：0342 在后 天，由于甲车全部投入使用，所以在后954202771 15天里的工作量之比为 所以在这 天内，甲的工作量与总工作量之比为：1 2053271420719()()【例 24】 (2008 年第 13 届华杯赛初赛)将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为 实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数
38、的5:43比为 ，其中有一位小朋友比原计划多得了 块糖果那么这位小朋友是 7:65 15(填“甲” 、 “乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为 块【解析】 方法一：原计划甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的 ， ， ；实际甲、2413乙、丙三人所得糖果数分别占总数的 ， ， ，只有丙占总数的比例是增加的，7186所以这位小朋友是丙.糖果总数为 (块)，丙实际所得的糖果数为53402(块) 54018方法二：化通比为： 甲 乙 丙 总数为原计分配为 5 ： 4 : 3 12 份实际分配为 7 ： 6 ： 5 18 份化通比为 15 ： 12 ： 9 36 份14 ： 12 ： 10 36 份17
39、对比分析甲 1514，乙 1212，丙 910，发现多得糖果的是丙所以 15（109）10150（块）【巩固】 有一堆糖果，其中奶糖占 45，再放人 16 块水果糖后，奶糖就只占 25那么，这堆糖果中有奶糖多少块? 【解析】 方法一：原来奶糖占 ，后来占 ，因此后来的糖果数是奶糖的 4 倍，45910225104也比原来糖果多 16 粒，从而原来的糖果是 16+( 1)=20 块.其中奶糖有920 =9 块920方法二：原来奶糖与其他糖(包含水果糖)之比是 45：(1-45)=9 ：11,设奶糖有 9份，其他糖(包含水果糖) 有 11 份现在奶糖与其他糖之比是 25：(1-25)=1：3=9：
40、27, 奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了 27-11=16 份，而其他糖也恰好增加了 16 块，所以，l 份即 1 块奶糖占 9 份，就是 9 块奶糖【巩固】 今年儿子的年龄是父亲年龄的 ， 年后，儿子的年龄是父亲年龄的 今年4551儿子多少岁？【解析】 方 法 一 ： 今 年 儿 子 的 年 龄 相 当 于 父 子 年 龄 差 的 ， 年 后 儿 子 的 年 龄 相 当 于 父135子 年 龄 差 的 ，所以 年相当于父子年龄差的 ，年龄差为51615162岁.今年儿子 岁.530230方法二：今年儿子的年龄是父亲年龄的 ，所以儿子：父亲1：4；年后，儿子的年龄是父亲年龄的 ，所以儿子：父
41、亲 5：1115因为在年龄问题中年龄差不变所以列表分析为：儿子 父亲 年龄差1 ： 4 35 ： 11 6根据不变量化通比为 2 ： 8 6185 ： 11 6对比分析为：15（52）210（岁）【例 25】 一个周长是 厘米的大长方形，按图与图所示意那样，划分为四个小长方6形在图中小长方形面积的比是 ， 而在图中相应的比:12AB:12C例是 ， .又知长方形 的宽减去 的宽所得到的差与 的:13AB:13CDD长减去 的长所得到差之比为 求大长方形的面积DDCBADCBA【详解】因为 ， ，:12A:12C所以 ；4因为 ， ，:3B:3所以 ，19AC设长方形的宽为 ,长为 ,得：ab3
42、214905ab得 又:25628ab所以 ， 8a0所以长方形面积 1【例 26】 (2008 年 101 中学试题)北京中学生运动会男女运动员比例为 ，组委会决定19:2增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为 ；后来又决定增加男子象20:3棋项目，男女比例变为 ,已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多30:19人，则总运动员人数为多少？15【解析】 将运动会最初的运动员人数设为“ ”，那么男运动员人数为 ，女运动员1923人数为 ，而增加女子艺术体操项目，男运动员人数不变，仍然是 ，所以这时女23运动员人数为 ，增加男子象棋项目，女运动员人数保持不变，仍然1924703619是
43、 ，所以男运动员人数增加为 女子艺术体操项目人数为247602473910662，男子象棋项目的人数为 ，男子象棋项目运动员比女子13艺术体操运动员多 ，原来总运动员人数为 人，男子象1736203150棋项目运动员有 人，女子艺术体操运动员有 人，所以5 7562现在的总运动员人数为 人313185【巩固】 袋子里红球与白球的数量之比是 放入若干只红球后，红球与白球数量之9:比变为 ；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为 已知放入的红5:3 13:球比白球少 只那么原来袋子里共有 只球80【解析】 根据第一次操作白球的数量不变，把 改写成 ， 改写成 1:357:9:65:9第二次操作
44、相对于第一次操作红球数量不变，把 改写成 ，这时我们可以1看出，经过两次操作后，红球共增加了 份，白球增加了 份原6831来红球有 个，白球有 个两种球共80165700390个5739【巩固】 一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走 15 枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为；再拿走 45 枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为 ，求开始时黑棋子与白棋2:1 1:5子各有多少枚？【解析】 第二次拿走 45 枚黑棋，黑子与白子的个数之比由 变为 ，而其中白棋2:0:1:5的数目是不变的，所以黑棋由原来的 10 份变成现在的 1 份，减少了 9 份，这样原来黑棋的个数为 (枚)，白棋的个数为 (枚)459104
45、5940【例 27】 (2008 年西城实验考题)有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队的男队员的 ，以后上级从第一突击队调718走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的 ，问开始共有多少支突击队参加会战？817【解析】 由于每个队的女队员的人数是该队的男队员的 ，所以原来全体女队员的人数是全718体男队员的 ，即原来女队员的人数占所有队员人数的 ，调走第一突击队的一半18 2520队员后，女队员的人数占剩下的队员总数的 ，由于调走的全是男队员，女队员的825人数没有变化，所以调走后的队员总数与调走前的队
46、员总数之比为 ，即25:7:8调走的队员人数占原来队员总人数的 ，而调走的队员为第一突击队的一半，且每18个突击队人数相同， ，故开始共有 4 支突击队参加会战1428（三）利用等量关系列方程解比例【例 28】 某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是 结果录取 91 人，其中男生4:3与女生人数之比是 未被录取的学生中，男生与女生人数之比是 问报考8:5 3:4的共有多少人？【解析】 (法 1)录取的学生中男生有 人，女生有 (人)，先将未录取的人891569156数之比 变成 ，又有 (人)，所以每份人数是3:44:3342(人)，那么未录取的男生有 (人)，未录取的女生有25 4312(人)所以报考总人数是 (人)4316561269(法 2)设未被录取的男生人数为 人，那么未被录取的女生人数为 人，由于录取3x 4x的学生中男生有 人，女生有 (人)，则 ，8915691563563:3解得 所以未被录取的男生有 12 人，女生有 16 人报考总人数是 4x(人)56123619【例 29】 有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重 千克，乙块重 千克，现在从甲、乙两64块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分一起熔炼
